考慮裂紋效應的彈性板振動分析模型

劉文光, 嚴 鋮

(南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063)

在航空航天領域，板的應用十分廣泛，例如飛機進氣道壁板、機翼下壁板、尾翼根部、發動機罩蒙皮以及發動機葉片等在一定條件下均可簡化為板模型來研究。因為振動載荷一直貫穿于飛行器的發射、飛行直至完成使命的全過程，尤其是激勵頻率與飛行器結構某共振頻率重合或相交時，結構可能萌生疲勞裂紋并不斷擴展，甚至完全斷裂，嚴重影響飛行器的安全可靠性。據不完全統計，在航空發動機的各類故障中，約有20%的故障是由于葉片含裂紋導致的[1]。由于裂紋的演變，使得含裂紋彈性板的動力學響應出現明顯的非線性，給飛行器結構動力學設計帶來很大困難。為此，研究探討含裂紋彈性板的動力學行為與裂紋擴展的耦合效應對保障飛行器的安全可靠性具有重要的意義。

近年來，不少研究人員提出了各種計算彈性板固有頻率的方法，如Lynn等[2]、Stahl等[3]等把含裂紋板的頻率計算轉化成Fredholm方程特征值的求解，而Maruyama等[4]通過試驗研究不同裂紋尺度時板的固有頻率，Hirano等[5]利用傅里葉變換方法預測彈性板的固有頻率，Yuan等[6]運用Rayleigh-Ritz方法計算彈性板的固有頻率，等等。為了探討含裂紋彈性板的動力學特性，Khadem等[7]基于結構裂紋局部柔度理論提出一種含裂紋板的振動分析方法，Israr等[8]研究了含裂紋板的建模方法，并探討了不同邊界條件和加載條件下的振動特性，Wu等[9]研究了受面內周期載荷激勵下含裂紋板的振動不穩定及其非線性響應特性，Krawczuk等[10]分析了含裂紋板的波傳播及損傷識別問題。

盡管國內外學界和工程界在飛行器結構動力學設計時考慮了裂紋效應的影響，然而現行的設計方法鮮有人考慮結構動力學與疲勞裂紋變化之間的耦合效應，這很可能成為導致飛行器事故屢屢發生的重要原因。為了對飛行器結構進行精確的動力學設計，其根本任務在于能否準確地預測含裂紋板的振動行為與裂紋擴展規律，而解決問題的關鍵是建立含裂紋彈性板的動力學分析模型。為此，本文基于增加外部載荷和增加結構柔度在引起結構彈性變形方面具有等效性，提出一種耦合裂紋項的彈性板動力學建模方法，并以此為基礎探討含裂紋彈性板的若干動力學特性。

1 彈性板的動力學方程

一直以來，很多力學家都對彈性板的振動方程進行了嚴格的推導，但是這些推導并未考慮裂紋損傷對板振動特性的影響，導致經典的板振動方程難以應用于含裂紋板的振動與疲勞分析。于是不少研究者分析平板振動及其裂紋擴展特性時，常把裂紋作為自由邊界來求解[9]。然而，振動環境下的結構裂紋可能伴隨著振動激勵發生擴展，尤其是共振狀態時裂紋擴展非常迅速。如此條件下，若依然采用以上求解方法就非常困難。針對該問題，筆者認為考慮裂紋影響的最優策略則是把裂紋對彈性板振動的作用耦合到運動方程中。

1.1 建模策略

彈性板在振動載荷的循環激勵下，其內部可能萌生裂紋并逐步擴展，而由此引起的結構柔度增加使得板在外部載荷不變的情況下，其彈性變形也會逐漸變大；同理，如果在受力平衡的彈性板的兩側逐漸增大外部載荷，即使不考慮裂紋所引起的結構柔度變化，彈性板的幾何變形也會相應地增大?；趶椥宰冃蔚刃г瓌t，推導彈性板振動分析模型時可近似采用一個虛擬外部載荷來代替裂紋效應對變形的作用。

在理論推導之前，假定板的材料完全彈性、均質、各向同性；板的厚度均勻，遠小于其長度和寬度；板的應變分量足夠小，滿足胡克定律；板的橫向正應力分量相對其它方向應力分量很小，在應力應變關系中忽略不計；忽略剪切變形，且截面滿足平面假設；忽略轉動慣量、剪切力的影響。

(1)

式中：w為橫向位移，t為時間，ρ為材料密度，E為楊氏彈性模量，ν為泊松比，h為板厚，D為彎曲剛度，Pz為單位面積加載，nx、ny、nxy分別為單位長度的面力或薄膜力。

1.2 裂紋項表達式

(2)

(3)

式中：N∞、M∞分別是y=0處沿y方向單位長度的拉力和彎矩，αbb、αtt、αtb分別是無量綱彎曲柔度、拉伸柔度和拉彎耦合柔度，a為裂紋半寬。

將裂紋項代入運動方程，以Kirchhoff薄板內力條件[13]近似代替M∞，整理得：

(4)

2 彈性板動力學分析

對多數機械結構而言，線性振動模型已經足夠滿足需求，但結構內部存在裂紋或受到面內外部載荷時，繼續使用線性模型可能不恰當。因為疲勞裂紋的引入，容易導致振動非線性，使結構振動響應變得無法預測。考慮到彈性板振動時，轉動慣量和剪切變形對高階模態的影響比對低階模態的影響更為明顯，所以下面分析只考慮第一階模態對振動的貢獻。假設板振動響應采用級數形式解[13]，通過Galerkin法可把含裂紋彈性板動力學系統簡化成如下單自由度模型：

(5)

式中：Amn為任意幅值；Xm和Yn為彈性板的振型函數；ψmn是與時間有關的模態坐標；P0為作用在板上的集中力；坐標(x0,y0)為集中力的作用位置；δ表示Dirac函數。

利用Berger的研究，以板中面應變表達式第二項不變量引起的應變能推導出x和y方向單位長度上的面力nx和N∞的表達式[14]。把nx、N∞代入式(5)并通過Galerkin方法沿整個板面積分可得含平方和立方非線性項的動力學模型。進一步假設板受到外部力P0(t)=pcosΩmnt和線性阻尼作用，得到含平方和立方非線性項的振動模型：

(6)

式中：μ是阻尼系數，ωmn是彈性板固有頻率，αmn和βmn是平方和立方非線性項系數，p是外部激勵力幅值，Ωmn是外部激勵力頻率。

通過多尺度法[15]求解方程(6)得到含裂紋彈性板的頻響特性，其特性方程如下:

(7)

式中：σmn是調諧參數，它是激勵頻率和共振頻率接近程度的描述，α是響應幅值。

假設裂紋只沿x方向徑直擴展，忽略其它方向動應力對裂紋疲勞擴展的影響，可得到裂紋頂端表面位置y方向動應力σy的近似計算式

(8)

3 算 例

考慮圖1所示含裂紋鋁板，通過上述理論分析可探討裂紋效應對結構振動特性的影響。假定板的四邊簡支，尺寸為長l1、寬l2、厚h，l1、l2?h，在彈性板中央有一寬為2a的裂紋，裂紋方向與x軸平行。分析時，用無損彈性板的振型函數近似代替含裂紋板的振型函數[16]

圖1 含裂紋彈性板模型

1.l1=1 m、l2=1, 2. l1=0.5、l2=1 m, 3. l1=1 m、l2=0.5 m, 4. l1=0.5 m、l2=0.5 m— 本文計算結果， ○、△、□、*文獻[8]的結果

計算時，相對裂紋深度ξ取0.6，對應局部柔度系數αtt=3.553、αbb=1.079、αtb=1.932[17]。鋁合金彈性模量E=70.3 GPa、密度ρ=2 660 kg/m3、泊松比v=0.33[11]。通過本文模型得到了裂紋板的第一階固有頻率，并與文獻[8]比較，見圖2。分析發現兩者基本吻合，表明模型具有一定的可行性。

在板坐標(0.375, 0.375)處施加10牛頓的交變載荷，并考慮線性阻尼μ=γωmn的作用，γ是彈性板模態阻尼因子。計算表明，彈性板的振動呈明顯的非線性，板尺寸和裂紋尺度對振動非線性有較強的影響，如圖3、4所示。在同裂紋情況下，長寬相等時，隨著板尺寸的增大振動非線性減弱；板長大于板寬時，非線性特征呈彈簧漸硬特性；反之非線性特征呈彈簧漸軟特性。長寬比確定時，隨著裂紋尺度的不斷增大，振動非線性逐漸增強。當裂紋尺度非常小(如0.000 01 m)，裂紋所引起的非線性特征不是很明顯，近似于線性問題。

裂紋頂端表面的動應力幅值是驅動裂紋疲勞擴展的主要因素，它受到激勵力位置以及阻尼大小的控制，如圖5、6所示。激勵力位置距離邊界位置越遠，動應力幅值越大。隨著板受到阻尼值的不斷增大，裂紋頂端的動應力幅值急劇下降，阻尼對響應幅值具有明顯的抑制。

1.l1=1 m、l2=0.5 m, 2. l1=2 m、l2=1 m, 3. l1=2 m、l2=2 m, 4. l1=1 m、l2=1 m 5. l1=0.5 m、l2=0.5 m, 6. l1=1 m、l2=2 m, 7. l1=0.5 m、l2=1 m

1. γ=0.001, 2. γ=0.003, 3. γ=0.005, 4. γ=0.007

4 結 論

(1) 基于變形等效原則，以虛擬的外部載荷近似代替裂紋，通過力學平衡原理推導了含裂紋彈性板的動力學方程，在此基礎上，結合Galerkin法和Berger經驗把含裂紋彈性板振動系統簡化成單自由度非線性振動模型。

(2) 以四邊簡支含裂紋板為對象，探討了彈性板尺寸、裂紋尺度、阻尼以及激勵力位置對振動非線性特性和動應力幅值的影響。

(3) 結論表明，耦合裂紋項的彈性板動力學模型考慮了振動行為與裂紋擴展的耦合效應，為板結構動力學設計提供了理論工具。

參 考 文 獻

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