捕獲載荷沖擊漂浮基柔性空間機械臂動力學響應評估與自適應鎮定控制及主動抑制

董楸煌，陳 力

(福州大學 機械工程及自動化學院，福州 350108)

隨太空環境的開發、利用，空間機械臂將協助或代替宇航員完成太空作業任務，因此其相關理論與技術研究廣受關注[1-3]。對漂浮基空間機械臂，其漂浮基與機械臂間存在相互耦合運動。由于機械臂柔性桿等彈性附件的振動，使空間機械臂系統存在剛柔運動耦合，因此空間機械臂系統動力學特性及基于動力學的控制問題相對地面機械臂更復雜[4-5]。地面機械臂已有諸多研究成果，如考慮柔性機械臂的軌跡跟蹤及柔性振動主動抑制的控制[6]、將關節控制器與柔性振動控制器進行復合疊加以實現對機械臂關節運動與振動抑制的同時控制[7]等均可作為空間機械臂研究參考依據。空間機械臂進行太空作業過程中不可避免與載荷發生接觸碰撞，會造成空間機械臂系統不穩定運動及柔性附件彈性振動等[8]，因此對空間機械臂動力學與控制進行研究具有理論及工程應用價值。

空間機械臂受捕獲載荷沖擊碰撞為復雜、多體系統碰撞動力學問題。本文基于動量守恒原理，利用動量沖量法評估漂浮基空間機械臂受沖擊后動力學響應。考慮沖擊影響效應會引起空間機械臂與載荷組合體系統不穩定運動及柔性桿彈性振動，設計自適應控制算法對組合體系統不穩定運動進行鎮定控制。該控制算法無需控制漂浮基位置，且能克服載荷參數未知對控制系統影響。在自適應控制算法基礎上設計線性二次最優復合控制算法對柔性桿彈性振動進行主動抑制。通過數值仿真進一步評估受載荷沖擊后空間機械臂動力學響應，驗證控制算法的有效性。

1 漂浮基柔性空間機械臂系統動力學模型

以平面運動漂浮基柔性空間機械臂為對象，研究其在軌捕獲載荷過程，見圖1。該機械臂由漂浮基B0及兩連桿B1，B2組成，其中連桿B2為均勻細長柔性桿，忽略機械臂末端爪手結構，將其假設為一點P，建立平動慣性坐標系O-XY及各分體主軸坐標系Oi-XiYi(i=0,1,2)。O0為漂浮基質心；O1，O2為機械臂兩關節鉸轉動中心。定義x0，y0，θ0為漂浮基位置及姿態；θ1，θ2為機械臂兩關節角角度，即系統廣義坐標q=[x0y0θ0θ1θ2δ1δ2]T；mi(i=0，1)為漂浮基B0，B1質量；Ji(i=0，1)為對應轉動慣量；ρ，EI為柔性連桿B2線密度、抗彎剛度；l0為O0與O1間直線距離；li(i=1,2)為兩連桿長度。

圖1 漂浮基空間機械臂捕獲載荷過程

圖2 柔性桿的變形示意圖

忽略柔性連桿B2的軸向及剪切變形，將其假設為Euler-Bernoulli梁，見圖2。柔性桿在X2坐標主軸上x2(0≤x2≤l2)處質點彈性彎曲變形可據假設模態法[9]表示為

(1)

式中：δi，φi(x2)分別為第i階模態坐標及函數；n為模態階數，忽略高階模態取n=2。

結合柔性連桿變形假設，據幾何關系，空間機械臂漂浮基質心、剛性桿質心、柔性桿x2(0≤x2≤l2)處質點及末端爪手P相對O-XY原點O的失徑r0，r1，r2，rP可表示為

(2)

式中：ei(i=0,1,2)為Xi軸基矢量，e3=[0, -1; 1, 0]e2為與X2軸垂直正交基矢量。

對式(2)求時間導數得

(3)

(4)

據式(3)空間機械臂系統動能可表示為

(5)

式中：υi(i=0,1)為漂浮基B0及連桿B1角速度。

據柔性連桿B2彈性彎曲變形式(1)，其彈性勢能可表示為

(6)

利用第二類拉格朗日方程，并結合式(5)、(6)，推導得動力學模型為

(7)

2 受捕獲載荷沖擊后空間機械臂動力學響應評估

設空間機械臂捕獲載荷為B3，并視為單剛體系統，質量、轉動慣量為m3，J3；質心O3與外部捕獲點P′間直線距離為l3。該載荷質心位置與姿態定義為x3，y3，β。該載荷以一定速度飛向機械臂爪手P，而空間機械臂通過控制，以較佳構型靜止等候以捕獲該載荷。據幾何關系知載荷外部捕獲點P′與廣義速度間存在運動學關系為

(8)

設捕獲過程中該載荷不受其它外力作用，僅與空間機械臂末端爪手發生接觸碰撞時在捕獲點P′受機械臂爪手作用力FP′；在空間機械臂捕獲該載荷接觸碰撞過程中FP′與FP為一對作用力與反作用力，則

FP=-FP′

(9)

利用牛頓-歐拉法，推導得該載荷動力學模型為

(10)

式中：Dt∈R3×3為載荷慣量矩陣。

空間機械臂捕獲載荷過程中與載荷碰撞沖擊為復雜的多體系統碰撞動力學問題。捕獲過程空間機械臂與載荷若除兩者間相互作用力外不受其它外力作用，據動量守恒原理，該碰撞過程實質為兩者間動量相互傳遞。將式(9)、(10)代入式(7),得空間機械臂與載荷組合體系統動力學模型為

(11)

機械臂末端爪手捕獲載荷過程中，兩者間接觸碰撞持續時間Δt較短暫。據動量沖量法，將式(11)對該接觸碰撞持續時間進行積分得

(12)

式中：t0為臨接觸碰撞時刻。

在空間機械臂捕獲載荷過程中，機械臂末端爪手P與載荷接觸點P′之間碰撞沖擊力較大。為避免該沖擊力對空間機械臂系統造成沖擊損壞、緩沖該碰撞沖擊，在載荷與機械臂末端爪手接觸碰撞過程中令空間機械臂控制輸入為0，即τ=0；且關節鉸處于自由轉動狀態。由于接觸碰撞持時Δt較短，故該過程空間機械臂系統廣義坐標并未發生顯著變化，但由于巨大碰撞沖擊力會使廣義速度發生變化，造成空間機械臂系統不穩定運動及柔性桿彈性振動。因此，式(12)部分積分結果可近似表示為

(13)

式(13)等號左端絕對值及等號右端積分項內絕對值均為有限量，但由于Δt絕對值極小，故其積分后絕對值也極小，與等號左端相比可忽略不計。式(13)可近似表示為

(14)

設空間機械臂末端爪手與載荷發生接觸碰撞后鎖緊固連，則由式(4)、(8)得

(15)

聯立式(14)、(15)，可計算得接觸碰撞后時刻t0+Δt空間機械臂廣義速度為

(16)

式(16) 即為受捕獲載荷沖擊后漂浮基柔性空間機械臂動力學響應評估。

3 受捕獲載荷沖擊后空間機械臂自適應鎮定控制與振動主動抑制

漂浮基柔性空間機械臂在捕獲載荷過程中，由于載荷沖擊碰撞造成空間機械臂系統不穩定運動及柔性桿彈性振動會影響空間機械臂正常工作，甚至造成結構損壞，因此需對捕獲載荷后空間機械臂與載荷組合體不穩定運動進行鎮定控制及抑制柔性桿彈性振動。針對該問題，本文設計自適應控制算法輸入τa對不穩定運動進行鎮定控制，結合線性二次最優控制算法輸入τv對柔性桿彈性振動進行主動抑制，即設計復合控制算法輸入τ=τa+τv，以實現兩項控制目標。

3.1 自適應控制算法設計

空間機械臂捕獲載荷后，兩者將成為組合體系統，其動力學模型見式(11)。由式(4)、(8)得

(17)

(18)

組合體系統動力學模型存在特性[10]為

(19)

式中：z∈R7×1為任意向量。

由于空間機械臂漂浮基位置控制推進器的開啟需消耗大量燃料，影響空間機械臂在軌使用時長。為此，漂浮基位置往往不受控，組合體系統控制輸入τ中漂浮基位置控制輸入為0，即式(18)為欠驅動形式；被捕獲載荷參數往往未知，會影響控制效果。經分析，式(18)將保持關于載荷未知參數呈線性化關系，便于自適應控制算法設計。綜之，本文將設計欠驅動形式增廣自適應控制算法，實現對組合體系統不穩定運動進行鎮定控制，控制器可通過自適應算法對未知參數進行在線計算調整，提高控制系統性能。

定義空間機械臂系統增廣實際輸出為

(20)

式中：qb=[x0y0]T，qv=[δ1δ2]T分別為欠驅動情況下漂浮基位置及柔性桿模態坐標輸出，qa=[θ0θ1θ2]T為漂浮基姿態與機械臂關節角度輸出。

定義增廣期望輸出為

(21)

式中：qad=[θ0dθ1dθ2d]T為實際期望輸出。

結合式(20)、(21),定義增廣期望輸出與增廣實際輸出間誤差為

(22)

式中：ea=qad-qa。

定義增廣誤差為

(23)

(24)

據式(23)、(24)，得

(25)

據式(25)可將組合體系統動力學模型式(18)變為

(26)

基于式(26)，設計欠驅動增廣自適應控制算法輸入τa為

(27)

對未知參數，設計自適應調節規律為

(29)

式中：γ為正常數。

證明：設s=0，Φ=0為無擾運動，式(28)、(29)為受擾運動方程；選擇正定函數為準Lyapunov函數

(30)

計算V的全導數，將式(19)、(28)、(29)代入得

(31)

式中：K2=diag(I2×2,ka,I2×2)，I2×2為二階單位陣。

3.2 線性二次最優控制算法設計

(32)

將式(32)展開為

(33)

式中：Kvv=diag(k1,k2)，τi=[τ0τ1τ2]T為控制輸入力矩。

將式(33)寫為

(34)

(35)

(36)

定義以減少彈性振動及能量消耗為優化目標的線性二次最優指標函數為

(37)

式中：Q，R為加權對稱矩陣。

(38)

式中：P為Ricatti方程的解：PA+ATP-PBR-BTP+Q=0。

結合式(34)第一式，基于逆動力學理論，抑制柔性桿彈性振動控制輸入可定義為

(39)

抑制柔性桿彈性振動主動控制欠驅動輸入為

(40)

綜上，為對捕獲載荷后組合體系統不穩定運動進行鎮定控制及對柔性桿的彈性振動進行主動抑制，需對自適應控制輸入及線性二次最優控制輸入進行復合疊加，得復合控制輸入為

τ=τa+τv

(41)

4 數值仿真

通過數值仿真對空間機械臂捕獲載荷過程進行模擬。仿真考慮三種情況：① 空間機械臂受捕獲載荷沖擊后不進行任何主動控制，即關閉所有控制器情況下動力學響應仿真；② 僅開啟自適應控制器進行主動控制情況下動力學響應仿真；③開啟自適應及線性二次最優復合控制器主動控制情況下動力學響應仿真。仿真時，空間機械臂各分體幾何參數為l0=1.5 m，l1=3 m，l2=3 m；各分體質量及中心轉動慣量為m0=30 kg，m1=5 kg，J0=20 kg·m2，J1=3 kg·m2；柔性桿線密度為ρ=1 kg/m；抗彎剛度為EI=200 N·m2。載荷參數為m3=8 kg；J3=3 kg·m2；l3=0.2 m。

4.1 關閉控制器時動力學響應仿真

為評估空間機械臂捕獲載荷過程中所受沖擊影響效應，空間機械臂受載荷沖擊后關閉所有控制器，利用組合體系統動力學模型式(18)計算獲得其動力學響應，受碰撞沖擊后空間機械臂系統運動狀態產生的突變可據式(16)計算。關閉控制器時空間機械臂漂浮基姿態角θ0、兩關節角θ1，θ2響應仿真見圖3；柔性桿前兩階模態坐標δ1，δ2響應仿真見圖4。由兩圖仿真結果表明載荷對空間機械臂沖擊影響效應較大，造成空間機械臂系統無規律運動及柔性桿持續彈性振動，會影響空間機械臂系統穩定，甚至造成結構損壞。

圖3 控制器關閉時漂浮基姿態及機械臂兩關節角響應

圖4 控制器關閉時模態坐標響應

4.2 開啟自適應控制器時動力學響應仿真

開啟自適應控制器時空間機械臂漂浮基姿態角θ0、兩關節角θ1，θ2響應仿真見圖5。由圖5看出，θ0，θ1，θ2角度一直存在小幅波動，此因柔性桿持續彈性振動所致。柔性桿前兩階模態坐標δ1，δ2響應仿真見圖6。由圖6看出，只開啟自適應控制器并不能有效抑制柔性桿彈性振動。

4.3 開啟自適應及線性二次最優復合控制器時動力學響應仿真

為驗證線性二次最優控制算法對柔性桿彈性振動抑制效果，開啟自適應與線性二次最優復合控制器，對捕獲載荷后空間機械臂與載荷組合體系統進行控制。取線性二次最優復合控制器參數為Q=diag(20,20,20,20)，R=diag(1,1,1)。

開啟復合控制器時空間機械臂漂浮基姿態角θ0、兩關節角θ1，θ2響應仿真見圖7；柔性桿前兩階模態坐標δ1，δ2響應仿真見圖8。兩圖仿真表明，柔性桿彈性振動已得到有效抑制及θ0，θ1，θ2角度小幅波動得以消除。

圖5 自適應控制器開啟時漂浮基姿態及機械臂兩關節角響應

圖6 自適應控制器開啟時模態坐標響應

圖7 自適應與線性二次最優復合控制器開啟時漂浮基姿態及機械臂兩關節角響應

圖8 自適應與線性二次最優復合控制器開啟時模態坐標響應

5 結 論

(1) 本文通過理論推導及數值仿真，對受捕獲載荷沖擊后漂浮基柔性空間機械臂動力學響應進行評估認為，該沖擊影響效應會造成空間機械臂與載荷組合體系統不穩定，甚至結構損壞。

(2) 考慮沖擊影響效應及載荷參數未知情況，設計自適應控制算法對捕獲載荷后不穩定運動空間機械臂與載荷組合體系統進行鎮定控制。該控制算法無需控制漂浮基位置，可節省漂浮基位置控制推進器燃料消耗。

(3) 設計線性二次最優控制算法對柔性桿彈性振動進行主動抑制，并用自適應與線性二次最優復合控制算法對組合體系統進行控制。通過三種不同的數值仿真對比分析，控制算法的有效性得以驗證。

[1] Kazuya Y, Dimitar D, Hiroki N.On the capture of tumbling satellite by a space robot[C]//.Proceedings of the 2006 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, Beijing, China，2006:4127-4132.

[2] Rambod R, Moosavian S A A.Multiple impedance control of space free-flying robots via virtual linkages[J].Acta Astronautica, 2010, 66(5):748-759.

[3] 戈新生,陳立群,呂杰.空間機械臂非完整運動規劃的遺傳算法研究[J].宇航學報，2005, 26(3):262-266.

GE Xin-sheng, CHEN Li-qun, Lü Jie.Nonholonomic motion planning of a space manipulator system using genetic algorithm[J].Journal of Astronautics, 2005, 26(3):262-266.

[4] Steven D, Evangelos P.The kinematics, dynamics, and control of free-flying and free-floating space robotic systems[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1993, 9(5):531-543.

[5] 洪昭斌，陳力.參數不確定漂浮基柔性空間機械臂載體姿態、關節協調運動及柔性振動主動抑制的混合控制方案[J].振動與沖擊，2010,29(11):94-99.

HONG Zhao-bin, CHEN Li.Hybrid control scheme of coordinate motion and adaptive vibration control for a free-floating space flexible manipulator with parameter uncertainty[J].Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(11): 94-99.

[6] 杜欣,蔡國平.帶有末端集中質量的雙連桿柔性機械臂主動控制[J].應用力學學報,2009,26(4):672-678.

DU Xin, CAI Guo-ping.Active control for two-link flexible manipulator with tip mass[J].Chinese Journal of Applied Mechanics, 2009,26(4):672-678.

[7] Joono C, Wan K C, Youngil Y.Fast suppression of vibration for multi-link flexible robots using parameter adaptive control[C].//Proceedings of the 2001 IEEE/RSJ,International Conference on Intelligent Robots and System, 2011: 913-918.

[8] Dong Qiu-huang, Chen Li.Dynamic and control of free floating rigid flexible coupling space manipulator during capture uncertain debris[C].// 63rdInternational Astronautical Congress, Naples, Italy, 2012:2702-2710.

[9] Javier G J, Eduardo B.Kinematic and dynamic simulation of multibody systems[M].New York: Springer-Verlag, 1993.

[10] Slotin J E, Li W P.On the adaptive control of robot manipulators[J].Journal of the Robotics Research,1987,6(3):49-59.