一對(duì)嚙合齒輪模型離散成SPH粒子方法研究

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(1.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046；2.新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830047)

一對(duì)嚙合齒輪模型離散成SPH粒子方法研究

熱合買(mǎi)提江·依明1，買(mǎi)買(mǎi)提明·艾尼2

(1.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046；2.新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830047)

利用連續(xù)體離散成均勻分布SPH粒子的思路，以漸開(kāi)線直齒輪為例，通過(guò)其各部分曲線進(jìn)行研究，確定齒輪齒根過(guò)渡曲線以及其他部分的參數(shù)方程，提出了三維齒輪和一對(duì)嚙合齒輪模型離散成SPH粒子的方法和算法，編程實(shí)現(xiàn)了正確嚙合一對(duì)齒輪模型離散成SPH粒子的SPH前處理程序。通過(guò)用SPH方法對(duì)齒輪傳動(dòng)中沖擊、接觸等問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算和模擬，提供了一種較好的前處理平臺(tái)。

SPH方法；齒輪過(guò)渡曲線；離散粒子；前處理

0 引言

在齒輪傳動(dòng)的研究中，準(zhǔn)確繪制齒輪的三維模型是機(jī)械設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)重要工作。其中，齒輪的三維模型造型中齒廓線的繪制是難點(diǎn)，主要原因是齒廓曲線較為復(fù)雜,尤其是齒根部分的過(guò)渡曲線與齒輪的加工方式有關(guān),需要具體分析[1]。

兩齒輪高速旋轉(zhuǎn)嚙合工作時(shí),由于兩齒輪輪齒的相互進(jìn)入嚙合和脫離嚙合等因素，將會(huì)帶來(lái)較大的沖擊。這種沖擊會(huì)造成齒輪接觸強(qiáng)度或彎曲強(qiáng)度超出許用值，從而導(dǎo)致齒面點(diǎn)蝕或齒根斷裂，嚴(yán)重影響機(jī)械結(jié)構(gòu)正常運(yùn)行，甚至?xí)?lái)較大的事故。為此，對(duì)沖擊問(wèn)題的正確評(píng)價(jià)是至關(guān)重要的。沖擊問(wèn)題是一種比較復(fù)雜、求解難度大的非線性工程問(wèn)題。用解析方法和簡(jiǎn)單的數(shù)值方法計(jì)算和仿真時(shí)，一般都會(huì)對(duì)問(wèn)題做大量的簡(jiǎn)化，不能正確地反映實(shí)際情況[2]。基于網(wǎng)格方法分析時(shí)，用固定網(wǎng)格很難實(shí)時(shí)追蹤齒輪傳動(dòng)過(guò)程。特別是，當(dāng)面臨大變形和裂紋擴(kuò)散時(shí)，出現(xiàn)網(wǎng)格纏結(jié)和扭曲，在求解過(guò)程中需要實(shí)時(shí)進(jìn)行跟蹤和網(wǎng)格再劃分，這樣不僅計(jì)算費(fèi)用昂貴、費(fèi)時(shí)，而且會(huì)使計(jì)算精度受損[3-5]。近年來(lái)，光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(SPH)方法被廣泛應(yīng)用在流體和固體力學(xué)領(lǐng)域。SPH方法的基本思想是將齒輪模型離散成有限多個(gè)有密度、體積、位置和速度等屬性的粒子[6-7]，計(jì)算過(guò)程中粒子之間不需要網(wǎng)格連接，而通過(guò)核函數(shù)將它們聯(lián)系起來(lái)，從而保證了物體的連續(xù)性，同時(shí)滿足了能量、動(dòng)量和質(zhì)量的守恒性。由于無(wú)網(wǎng)格方法可以完全拋開(kāi)網(wǎng)格并用拉格朗日方法來(lái)描述，因此，可直接對(duì)物體的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)和變形過(guò)程進(jìn)行追蹤和坐標(biāo)更新，而且容易編程實(shí)現(xiàn)，從而避免網(wǎng)格奇異性帶來(lái)的計(jì)算誤差，保證動(dòng)態(tài)變形和沖擊破碎的計(jì)算精度。用SPH方法對(duì)齒輪傳動(dòng)過(guò)程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和模擬時(shí)，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)正確和合理離散成SPH粒子模型是非常重要的。

在此，根據(jù)連續(xù)體離散成均勻分布SPH粒子思路，以漸開(kāi)線齒輪為例確定齒輪齒廓和輪齒過(guò)度曲線參數(shù)方程，從而確定齒輪上每一個(gè)離散粒子點(diǎn)的原始坐標(biāo)，根據(jù)齒輪嚙合原理，通過(guò)變換實(shí)現(xiàn)一對(duì)嚙合齒輪離散成SPH粒子，建立了三維SPH離散粒子模型，用RasMol軟件來(lái)顯示所作的模型[8]，并通過(guò)所采集齒根、齒廓和齒頂上點(diǎn)的粒子坐標(biāo)，將它們光滑連接，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。

1 連續(xù)體離散成SPH粒子的思路

將連續(xù)體離散成均勻分布的SPH粒子的基本思路是：當(dāng)物體的形狀為長(zhǎng)方形時(shí)，相互距離為粒子間距的平面束，先將物體截成若干個(gè)矩形截面，然后計(jì)算出每個(gè)方向能容納的粒子數(shù)，用粒子數(shù)、每個(gè)方向的長(zhǎng)度和粒子間距來(lái)確定粒子的坐標(biāo)(如圖 1a 所示)。

當(dāng)物體的形狀為球形、圓柱形和錐形時(shí)，相互距離為粒子間距的平面束，先將物體截成若干個(gè)圓截面，然后將每個(gè)圓截面分解成以一個(gè)粒子為中心，半徑相差粒子間距的一系列同心圓面，其次計(jì)算每個(gè)圓的周長(zhǎng)和能容納的粒子數(shù),最后用粒子數(shù)、每個(gè)圓的周長(zhǎng)和粒子間距確定粒子的坐標(biāo)(如圖 1b所示)。

對(duì)于齒輪而言，相互距離為粒子間距的平面束，先將齒輪沿著其厚度截成若干個(gè)齒輪截面，用齒廓曲線方程計(jì)算齒廓線上的點(diǎn)與其中心線上點(diǎn)的相應(yīng)弧長(zhǎng)，來(lái)確定每個(gè)粒子的坐標(biāo)(如圖 1c所示)，具體實(shí)現(xiàn)方法將在下面討論。

圖1 連續(xù)體離散SPH粒子

2 齒廓曲線

2.1 齒廓曲線的漸開(kāi)線方程

由漸開(kāi)線的形成原理可知，用rb表示基圓半徑，rk和θk分別表示漸開(kāi)線上k點(diǎn)的極徑和極角[9]

(1)

αk為k點(diǎn)的壓力角。

2.2 齒根過(guò)渡曲線方程

用齒條型刀具加工齒輪時(shí)，齒條與齒輪的無(wú)間隙嚙合，刀具的直線部分切除被加工的齒輪齒廓的漸開(kāi)線部分，過(guò)渡曲線部分由刀具的圓角部分切除，加工過(guò)程中，刀具的加工節(jié)線與齒輪加工節(jié)圓發(fā)生純滾動(dòng)。

刀具齒廓的參數(shù)和齒根過(guò)渡曲線的參數(shù)方程[1]為：

(2)

rp為刀頂圓角半徑；a為刀頂圓角圓心Cp距中線的距離；b為刀頂圓角圓心Cp距刀具齒槽中心線的距離；f為齒高系數(shù)；c為徑向間隙系數(shù)。

(3)

2.3 齒輪漸開(kāi)線與齒根過(guò)渡曲線的光滑連接

當(dāng)極軸與橫坐標(biāo)、極點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，由式(1)確定漸開(kāi)線上的點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)θ2才能與由式(3)確定出的齒根過(guò)渡曲線，連接為一條完整的光滑齒廓曲線。旋轉(zhuǎn)角度可由式(4)確定，即

(4)

z為齒數(shù)。

3 輪齒截面的離散化

離散化輪齒截面時(shí)，如圖2所示，先對(duì)齒根過(guò)渡曲線與垂直方向之間的部分進(jìn)行離散化，再對(duì)漸開(kāi)線與垂直方向之間的部分進(jìn)行離散化。處理此問(wèn)題的關(guān)鍵，是要確定對(duì)應(yīng)齒廓曲線上點(diǎn)的半徑與垂直方向之間的夾角與弧長(zhǎng)。

圖2 輪齒截面的離散化過(guò)程

3.1 齒根過(guò)度曲線與輪齒中心線之間的離散化

根據(jù)齒根過(guò)渡曲線參數(shù)方程(3)，可得齒根過(guò)渡曲線上對(duì)應(yīng)于α′的半徑為：

(5)

當(dāng)α′=π/2時(shí)，R(α′)的值最小，記為Rmin;當(dāng)α′=α?xí)r，R(α′)的值最大，記為Rmαx。

假設(shè)粒子之間的距離為d，則R(α′)從Rmin每一次增加d到Rmax時(shí)，每一個(gè)R(α′)對(duì)應(yīng)的α′由式(5)來(lái)確定。此時(shí)式(5)變成一個(gè)非線性方程。本研究用牛頓迭代法求解此非線性方程[10]，確定α′近似數(shù)值，計(jì)算齒根過(guò)渡曲線上的點(diǎn)，然后計(jì)算此點(diǎn)與輪齒中心線之間的夾角和弧長(zhǎng)。

3.2 漸開(kāi)線與輪齒中心線之間的離散化

漸開(kāi)線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑，從齒根過(guò)渡曲線最后一個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的半徑Rlast開(kāi)始，每一次增加d，直到齒頂圓半徑Ra。當(dāng)半徑為Rd時(shí)，由式(1)可得對(duì)應(yīng)這個(gè)半徑的壓力角αd為：

αd=arccos(rb/Rd)

(6)

由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，對(duì)應(yīng)半徑Rd漸開(kāi)線上點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：

(7)

式(7)確定的點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ2后，可計(jì)算此點(diǎn)與輪齒中心線之間的夾角和弧長(zhǎng)，具體流程如圖3所示。

圖3 輪齒離散化流程

4 一對(duì)嚙合齒輪模型SPH離散粒子的建立

用以上所述的離散化思路，確定齒輪上每個(gè)SPH離散粒子點(diǎn)的原始坐標(biāo)。要實(shí)現(xiàn)一對(duì)嚙合齒輪的SPH離散粒子模型，有必要將兩輪的每個(gè)SPH離散粒子點(diǎn)的坐標(biāo)通過(guò)變換，平移和旋轉(zhuǎn)到嚙合位置。主動(dòng)輪SPH離散粒子點(diǎn)的坐標(biāo)變換方程為：

(8)

從動(dòng)輪離散坐標(biāo)的變換方程為：

(9)

Y為2個(gè)嚙合齒輪中心之間的距離；xi1,yi1,zi1為主動(dòng)輪的SPH離散粒子點(diǎn)的原始坐標(biāo)；xi2,yi2,zi2為從動(dòng)輪的SPH離散粒子點(diǎn)的原始坐標(biāo)；θ1=2π/(4z1)，θ2=2π/(4z2)，z1和z2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒數(shù)。

在以上研究的基礎(chǔ)上，編程實(shí)現(xiàn)一對(duì)嚙合齒輪離散SPH粒子程序。在程序中輸入齒輪的模數(shù)、齒數(shù)等參數(shù)及粒子間距，將生成RasMol能識(shí)別的有每個(gè)SPH離散粒子點(diǎn)的坐標(biāo)信息文件，用RasMol打開(kāi)此文件，就能看見(jiàn)如圖4a所示的模型(模數(shù)為10mm，齒數(shù)分別為15，30，粒子間距為0.01m)。

將主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的SPH離散粒子點(diǎn)粒子的坐標(biāo)采集出來(lái)，將它們光滑連接，發(fā)現(xiàn)2個(gè)齒輪接觸在基圓上，如圖4b 所示。

圖4 嚙合齒輪模型

5 結(jié)束語(yǔ)

為了用SPH方法對(duì)齒輪傳動(dòng)過(guò)程進(jìn)行計(jì)算和模擬，建立了一對(duì)嚙合齒輪的SPH離散粒子模型，確定了齒根過(guò)渡曲線、齒廓曲線等的參數(shù)方程，編制了實(shí)現(xiàn)一對(duì)嚙合齒輪離散粒子的SPH前處理程序。對(duì)模型進(jìn)行離散的結(jié)果顯示，此研究可以將一對(duì)嚙合齒輪正確離散成SPH粒子，并保證離散后正確嚙合。為今后用SPH方法分析齒輪傳動(dòng)中沖擊、接觸等問(wèn)題，提供了一種較好的前處理平臺(tái)，具體計(jì)算和分析方面的研究將在后續(xù)的文章中給出。

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Research on a Pair Meshing Gear Model Discrete into SPH Particle

RAHMATJANImin1,MAMTIMINGeni2

(1.College of Mathematics and System Science, Xinjiang University, Urumqi 830046, China；2.School of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830047, China)

In this paper,` based on continuums discrete into SPH particles idea ,take involute spur gear as an example, the parameter equations of the transition curve of gear root and the other parts of gear are decided by studied every part curve of gear, provide a algorithm of discrete into SPH particles for 3D gear model and a pair of meshing gear model, programmed pre-processor program for correct meshing a pair of gear, to calculate and simulate impact ad contact in gear transmission to provide a good pre-processor platform.

SPH method;gear transition-curve; discrete particles; pre-processor

2014-06-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51075346)

TH112;TH132.4

A

1001-2257(2014)10-0008-04

熱合買(mǎi)提江·依明(1974-)，男，新疆伊犁人，講師，研究方向?yàn)闄C(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)與數(shù)值模擬研究；買(mǎi)買(mǎi)提明·艾尼(1958-)，男，新疆烏魯木齊人，教授，博士，博士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論、計(jì)算力學(xué)。