基于小波變換的時(shí)變及典型非線性振動(dòng)系統(tǒng)識(shí)別

黃東梅, 周 實(shí), 任偉新,3

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075；2. 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410075;3.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009)

非線性振動(dòng)現(xiàn)象在控制工程、機(jī)械工程、土木工程等領(lǐng)域廣泛存在，非線性振動(dòng)系統(tǒng)的識(shí)別是現(xiàn)代振動(dòng)分析領(lǐng)域中研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。總的來(lái)說(shuō)，非線性振動(dòng)系統(tǒng)的識(shí)別方法可以分為基于信號(hào)處理技術(shù)的方法、時(shí)間序列分析類方法、子空間類方法等[1-9]。近年來(lái)，時(shí)頻聯(lián)合分析被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法中，同時(shí)也為弱非線性系統(tǒng)的辨識(shí)提供了新途徑。由于非線性振動(dòng)的一個(gè)主要特征是系統(tǒng)的固有頻率和振幅有關(guān)，因此通過(guò)測(cè)量隨時(shí)間變化的信號(hào)頻率成分的變化情況可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)中非線性參數(shù)的識(shí)別。小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間-尺度(與信號(hào)頻率相對(duì)應(yīng))分析方法，在時(shí)域和頻域同時(shí)具有表征信號(hào)局部特性的能力，非常適合進(jìn)行時(shí)變和非線性振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別，因此，國(guó)內(nèi)外對(duì)基于小波變換的非線性系統(tǒng)識(shí)別方法進(jìn)行了一系列的研究：Staszewski[5]用Morlet小波變換對(duì)一個(gè)包含庫(kù)侖阻尼和三次方剛度的系統(tǒng)進(jìn)行了辨識(shí)。Ta等[6]利用平均法推導(dǎo)了單自由度弱非線性自由振動(dòng)系統(tǒng)的的瞬時(shí)頻率、解析幅度和解析幅度導(dǎo)數(shù)之間的理論函數(shù)關(guān)系，信號(hào)經(jīng)Morlet小波變換后通過(guò)提取脊可以得到這三者的實(shí)際關(guān)系曲線，最后通過(guò)最小二乘曲線擬合即可估計(jì)系統(tǒng)的非線性阻尼和剛度系數(shù)，數(shù)值仿真表明該方法可以從弱非線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)中準(zhǔn)確地辨識(shí)出庫(kù)侖阻尼、平方阻尼和三次方剛度。任宜春等[7]用Morlet復(fù)小波函數(shù)對(duì)弱Duffing系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了辨識(shí)，得到系統(tǒng)的固有頻率、阻尼系數(shù)和非線性系數(shù)。王超等[8]用連續(xù)小波變化的方法識(shí)別結(jié)構(gòu)的非線性，基于Feldman提出的非線性結(jié)構(gòu)骨架曲線概念，通過(guò)提取結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)的小波脊和小波骨架，識(shí)別出結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，得到非線性結(jié)構(gòu)的骨架曲線，從而識(shí)別結(jié)構(gòu)的非線性。Kitad[9]對(duì)具有非線性恢復(fù)力系統(tǒng)的剪切型結(jié)構(gòu)的方程進(jìn)行離散，利用小波的時(shí)間局部性將切線剛度用離散小波尺度函數(shù)表示，阻尼系數(shù)分段線性化，使振動(dòng)微分方程變?yōu)橐宰枘嵯禂?shù)和小波尺度函數(shù)為變量的代數(shù)方程組，采用最小二乘法計(jì)算得到未知向量，進(jìn)而確定阻尼系數(shù)和切線剛度，進(jìn)一步識(shí)別了結(jié)構(gòu)的滯回曲線，最終通過(guò)對(duì)一個(gè)多自由度系統(tǒng)的試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 時(shí)變及典型非線性振動(dòng)系統(tǒng)及其解

1.1 時(shí)變阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

時(shí)變阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程可以寫為：

(1)

式中:ξ(t)為隨時(shí)間變化的阻尼比；ω0為無(wú)阻尼固有圓頻率。

在進(jìn)行求解時(shí)，假定阻尼比在一個(gè)很短的時(shí)間內(nèi)是慢變函數(shù)，則在這個(gè)短時(shí)間內(nèi)可以看成是一個(gè)定常阻尼，此時(shí)方程(1)的解為

x(t)=A0e-ξω0tcos(ωdt+θ0)

(2)

式(1)中頻率是不隨時(shí)間變化的常數(shù)，瞬時(shí)振幅為

A(t)=A0e-ξω0t

(3)

可得

ln(A(t))=ln(A0)-ξω0t

(4)

1.2 達(dá)芬非線性振動(dòng)系統(tǒng)

達(dá)芬有阻尼非線性自治方程為：

(5)

用Krylov-Bogoliubov平均法[10]進(jìn)行求解，可得

(6)

瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率為

A(t)=A0e-ξω0t

(7a)

(7b)

達(dá)芬有阻尼非線性非自治方程為

(8)

由KBM法[10]，可得解為

(9)

式中的第一項(xiàng)為自由振動(dòng)項(xiàng)，第二項(xiàng)為倍頻項(xiàng)，第三項(xiàng)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)項(xiàng)。其中

A(t)=A0e-ξω0t

(10a)

(10b)

式中:A0和θ0分別為式(9)第一項(xiàng)的初始振幅和初始相位，同式(6)。

對(duì)比達(dá)芬有阻尼非線性自由振動(dòng)響應(yīng)可知，其簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)第一項(xiàng)的瞬時(shí)振幅、瞬時(shí)頻率的表達(dá)式不變，而簡(jiǎn)諧激勵(lì)振動(dòng)響應(yīng)為自由振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。

1.3 范德波爾非線性振動(dòng)系統(tǒng)

范德波爾非線性自治方程為：

(11)

用Krylov-Bogoliubov平均法[10]進(jìn)行求解，可得

(12)

式中:A0為初始振幅；相位為常數(shù)θ0。當(dāng)t=0時(shí)，若已知初始振幅為A0，則可以由式(12)得θ0=0。

瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率為

(13a)

ω(t)=ω0

(13b)

上式表明在一次近似精度范圍內(nèi)的計(jì)算結(jié)果對(duì)頻率無(wú)修正，即相位不隨時(shí)間變化。

范德波爾非線性非自治方程

(14)

由KBM法[10]，可得解為

(15)

式中

(16a)

φ=ω0t-θ0

(16b)

式中:A0為初始振幅。當(dāng)t=0時(shí)，若振幅為A0，則此時(shí)θ0=0。

對(duì)比范德波爾非線性自由振動(dòng)響應(yīng)可知，其簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)第一項(xiàng)的瞬時(shí)振幅、瞬時(shí)頻率的表達(dá)式不變，而簡(jiǎn)諧激勵(lì)振動(dòng)響應(yīng)為自由振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。

2 小波變換法

2.1 小波變換的基本理論

設(shè)信號(hào)x(t) ∈L2(R)，基本小波或母小波函數(shù)ψ(t) ∈L2(R)，L2(R)表示平方可積的實(shí)數(shù)空間。若ψ(t)滿足小波允許條件，則信號(hào)x(t)的連續(xù)小波變換定義為：

WTx(a,b)=x(t),ψab(t)=

(17)

小波變換的頻域表示為：

(18)

任意實(shí)信號(hào)x(t)可以表示成如下時(shí)變振幅與時(shí)變相位的乘積形式：

x(t)=A(t)cosφ(t)

(19)

然而，這樣的表示并不唯一，為保證表示的唯一性，通常引入其對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)：

(20)

(21)

對(duì)于單一分量信號(hào)x(t)，其相應(yīng)的復(fù)Morlet小波變換根據(jù)平穩(wěn)相位原理可以得到[13]：

WTx(a,b)=x(t),ψab(t)z(t),ψab(t)=

(22)

式中：O(?) 為二階小量，可以忽略不計(jì)；φ(b)為小波變換的相位。

故小波系數(shù)的模和相位分別為：

(23a)

∠(WTx(a,b))=φ(b)

(23b)

信號(hào)的瞬時(shí)頻率為：

(24)

小波系數(shù)的模反映了信號(hào)在時(shí)頻平面上的能量密度分布，而信號(hào)的能量在時(shí)頻平面上主要集中在脊線(每一時(shí)刻的頻譜峰值連成的曲線)附近，因此可以由任一時(shí)刻的信號(hào)小波系數(shù)模的脊線點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻域來(lái)確定瞬時(shí)頻率。

由式(23a)可以看出，當(dāng)小波尺度a滿足條件：

(25)

小波系數(shù)模可取得局部極大值，相應(yīng)的點(diǎn)(b,ar(b))稱為小波脊點(diǎn)。連接時(shí)間-尺度平面上的相應(yīng)脊點(diǎn)便構(gòu)成小波脊線。

此時(shí)，脊線上的小波系數(shù)的模為：

(26)

由此，可由脊線上小波系數(shù)模求出瞬時(shí)振幅：

(27)

對(duì)于多分量信號(hào)x(t)，通常可將其表示成單一分量信號(hào)的疊加：

(28)

因?yàn)樾〔ㄗ儞Q是線性變換，相應(yīng)x(t)的小波變換可表示為：

(29)

通過(guò)選擇合適的小波參數(shù)，可以將不同的單一信號(hào)分量在時(shí)間-尺度平面分離開(kāi)來(lái)，從而分別提取各自小波脊，相應(yīng)地得到信號(hào)瞬時(shí)頻率。

2.2 連續(xù)Morlet小波變換

Morlet小波是一種單頻復(fù)正弦調(diào)制高斯波，也是最常用的復(fù)值小波，其時(shí)、頻兩域都具有很好的局部性，它的時(shí)域、頻域形式如下[14]：

時(shí)域ψ(t)=e-t2/2ejωct

(30a)

(30b)

ωc為中心頻率，當(dāng)ωc≥5 時(shí)，可認(rèn)為Ψ(ω= 0) ≈0 近似滿足容許性條件。

對(duì)于復(fù)解析小波Morlet 小波，頻率f與尺度a之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

(31)

其中:fs為信號(hào)的采樣頻率，*表示卷積運(yùn)算[15]。

對(duì)于復(fù)Morlet 小波變換，其相應(yīng)的時(shí)間分辨率和頻率分辨率分別為[16]：

(32a)

(32b)

時(shí)間和頻率分辨率滿足不確定原理，增大小波中心頻率ωc可以提高頻率分辨率，但同時(shí)會(huì)降低時(shí)間分辨率，增加端點(diǎn)效應(yīng)的影響。

3 數(shù)值算例

3.1 時(shí)變阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

算例：

具體步驟如下所示：

(1)用四階龍格—庫(kù)塔法計(jì)算非線性系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，如圖1所示，圖中還給出了上下包絡(luò)線。

圖1 振動(dòng)響應(yīng)圖

圖2 小波色譜圖

(2)用Morlet小波函數(shù)“cmor 2 - 1”對(duì)響應(yīng)進(jìn)行小波變換，得到色譜圖、三維網(wǎng)圖和等高線圖分別如圖2～4所示，圖2中還畫出了根據(jù)小波系數(shù)模的極大值確定的脊線。

(3)根據(jù)脊線可以得到瞬時(shí)頻率如圖5所示，為一常數(shù)，即ωd=44.44 rad·s-1，可近似取ω0=ωd。

(4)由脊線上的小波系數(shù)和式(27)可以求出瞬時(shí)振幅，如圖6所示，圖中還給出了由振動(dòng)曲線圖1得到的振幅包絡(luò)線。另外，把瞬時(shí)振幅曲繪于圖1中予以對(duì)比。

(5)圖7給出了瞬時(shí)振幅的對(duì)數(shù)—ln(A(t))與時(shí)間t的關(guān)系曲線，剔除邊端效應(yīng)，取0.4 s～1.6 s的數(shù)據(jù)，對(duì)曲線求導(dǎo)可得曲線ξ(t)ω0，進(jìn)而求得阻尼比隨時(shí)間變化的曲線ξ(t)，如圖8所示，圖中還給出了擬合結(jié)果，ξ(t)=2.02×10-2t，以及理論結(jié)果ξ(t)=2×10-2t。

從以上分析可以看出，小波變換方法對(duì)時(shí)變阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的頻率和瞬時(shí)阻尼比識(shí)別是有效的。

圖5 瞬時(shí)圓頻率圖

圖8 瞬時(shí)阻尼比圖

3.2 達(dá)芬有阻尼非線性簡(jiǎn)諧激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)

算例：

具體步驟如下所示：

(1)用四階龍格-庫(kù)塔法計(jì)算非線性系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，如圖9所示，圖中還給出了根據(jù)KBM法的式(9)得到的振動(dòng)響應(yīng)，兩者是非常接近的。

(2)用Morlet小波函數(shù)“cmor 2 - 1”對(duì)響應(yīng)進(jìn)行小波變換，得到色譜圖、三維網(wǎng)圖和等高線圖分別如圖10～12所示，圖10中還畫出了根據(jù)小波系數(shù)模的極大值確定的脊線。從圖中可以看出，在1.2 s附近，簡(jiǎn)諧激勵(lì)產(chǎn)生的振動(dòng)能量開(kāi)始大于初始位移引起的自由振動(dòng)產(chǎn)生的能量，倍頻項(xiàng)很小，可以忽略不計(jì)。

(3)根據(jù)圖10的色譜圖可知，振動(dòng)主要由兩個(gè)頻率的振動(dòng)疊加而成，對(duì)比式(9)就可以知道這兩個(gè)頻率形成的原因，因此分別在[0～100] rad·s-1和[100～200] rad·s-1兩個(gè)頻率段提取脊線，便可以得到瞬時(shí)頻率如圖13(a)和圖13(b)所示，圖13(a)中還給出了根據(jù)式(7b)得到的理論結(jié)果，圖13(b)中還給出了ω的擬合結(jié)果和實(shí)際結(jié)果。從圖中可以看出識(shí)別結(jié)果為ω=138.28 rad·s-1,與理論結(jié)果140 rad·s-1非常接近。

圖9 振動(dòng)響應(yīng)圖

圖12 小波等高線圖

(4)由脊線上的小波系數(shù)和式(27)可以求出在[0～100] rad·s-1頻率段的瞬時(shí)振幅-即自由振動(dòng)振幅，如圖14(a)所示，圖中還給出了根據(jù)式(7a)得到的理論結(jié)果。從圖中可以看出，剔除邊端效應(yīng)，0.4 s～1.6 s的結(jié)果比較接近；由脊線上的小波系數(shù)和式(27)可以求出在[100～200] rad·s-1頻率段的瞬時(shí)振幅—即受迫振動(dòng)振幅，如圖14(b)所示，圖14(b)中還給出了擬合結(jié)果為2.283和根據(jù)公式(9)第3項(xiàng)計(jì)算的的理論結(jié)果為2.276，兩者誤差很小。

(5) 圖15給出了瞬時(shí)振幅的對(duì)數(shù)-ln(A(t))與時(shí)間t的關(guān)系曲線，由式(7a)可得ln(A(t))=ln(A0)-ξω0，近似于線性關(guān)系，剔除邊端效應(yīng)，取0.4 s～1.6 s的數(shù)據(jù)，由最小二乘擬合可以得到ξω0=2.287 4和A0=19.85 mm。

圖14 瞬時(shí)振幅圖

(6) 圖16給出了瞬時(shí)頻率ω(t)與瞬時(shí)振幅A(t)平方—A2(t)的關(guān)系，剔除邊端效應(yīng)，近似于線性關(guān)系，取0.4 s～1.6 s的數(shù)據(jù)，由最小二乘擬合可以得到ω0=44.32 rad·s-1和ε=3.65，同時(shí)，根據(jù)步驟(5)的結(jié)果可以得到ξ=0.051 6。

圖16 瞬時(shí)圓頻率與瞬時(shí)振幅平方的關(guān)系圖

從以上分析可以看出，小波變換方法對(duì)達(dá)芬有阻尼非線性簡(jiǎn)諧激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比、簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率和幅值、自由振動(dòng)初始振幅等的識(shí)別精度是較高的，而對(duì)非線性參數(shù)的ε識(shí)別誤差較大。

3.3 范德波爾非線性自由振動(dòng)系統(tǒng)

算例：

具體步驟如下所示：

(1) 用四階龍格-庫(kù)塔法計(jì)算非線性系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，如圖17所示，圖中還給出了根據(jù)平均法的式(13a)得到的振動(dòng)響應(yīng)，從圖中可以看出，由于平均法只有一次近似精度，所以存在微小的相位差。

(2) 用Morlet小波函數(shù)“cmor 2 - 1” 對(duì)響應(yīng)進(jìn)行小波變換，得到譜圖、三維網(wǎng)圖和等高線圖分別如圖18～20所示，圖18中還畫出了根據(jù)小波系數(shù)模的極大值確定的脊線。

(3) 根據(jù)脊線便可以得到瞬時(shí)頻率如圖21所示，圖中還給出了根據(jù)式(13b)得到的理論結(jié)果。已知頻率為常數(shù)，剔除邊端效應(yīng)，取0.2 s～1.8 s的數(shù)據(jù)，直接進(jìn)行最小二乘曲線擬合，便可以得到ω0=44.44(rad/s)，與理論值ω0=45(rad/s)非常接近。

(4)由脊線上的小波系數(shù)和式(27)可以求出瞬時(shí)振幅，如圖22所示，圖中還給出了根據(jù)式(13a)得到的理論結(jié)果。若已知公式(13a)，剔除邊端效應(yīng)，取0.2s～1.8s的數(shù)據(jù)，初始值ε、δ和A0分別取0.4、15和30，直接進(jìn)行最小二乘曲線擬合，可以得到ε、δ和A0的擬合值分別為0.045、2.18和20.38。擬合結(jié)果和理論結(jié)果如圖22所示。需要注意的是，由于用式(13a)進(jìn)行擬合時(shí)要把3個(gè)參數(shù)當(dāng)成未知數(shù)，因此擬合結(jié)果不唯一，與初始值的取值有很大的關(guān)系，并且剔除的數(shù)據(jù)不能太多，否則難以獲得足夠的信息。若把A0當(dāng)作已知，則即使ε和δ的初始值取值不同，其擬合結(jié)果也較為穩(wěn)定。

對(duì)于范德波爾非線性簡(jiǎn)諧激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)的識(shí)別，可采用3.2節(jié)的類似的方法。

圖17 振動(dòng)響應(yīng)圖

圖20 小波等高線圖

4 結(jié) 論

本文用Morlet小波變換方法對(duì)時(shí)變振動(dòng)系統(tǒng)和典型非線性振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，得出以下結(jié)論：

(1) 小波變換方法對(duì)時(shí)變阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的頻率和瞬時(shí)阻尼比識(shí)別是有效的，并且可以達(dá)到較高的精度。

(2) 由于小波變換是線性變換，因此用小波變換方法可以分別獲得達(dá)芬有阻尼非線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)振動(dòng)，并對(duì)其分別識(shí)別。固有頻率和阻尼比、簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率和幅值、自由振動(dòng)初始振幅等的識(shí)別精度是較高的，而對(duì)非線性參數(shù)的ε識(shí)別誤差較大。

(3) 在用小波變換方法對(duì)范德波爾有阻尼非線性自治方程進(jìn)行識(shí)別時(shí)，由于邊界效應(yīng)的存在，會(huì)使得識(shí)別結(jié)果不夠穩(wěn)定，在應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合時(shí)，初始值的取值對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響很大。

(4) 鑒于以上的分析，小波變換邊界效應(yīng)的處理是下一步需要研究的方向，從而提高小波變換的識(shí)別精度，特別是對(duì)初值依賴性較強(qiáng)的情況。

[1] 于開(kāi)平, 龐世偉, 趙婕. 時(shí)變線性/非線性結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別及系統(tǒng)辨識(shí)方法研究進(jìn)展[J]. 科學(xué)通報(bào), 2009, 54: 3147-3156.

YU Kai-ping, PANG Shi-wei, ZHAO Jie. Advances in method of time-varying linear/nonlinear structural system identification and parameter estimate[J]. Chinese Sci Bull (Chinese Ver), 2009, 54: 3147-3156.

[2] 竇蘇廣, 葉敏氣, 張偉卞. 基于增量諧波平衡的參激系統(tǒng)非線性識(shí)別法[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2010,42(2):332-336.

DOU Su-guang, YE Min-qi, ZHANG Wei-bian. Nonlinearity system identification method with parametric excitation based on the incremental harmonic balance method[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2010,42(2):332-336.

[3] 張根輩, 臧朝平.基于振動(dòng)測(cè)試的非線性參數(shù)識(shí)別方法 [J].振動(dòng)與沖擊,2013,32(1):83-89.

ZHANG Gen-bei, ZANG Chao-ping.A novel method for nonlinear parametric identification based on vibration tests[J].Journal of Vibration and Shock,2013,32(1):83-89.

[4] Jang T S. A method for simultaneous identification of the full nonlinear damping and the phase shift and amplitude of the external harmonic excitation in a forced nonlinear oscillator[J]. Computers and Structures, 2013, 120: 77-85.

[5] Staszewski W J. Identification of non-linear systems using multi-scale ridges and skeletons of the wavelet transform[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998,214(4):639-658.

[6] Ta M N, Lardies J. Identification of weak nonlinearities on damping and stiffness by the continuous wavelet transform[J]. Journal of Sound and Vibration, 2006,293(1-2):16-37.

[7] 任宜春，易偉建. 非線性系統(tǒng)識(shí)別的小波方法研究[J]. 振動(dòng)與沖擊，2007, 26 (3) : 68-71.

REN Yi-chun, YI Wei-jian. Identification of a nonlinear system using wavelet transformation[J]. Journal of Vibration and Shock,2007,26(3):68-71.

[8] 王超，任偉新，黃天立. 基于小波的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2009, 28 (3) : 10-14.

WANG Chao, REN Wei-xin, HUANG Tian-li. System identification of a non linear structure based on wavelet transformation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009,28(3):10-14.

[9] Kitada Y. Identification of nonlinear structural dynamic systems using wavelet[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1998, 124: 1059-1066.

[10] 劉延柱，陳立群. 非線性振動(dòng)[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[11] 陳逢時(shí). 子波變換理論及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 1998.

[12] Cohen L. Time-frequency analysis [M]. New Jersey: Prentice Hall, 1995.

[13] Delprat N, Escudie B, Guillemain P, et al. Asymptotic wavelet and gabor analysis: extraction of instantaneous frequencies[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1992, 38(2): 644-644.

[14] 任偉新，韓建剛，孫增壽. 小波分析在土木工程結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用[M]. 北京：中國(guó)鐵道出版社，2006

[15] Ruzzene M, Fasana A, Garibaldi, et al. Natural frequencies and dampings identification using wavelet transform: application to real data [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1997, 11(2): 207-218.

[16] Kijewski T, Kareem A. Wavelet transforms for system Kijewski T, Kareem A. Wavelet transforms for system identification in civil engineering [J]. Journal of Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering, 2003, 18(5): 339-355.