復雜應力狀態下裂紋擴展長度研究

何 勇，黃 霞

(重慶交通大學，重慶 400074)

巖石作為一種脆性損傷材料，其內部存在大量的微裂隙、微裂紋等缺陷，稱為初始損傷[1，3，5，18]。帶有初始損傷的巖石在外載荷的作用下，內部裂紋逐漸演化、擴展，并具一定規律性。關于這方面的研究，國內外專家、學者做了大量試驗和理論計算，取得了較豐富的成果。如Horii和Hemat-Nasser于1985年用帶裂紋的樹脂材料薄板做了一系列單、雙軸壓縮試驗，觀察到與最大壓應力成一定角度的原生裂紋最先開裂，新生裂紋在原生裂紋的兩端起裂，然后，沿一彎曲路徑很快趨于加載方向；呂海波等對巖石三維內部裂隙擴展過程做了數值模擬研究，揭示了巖石破裂失穩的基本規律[6]；朱維申研究了雙軸壓縮載荷作用下閉合雁行裂紋起裂、擴展和巖橋的貫穿機理，提出了巖橋破壞模式有剪切破壞、拉剪復合破壞和翼裂紋擴展三種[7]。相類似的研究成果還有很多，但關于裂紋擴展長度的結論卻非常少，國內外也沒有比較一致的看法。因此，對裂紋擴展長度的研究有一定價值。

1 復雜應力狀態下裂紋擴展計算模型

在復雜應力狀態下，關于裂紋開裂方向問題國內外學者有比較一致的看法，基本認為那些與最大壓應力成一定角度的原生裂紋最先開裂，分支裂紋在原生裂紋的兩端開裂，并最終趨于加載方向[1，2，8，12，17]。基于前人研究成果[13-16]，提出如圖1所示的裂紋擴展模型。

圖1 復雜應力狀態下裂紋擴展模式

2 復雜應力狀態下裂紋擴展長度計算

2.1 壓剪應力狀態下裂紋擴展長度計算

壓剪應力狀態下裂紋擴展模式如圖2。按巖石力學，原生裂紋在雙向壓縮作用下，裂紋面上正應力和剪應力為：

(1)

原生裂紋正是在裂紋面上正應力和剪應力聯合驅動下開裂、擴展，以Pn和Ps分別代表原生裂紋面上的正壓力和驅動力，考慮到裂紋面有一定黏聚力，則：

(2)

圖2 壓剪應力狀態下裂紋擴展模式

式中，tanφ為裂紋面摩擦系數；c為裂紋面上黏聚力。

與原生裂紋相類似，支裂紋上驅動力為：

(3)

現在假定原生裂紋和支裂紋的上、下面分別粘合在一起，使上、下面沒有相對位移，然后給單元體施加荷載σ1和σ3此時單元體內儲存的彈性應變能為U0。再將裂紋上、下面之間的約束去掉，允許裂紋上、下面之間有相對位移，這樣裂紋上、下面之間咬合力將做功W，同時，也將產生新的彈性應變能UⅠ和UⅡ，UⅠ是與Ⅰ型裂紋有關的彈性應變能，UⅡ是與Ⅱ型裂紋有關的彈性應變能。因此，單元體內總的能量U為：

U=U0+UⅠ+UⅡ-W

(4)

假定裂紋體在開裂、擴展過程中只產生變形位移而無剛體位移，按材料力學有：

(5)

式中，Fi為研究對象受的外荷載；δi為與Fi對應的位移；u1(x)為原生裂紋沿切向位移；u2(x)為支裂紋沿垂直向位移；s1、s2分別為原生裂紋和支裂紋開裂線。

由于裂紋擴展過程的復雜性，我們很難確定裂紋面上每一點的位移，為計算方便，將原生裂紋和分支裂紋拉直視為2(l+a)的直線裂紋[9，17]，并且假定原生裂紋和分支裂紋位移形式如下：

(6)

(7)

式中，x為以原生裂紋中心點起算的距離；δ為原生裂紋面上一點的最大位移；α1、α2為將裂紋直線化帶來的影響系數。

將式(6)和(7)帶入(5)中積分得：

(8)

式中，B為材料厚度。

將最大位移δ分解為垂直于裂紋面的位移δn和在裂紋面上的移δs，則：

(9)

按量綱分析有：

(10)

(11)

因此，在位移δ作用下，材料獲得的彈性應變能為：

=α3E0Bδ2

(12)

帶裂紋材料在外載荷作用下開裂、擴展，最終使材料內部總能量趨于最小[11]，故：

(13)

在裂紋開裂、擴展過程中，將U0視為不變量，從式(13)中解出δ：

(14)

(15)

式中，Bn=0.4。

(16)

式中，Bs=1.0。

(17)

不妨假設：

(18)

(19)

將式(14)、(15)、(16)、(18)和(19)代入式(17)中有：

(20)

將式(2)代入上式得分支裂紋擴展過程中應力強度因子KⅠ：

(21)

裂紋擴展過程中，應力強度因子逐漸降低，當KⅠ降至KⅠc時，裂紋停止擴展，據此可以得出裂紋擴展長度l。

2.2 拉剪應力狀態下裂紋擴展長度計算

Segal根據巖石斷裂韌度試驗得出：在裂紋穩定擴展階段，裂紋擴展阻力隨裂紋擴展而增大[10]，具體關系為：

(22)

式中，n為裂紋擴展阻力增大指數；R為裂紋臨界擴展阻力；a′、R′為裂紋擴展后的長度及其相應擴展阻力。

裂隙巖體在拉剪應力狀態下，平面裂紋尖端擴展力與應力強度KⅠ和KⅡ之間的關系：

(23)

考慮到：

(24)

(25)

將式(24)和(25)代入式(23)中有：

(26)

按能量斷裂擴展準則，結合式(22)和(26)可得裂紋擴展后的長度：

(27)

至此，復雜應力狀態下(包括壓剪應力狀態和拉剪應力狀態)裂紋擴展長度計算的理論公式求解完畢。

3 復雜應力狀態下裂紋擴展長度計算的應用研究

在巖土工程中有一類問題復雜而又引起學者和工程技術人員的高度重視，這就是危巖穩定性分析問題。危巖是指位于陡崖或陡坡上被巖體結構面切割且穩定性較差的巖塊，它的穩定性分析就是確定其當前所處的穩定性狀態，為采取相應的工程治理措施提供參考意見，研究危巖穩定性計算方法，定量判別危巖所處的穩定性狀態意義重大。

導致危巖穩定性下降的實質是其主控結構面內微裂紋的擴展貫通，當微裂紋擴展貫通達到一定程度后，主控結構面內未貫通段開始擴展，最終的結果將是巖體發生崩塌，形成落石，威脅附近居民的生命財產安全。《地質災害防治工程設計規范》(DB50/5029—2004)根據危巖失穩模式將危巖分為滑塌式危巖、傾倒式危巖和墜落式危巖三類。針對滑塌式危巖，從其受力方面看屬于壓剪滑動型，與前文研究中的壓剪應力狀態一致，因此，可以嘗試將前文建立的計算方法應用到滑塌式危巖穩定性計算上。

危巖主控結構面由巖體中多個封閉、孤立裂紋逐漸擴展、貫通所致。將主控結構面未貫通段巖體視為帶裂紋的損傷體，從圖3中取出未貫通段，如圖4。

圖3 滑塌式危巖物理模型

圖4 危巖體未貫通段內部模型簡圖

大量野外地質調查發現，巖體中結構面存在一個或多個優勢方向，所謂優勢方向是指巖體中結構面較為發育的方位(傾向/傾角)。確定優勢方向采用編制結構面極點密度等值線圖的方法。野外地質調查也可以大致估算研究區域宏觀裂隙的總長度，具體做法是：選定一片具有代表性的面積為A的區域，通過肉眼觀察、量測區域內裂隙長度l，則認為該區域周圍巖體發育的裂隙密度ρ=l/A(m/m2)。假定巖體中孤立、封閉裂紋的分布與巖體中結構面中的分布相類似(總長度和方位)，從而將雜亂無章的裂紋規律化。

按上述假定，以一塊未貫通段面積為A′的滑塌式危巖體為研究對象，建立如下分析公式：

(28)

式中：Fs為危巖體穩定性系數；W為危巖體自重(kN)；P為水平地震力(kN)；Q為裂隙水壓力(kN)；C、φ為巖體等效抗剪強度參數(kPa，°)；H為危巖體高度(m)；β為主控結構面傾角(°)

危巖體主控結構面未貫通段內巖體內部孤立、封閉裂紋總長度為：

(29)

假定危巖體主控結構面未貫通段內巖體內部孤立、封閉裂紋優勢方向只有一個為θ。依據上述參數可計算孤立、封閉裂紋擴展總長度為△l，以及此時危巖體穩定性系數Fs。

定義裂紋臨界擴展長度計算式：

[Δl]=FsΔl

(30)

因此，針對滑塌式危巖體我們建立了一個裂紋臨界擴展長度計算式，以此作為判斷危巖體穩定性的一個指標。

4 結論

1)針對復雜應力狀態下裂紋擴展長度的計算，本文在前人研究成果的基礎上提出了一個較合理的計算模型，該模型簡單易懂，適合進行理論分析和計算。

2)忽略次要因素，作出合理假設，依據構建的模型，推導了復雜應力狀態下(包括壓剪應力狀態和拉剪應力狀態)裂紋擴展長度計算式。

3)將建立的壓剪應力狀態下裂紋擴展長度計算方法運用于滑塌式危巖穩定性計算中，提出了判別滑塌式危巖穩定性的一個新指標。

4)上述研究成果過于理論化，很多參數的取定較困難，限制了它的推廣運用，因此，將上述成果真正用于實際工程中是下一步研究的重點任務。

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