回到數學原點 澄清知識本質

胡曉敏(執教)+任敏龍(點評)

【教學內容】

人教版教材五年級下冊 “２，５的倍數特征”，Ｐ１７－Ｐ１８

【教學目標】

１．讓學生經歷“舉例—猜想—檢驗—說理”探索２的倍數特征的過程，總結方法用以探索５的倍數特征，為進一步探索其他數的倍數特征做好學法準備。

２．讓學生經歷從“數的倍數特征與各個數位上數字有關”到“２、５的倍數特征只與數的個位數字有關”的探索過程，為今后探索其他數的倍數特征做好思路鋪墊。

３．讓學生體會論證的力量，感受數學知識之間的廣泛聯系，掌握２、５的倍數特征，能解決簡單的問題，進而理解同時為２、５倍數的數的特征。

【教學過程】

一、談話引入

師：上一節課我們已經學習了“因數和倍數”，這節課我們來學習有關“２和５的倍數”的知識。先來研究２的倍數有什么特征。

二、展開探究

１．舉例歸納，形成猜想

師：請同學們寫出一些２的倍數。（學生邊說教師邊板書）觀察這些數，它們有什么共同的特征？

生１：個位上的數字都是０，２，４，６，８。

生２：個位上的數字都是２的倍數。

師：你們的意思是個位上是０，２，４，６，８的數都是２的倍數？（板書：猜想“個位上是０，２，４，６，８的數都是２的倍數”）

２．檢驗猜想，豐富例證

師：剛才大家列舉的數都比較小，如果是四位數或更大的數，是不是也必須符合這樣的條件呢？下面，就請同學們寫出一些個位是０，２，４，６，８的四位數或者更大的數，然后用計算器算一算，它們到底還是不是２的倍數？

（學生舉例驗證，匯報：都是２的倍數）

師：有沒有同學寫出的數個位是０，２，４，６，８的，但又不是２的倍數的？（學生面面相覷，表示沒有找到這樣的數）

師：看來，確實很有可能凡是個位數字是０，２，４，６，８的數就是２的倍數。那么，是不是２的倍數的個位數字必須是０，２，４，６，８呢？舉例試試看。（板書：猜想“２的倍數的個位數是０，２，４，６，８”）

（學生舉出個位數字不是０，２，４，６，８的數，即個位數字是１，３，５，７，９的數，經檢驗都不是２的倍數）

師生（小結）：經檢驗，個位數字是０，２，４，６，８的數是２的倍數；２的倍數的個位數是０，２，４，６，８。

【評析：２的倍數特征實際上是一個含有充要條件的命題，一方面“個位上的數字是０，２，４，６，８的數是２的倍數”，另一方面“２的倍數的個位數字是０，２，４，６，８”，前者需要舉的例子是個位上的數字是０，２，４，６，８的數，后者要舉的例子是個位上的數字不是０，２，４，６，８（即１，３，５，７，９）的數都不是２的倍數，這當中的邏輯嚴謹性往往是容易被我們忽視的。因此，盡管學習的經歷已經讓學生累積了一些２的倍數特征的感性經驗，教學還是選擇了讓學生完整經歷舉例、猜想、驗證的過程，在讓學生有更加充分的時間梳理已有知識經驗的同時，感受數學推理的完整性和嚴密性。】

３．聚焦數位，說理論證

師：要證明這兩個猜想是否正確，一種辦法是對所有的數進行驗證，這顯然是不可能的。有沒有其他的辦法能一勞永逸地證明２的倍數只與個位數字有關，與其他數位上的數字無關呢？（停頓片刻）按理來說能否成為一個數的倍數應該與這個數的各個數位上的數字有關，而不僅僅是個位數字。這是怎么回事呢？（停頓片刻）我們能不能把一個具體的數拆成由各個數位上的數組成的數，比如，３２４＝３００＋２０＋４（板書），看看里面到底藏著怎樣的 “２的倍數的秘密”？請大家按下面要求，先獨立思考，再小組交流：（１）舉例：每個小組選擇５個或以上的數（含幾個不是２的倍數）；（２）分析：拆成“各個數位上數之和”的形式，２的倍數與和中的哪些數有關？（３）討論：為什么２的倍數特征，只要看這些數的個位數字？

學生小組匯報情況如下。

小組１：２３４＝２００＋３０＋４，５７＝５０＋７，５３６８＝５０００＋３００＋６０＋８，１３７＝１００＋３０＋７，９９９＝９００＋９０＋９，除了個位數外，其余數位上的數字所代表的數的個位都是０，已經是２的倍數，所以只要看個位就可以了。

小組２：３３＝３×１０＋３，１５７＝１５×１０＋７，７６５４＝７６５×１０＋４，２５８＝２５×１０＋８，８５４６＝８５４×１０＋６，這些數可以表示成□×１０＋□的形式，□×１０肯定是２的倍數，所以只要看個位就可以判斷了。

小組３：所有的數都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，除了個位外，其他的數位上數字所代表的數都已經是２的倍數了，所以，判斷一個數是不是２的倍數，只要看這個數的個位數字是不是２的倍數。

……

師（小結）：通過剛才的交流、討論，我們知道了一個數是不是另一個數的倍數，實際上跟這個數的每一位上的數字有關，對于２來說，個位前面的那些數字所代表的數都已經是２的倍數，所以判斷一個數是不是２的倍數只要看個位數字是不是２的倍數，如果個位數字是２的倍數，那么，這個數就是２的倍數。反過來說，如果一個數是２的倍數，則這個數的個位數字必須是２的倍數。

【評析：歸納推理（不指數學歸納法）屬合情推理，通常有助于形成猜想，卻往往不能保證結論正確。保證結論的正確需要演繹推理。通常認為，“不完全歸納”是小學生學習數學法則、規律的主要方式，教材關于２、５、３的倍數特征中的教學也作了這樣的安排。先學２、５的倍數特征給了學生研究數的倍數特征先看個位的印象，待學習３的特征時，學生很自然就去看個位，雖然很快發現這個方法行不通，但又不知進一步的研究從何而入，教師也不知道接下來究竟該怎么辦，只好挖好“陷阱”讓學生往“與各個數位上的數字有關”里跳，這基本上就是在“已知事實”暗示下進行的“偽歸納”。最后，學生不知道２、５的倍數為什么看個位，３的倍數為什么要看各個數位，只能記住而已。這就需要回到數學的原點思考解決問題的方法。事實上，研究一個數的倍數特征，正常的思維是先全面考察這個數各個數位上的數字（基于位值原則的拆數是一個重要的視角），再從中找出規律（如果學生有興趣探究“４、８、２５”的特征，則更應如此），這就為后續的探索研究作了知識和思路的鋪墊，進而幫助學生澄清知識本質。本課通過“為什么只要看這些數的個位數字”的問題引發留有恰當停頓的連續提問，引導學生嘗試將數進行逐位拆分，通過觀察、比較發現：所有的自然數都能表示成“……□×１００＋□×１０＋□”的形式，進而證明結論的正確性。】

４．基本練習，體會優越

教師多媒體出示：下面各數中，哪些是２的倍數？

３３９８３５５９８４０１２３３６７８

８０８９１０００６５５５６５６８８１

讓學生體會直接利用特征判斷的優越性。

三、學法遷移

１．提出問題，小結學法

師：掌握倍數的特征能幫助我們快速地解決問題。接下來“５的倍數特征”該怎么研究呢？（停頓）我們是不是先來總結一下研究“２的倍數特征”的方法？

生：先舉例，再形成猜想，再舉例驗證，最后拆數說明為什么與個位數字有關的道理。

師（板書：舉例—猜想—檢驗—說理）：下面我們就嘗試用這種方法來研究“５的倍數特征”。

２．學法遷移，探索新知

學習要求：（１）舉例、猜想、驗證，歸納出５的倍數特征；（２）說理：為什么有這樣的特征？（３）小組交流，并準備匯報。

小組匯報情況如下。

生１：我們發現５的倍數特征就是個位數字是０或５的數。因為除個位之外，其他數字所代表的數都已經是１０的倍數，也就是５的倍數，所以，只要看個位就行了。

endprint

生２：我們認為個位是０或５的數，就一定是５的倍數。所有的數都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因為十位、百位、千位上的數字所代表的數都已經是１０的倍數，即５的倍數，所以只要判斷個位就可以了。

……

【評析：從歸納到演繹，這是數學發現的一般規律。這一環節，在小結“２的倍數特征”研究方法的基礎上，進行遷移應用——用這種方法來研究５的倍數特征，鞏固了學法，為后續探究其他數的倍數特征奠定了基礎。】

四、鞏固提高

１．及時鞏固，適當拓展

呈現問題：將下面的數按要求填在相應的圈內。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

■

師：這兩個交叉圓圈分別表示什么意思？

生１：左邊的區域是填２的倍數，右邊的區域是填５的倍數，中間交叉區域填的既是２的倍數，又是５的倍數。

師：觀察這些既是２的倍數，又是５的倍數的數，你們又有什么發現？

生２：個位是０的數既是２的倍數，又是５的倍數。

師：為什么？

生２：２的倍數個位數字是０，２，４，６，８；５的倍數的個位數字是０和５，那么，既是２的倍數，又是５的倍數的數個位數字只能是０。

（板書：畫兩個交叉圓，一個表示２的倍數特征，一個表示５的倍數特征，填入相應的個位數字）

生３：一個數既是２的倍數，又是５的倍數，就一定是１０的倍數，１０的倍數個位上必須是０。

師：很好，像這些個位是０，２，４，６，８的數，也就是２的倍數的數又叫做偶數；個位是１，３，５，７，９的數，也就是說不是２的倍數的數又叫做奇數。（板書：偶數、奇數）

２．綜合應用，培養能力

問題：把□□□４、３□５、３１□也填入上圖的區域中。

生４：□□□４，無論□填什么數都是２的倍數，因為只要個位是０、２、４、６、８的數，一定都是２的倍數。

師：那么３□５又應該放到哪個區域呢？為什么？

生４：３□５因為個位是５，所以一定是５的倍數。

師：３１□呢？

生５：如果３１□的□里寫０、２、４、６、８，那就是２的倍數，如果□里寫０或５就是５的倍數。

生６：我來補充，如果３１□的□寫０，那就是３１０，這個數既是２的倍數，也是５的倍數，填在中間這個區域。

【評析：練習的第１題起到了及時強化２和５倍數特征的作用，并適時引入了“偶數和奇數”的概念，同時還巧妙地利用維恩圖的表示功能，形象直觀地揭示了同時是２和５的倍數的特征，學生再次經歷現象歸納、演繹說理的過程。第２題則是第１題的深化，借助三個“不確定”的數，培養學生在干擾的情境中正確使用概念和解決問題的能力，增添學習樂趣。】

五、小結質疑（略）

（責編金鈴）

endprint

生２：我們認為個位是０或５的數，就一定是５的倍數。所有的數都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因為十位、百位、千位上的數字所代表的數都已經是１０的倍數，即５的倍數，所以只要判斷個位就可以了。

……

【評析：從歸納到演繹，這是數學發現的一般規律。這一環節，在小結“２的倍數特征”研究方法的基礎上，進行遷移應用——用這種方法來研究５的倍數特征，鞏固了學法，為后續探究其他數的倍數特征奠定了基礎。】

四、鞏固提高

１．及時鞏固，適當拓展

呈現問題：將下面的數按要求填在相應的圈內。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

■

師：這兩個交叉圓圈分別表示什么意思？

生１：左邊的區域是填２的倍數，右邊的區域是填５的倍數，中間交叉區域填的既是２的倍數，又是５的倍數。

師：觀察這些既是２的倍數，又是５的倍數的數，你們又有什么發現？

生２：個位是０的數既是２的倍數，又是５的倍數。

師：為什么？

生２：２的倍數個位數字是０，２，４，６，８；５的倍數的個位數字是０和５，那么，既是２的倍數，又是５的倍數的數個位數字只能是０。

（板書：畫兩個交叉圓，一個表示２的倍數特征，一個表示５的倍數特征，填入相應的個位數字）

生３：一個數既是２的倍數，又是５的倍數，就一定是１０的倍數，１０的倍數個位上必須是０。

師：很好，像這些個位是０，２，４，６，８的數，也就是２的倍數的數又叫做偶數；個位是１，３，５，７，９的數，也就是說不是２的倍數的數又叫做奇數。（板書：偶數、奇數）

２．綜合應用，培養能力

問題：把□□□４、３□５、３１□也填入上圖的區域中。

生４：□□□４，無論□填什么數都是２的倍數，因為只要個位是０、２、４、６、８的數，一定都是２的倍數。

師：那么３□５又應該放到哪個區域呢？為什么？

生４：３□５因為個位是５，所以一定是５的倍數。

師：３１□呢？

生５：如果３１□的□里寫０、２、４、６、８，那就是２的倍數，如果□里寫０或５就是５的倍數。

生６：我來補充，如果３１□的□寫０，那就是３１０，這個數既是２的倍數，也是５的倍數，填在中間這個區域。

【評析：練習的第１題起到了及時強化２和５倍數特征的作用，并適時引入了“偶數和奇數”的概念，同時還巧妙地利用維恩圖的表示功能，形象直觀地揭示了同時是２和５的倍數的特征，學生再次經歷現象歸納、演繹說理的過程。第２題則是第１題的深化，借助三個“不確定”的數，培養學生在干擾的情境中正確使用概念和解決問題的能力，增添學習樂趣。】

五、小結質疑（略）

（責編金鈴）

endprint

生２：我們認為個位是０或５的數，就一定是５的倍數。所有的數都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因為十位、百位、千位上的數字所代表的數都已經是１０的倍數，即５的倍數，所以只要判斷個位就可以了。

……

【評析：從歸納到演繹，這是數學發現的一般規律。這一環節，在小結“２的倍數特征”研究方法的基礎上，進行遷移應用——用這種方法來研究５的倍數特征，鞏固了學法，為后續探究其他數的倍數特征奠定了基礎。】

四、鞏固提高

１．及時鞏固，適當拓展

呈現問題：將下面的數按要求填在相應的圈內。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

■

師：這兩個交叉圓圈分別表示什么意思？

生１：左邊的區域是填２的倍數，右邊的區域是填５的倍數，中間交叉區域填的既是２的倍數，又是５的倍數。

師：觀察這些既是２的倍數，又是５的倍數的數，你們又有什么發現？

生２：個位是０的數既是２的倍數，又是５的倍數。

師：為什么？

生２：２的倍數個位數字是０，２，４，６，８；５的倍數的個位數字是０和５，那么，既是２的倍數，又是５的倍數的數個位數字只能是０。

（板書：畫兩個交叉圓，一個表示２的倍數特征，一個表示５的倍數特征，填入相應的個位數字）

生３：一個數既是２的倍數，又是５的倍數，就一定是１０的倍數，１０的倍數個位上必須是０。

師：很好，像這些個位是０，２，４，６，８的數，也就是２的倍數的數又叫做偶數；個位是１，３，５，７，９的數，也就是說不是２的倍數的數又叫做奇數。（板書：偶數、奇數）

２．綜合應用，培養能力

問題：把□□□４、３□５、３１□也填入上圖的區域中。

生４：□□□４，無論□填什么數都是２的倍數，因為只要個位是０、２、４、６、８的數，一定都是２的倍數。

師：那么３□５又應該放到哪個區域呢？為什么？

生４：３□５因為個位是５，所以一定是５的倍數。

師：３１□呢？

生５：如果３１□的□里寫０、２、４、６、８，那就是２的倍數，如果□里寫０或５就是５的倍數。

生６：我來補充，如果３１□的□寫０，那就是３１０，這個數既是２的倍數，也是５的倍數，填在中間這個區域。

【評析：練習的第１題起到了及時強化２和５倍數特征的作用，并適時引入了“偶數和奇數”的概念，同時還巧妙地利用維恩圖的表示功能，形象直觀地揭示了同時是２和５的倍數的特征，學生再次經歷現象歸納、演繹說理的過程。第２題則是第１題的深化，借助三個“不確定”的數，培養學生在干擾的情境中正確使用概念和解決問題的能力，增添學習樂趣。】

五、小結質疑（略）

（責編金鈴）

endprint