動荷載作用下預測玻璃板破壞強度和破壞時間的一種改進模型
——Ⅱ.參數確定及驗證

柳錦春，于潤清，唐德利

(1.解放軍理工大學 國防工程學院，南京 210007;2.爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，南京 210007)

裂紋的開裂直接導致玻璃的破碎，文獻[1]采用蒙特卡洛法并結合有限元分析，建立一種修正的單層玻璃板動態(tài)裂紋破壞模型。本文結合試驗確定該修正模型中的未知量，即裂紋分布密度、最大裂紋長度和裂紋長度的分布，最后用此模型計算了爆炸荷載下玻璃板的破壞時間。

1 確定改進模型中的未知量

1.1 網格和材料參數的確定

選用ABAQUS進行玻璃板的動力分析，在模擬前有必要確定網格尺寸和材料參數。取彈性模量E=73 GPa，泊松比v=0.25，密度ρ=2 450 kg/m3，板的尺寸為1 m×1 m×0.004 m，邊界條件為四邊簡支，荷載為均布荷載2.2 kPa，為準確模擬準靜態(tài)加載[2]，荷載步選用光滑緩慢加載步，加載時間設為2 s，經過網格尺寸分析取網格為50 mm，分別用幾何線性和幾何非線性進行計算，并將計算結果與其他文獻[3,4]的計算結果作對比，見表1。

表1 應力和撓度的對比

由表1可以看出，運用ABAQUS軟件及上述參數可以很好地模擬玻璃的變形(本文如無特殊說明玻璃板的材料參數均為1.1節(jié)確定的參數)。此外，從表中還可以看出，運用幾何非線性計算的結果要小于用幾何線性計算的結果，由于玻璃薄板在動荷載作用下幾何非線性特征明顯[5]，因此本文選用幾何非線性進行計算。

1.2 時間增量步Δt的確定

裂紋長度隨時間變化而增大，可表示為[1]

(1)

式中:aj、aj-1分別是第j時刻、j-1時刻的裂紋長度，σj、σj-1分別是j時刻、j-1時刻的裂紋法向拉應力，Δt為時間增量，v0和n均為材料參數，KIC是應力強度因子，Y是裂紋的形狀參數。

由式(1)可知，Δt的值直接影響計算結果。取Δt分別為0.02 s，0.05 s，0.1 s，板的尺寸、材料參數、荷載形式和邊界條件與1.1節(jié)相同，玻璃板內的裂紋分布取對數正態(tài)分布(參數見表2)，裂紋密度與裂紋最大長度見表3，樣本取100，計算破壞時間t的累計概率(CPD)，如圖1所示。觀察圖1，比較三組數據，綜合考慮計算精度和計算效率，可取Δt=0.05 s。

圖1 不同增量步破壞時間的對比

1.3 裂紋長度分布函數的參數取值

設定最大裂紋長度amax，將任意裂紋長度aj除以最大裂紋長度，得長度歸一化系數rj。對rj取不同的分布即可代表裂紋不同的長度分布。Nurhuda采用的概率密度函數[6]使rj在某一區(qū)間過于集中，如圖2所示，在取對數正態(tài)分布時長度在較小值區(qū)間過于集中。為更好的覆蓋整個取值范圍，本文采用圖3所示的概率密度函數，詳細參數見表2。

圖2 Nurhuda 采用的概率密度函數

圖3 本文采用的概率密度函數

表2 不同分布參數取值

1.4 確定裂紋長度分布、裂紋密度和裂紋最大長度

Gavanski等[4]研究了浮法玻璃板的破壞時間，通過試驗統(tǒng)計了破壞時間的累計概率，Nurhuda等[6]對浮法玻璃板的破壞應力做了試驗研究，統(tǒng)計了破壞應力的累計率，本節(jié)參照這兩個試驗進行參數確定和模型的驗證。具體做法如下：

(1) 確定每種裂紋長度分布對應的裂紋密度和最大裂紋長度。Gavanski等[4]統(tǒng)計了三種加載形式(如圖4所示)下玻璃板破壞時間的累計概率，選用其中一個加載速率的試驗結果，用四種不同的裂紋長度分布進行模擬，得到四種裂紋長度分布對應的裂紋密度和最大裂紋長度。

(2) 對比破壞應力。仍用(1)中具體確定四組參數，對Nurhuda的一組試驗中的其中一個進行模擬，對比模擬結果與試驗值，判斷參數的優(yōu)劣。

圖4 不同的荷載形式

1.4.1 確定四種裂紋長度分布對應的裂紋密度和最大裂紋長度

取加載速率為6.5 kPa/s(圖4中的荷載3)，玻璃板尺寸為1 m×1 m×0.006 m，對四種長度分布函數，確定出對應的最佳裂紋密度和裂紋最大長度。

由于Gavanski等[4]對不同的荷載形式只取了20個試件，因此在模擬計算時每組的試件數取為20，共模擬15組。選取不同的裂紋密度值和最大長度值，取模擬結果的平均值與實驗結果最近似的參數為最佳參數。

以對數正態(tài)分布為例，對每組玻璃板進行模擬，統(tǒng)計出累計概率，如圖5。然后計算出15組玻璃板的模擬結果，如圖6所示。最后求出15組模擬結果的平均值，見圖7。

由式(2)計算平均值與實驗值的距離[8]，取距離最小的參數為最優(yōu)參數。

(2)

其中:t1k為破壞時間的試驗值，t2k為破壞時間的模擬值。

圖5 對數正態(tài)分布1組模擬結果(荷載3)

用同樣的方法確定出其他長度分布所對應的最佳裂紋分布密度和最大長度，計算結果見表3。

表3 裂紋尺寸分布的統(tǒng)計參數

1.4.2 對比破壞應力，確定參數

取Nurhuda的一組試驗[6]中的一個工況計算玻璃板破壞應力的累計概率。加載速率取為10 kPa/s，玻璃尺寸分別為2 m×0.67 m×0.008 m，玻璃板為四邊簡支，計算結果如圖8。

圖8 模擬結果與試驗結果的對比

圖8表明，采用對數正態(tài)分布計算的破壞應力與試驗結果更加接近。

由此確定玻璃板內裂紋長度大致符合對數正態(tài)分布。

2 與其他模型的對比

在確定參數后，將該改進模型與其他模型相比較，并與試驗值進行對比，以確定模型的優(yōu)劣性。由于同時給出破壞時間和破壞應力的實驗數據較少，因此在計算破壞時間時與Evans的模型[4]和Simu&Reed的模型[4]進行對比，在計算破壞應力時與Nurhuda模型[6]和Beason的玻璃破壞模型[7]進行對比。

取Gavanski等[4]的試驗，針對荷載1、荷載2(圖4)計算玻璃板的破壞時間，并與Evans的模型和Simu&Reed的模型進行對比，如圖9、圖10。由圖9可知，在6.5 kPa/s的鋸齒形荷載下，改進模型結果與試驗值吻合較好，Simu&Reed模型結果偏差小一點，但當累計概率(CPD)越來越大時偏差也越來越大，而Evans模型結果始終與試驗值偏差均較大。由圖10可知，在0.25 kPa/s的直線型荷載下，當累計概率(CPD)小于0.7時，改進模型與Simu&Reed的模型結果與試驗值吻合均較好，而Evans的模型與試驗值偏差較大，當累計概率(CPD)大于0.7時，只有改進模型與試驗值吻合較好，而其他兩種模型與試驗值吻合都較差，尤其是Evans模型偏差較大。

圖9 模型對比(荷載1)

取Nurhuda的試驗[6]計算玻璃板破壞應力的累計概率。加載速率取為10 kPa/s，玻璃尺寸為2 m×0.4 m×0.008 m，玻璃板為四邊簡支，運用改進模型和Nurhuda模型[6]以及Beason模型計算破壞應力并與試驗值進行對比，如圖11。由圖11可以看出，Beason模型預測的破壞應力過大，而改進模型與Nurhuda模型值與試驗值誤差較小。但相對于Nurhuda模型，改進模型不僅可以分析預測玻璃板的破壞應力，還可以分析預測玻璃板的破壞時間，且不受玻璃板形狀和邊界條件的限制。

3 爆炸荷載條件下破壞模型的適用性驗證

葛杰[9]對不同爆炸荷載作用下玻璃板的動力響應進行了試驗研究，如表4，本節(jié)根據前文確定的裂紋密度、裂紋長度分布和最大裂紋長度，對表4中的三種工況進行模擬。

爆炸荷載的時程曲線可由修正的Friedlander方程確定，

(3)

其中:pmax是沖擊波超壓峰值，td是正壓作用時間，b是波形參數，均可由Conwep[10]計算得出。

表4 不同工況 [9]

圖12 模擬的破壞時間分布

玻璃材料參數根據文獻[9]取值，玻璃的彈性模量E=67 GPa，泊松比v=0.25，選取5組樣本，每組900個，根據改進模型，采用前文確定的最優(yōu)的裂紋長度分布和相應的裂紋密度、最大裂紋長度，計算爆炸荷載作

用下玻璃板的破壞時間，結果如圖12所示。對比三種工況可知，隨著比例爆距的減少，破壞時間的主要分布區(qū)間前移，工況1和工況2玻璃板的破壞時間集中在2～4 ms，工況3集中在0～2 ms，這與實驗結果是基本相符的，說明該破壞模型可以用于單層玻璃板的抗爆分析。

4 結 論

本文以浮法玻璃為例確定了文獻[1]中修正模型的未知量。首先假定四種不同的裂紋長度分布，分別對其中某一種長度分布選用不同裂紋密度值和裂紋最大長度值，基于所選的裂紋密度和裂紋最大長度對玻璃的破壞時間進行模擬，通過計算模擬結果與試驗結果的對比確定出四種裂紋長度分布對應的最優(yōu)裂紋密度和裂紋最大長度。根據確定的四種長度分布及最優(yōu)裂紋密度和裂紋最大長度，計算玻璃板的破壞應力，將計算結果與試驗結果對比，確定出最優(yōu)的裂紋長度分布，由此，最優(yōu)裂紋長度分布對應的一組參數即為該改進模型的參數。運用確定參數后的改進模型計算了玻璃板的破壞時間和破壞應力，分別與Evans的模型、Simu&Reed的模型、Nurhuda模型和Beason模型的計算結果進行對比，對比表明，該改進模型可以同時較準確地計算出玻璃板的破壞應力和破壞時間。最后應用改進模型，采用最優(yōu)的裂紋長度分布和相應的裂紋密度和最大裂紋長度對不同爆炸荷載下玻璃板的破壞時間進行了模擬，模擬結果與試驗值吻合較好。

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