同軸對(duì)轉(zhuǎn)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析

石萬(wàn)凱， 劉 敬， 龔建春

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044； 2.攀枝花學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，攀枝花 617000)

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有體積小、傳動(dòng)比大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)不僅擁有普通行星齒輪傳動(dòng)的特點(diǎn)，還可以將單一輸入轉(zhuǎn)換成兩個(gè)輸出，實(shí)現(xiàn)減速增扭的作用。同時(shí)也可以滿足在工作中產(chǎn)生較小的不平衡力矩和較低的振動(dòng)噪聲的要求。而行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲控制有很大影響，是同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容之一。

20世紀(jì)70年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)行星齒輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了許多理論與實(shí)驗(yàn)研究。Hidaka等[1]運(yùn)用理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，分析了行星齒輪傳動(dòng)中齒輪的安裝與制造誤差對(duì)系統(tǒng)載荷分配的影響，同時(shí)也得到了浮動(dòng)某一構(gòu)件能夠改善系統(tǒng)的載荷分配。Kahraman等[2-3]用集中質(zhì)量法建立了行星齒輪系統(tǒng)的非線性時(shí)變動(dòng)態(tài)模型，在此模型中，考慮了銷軸孔的位置誤差與行星輪偏心誤差對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，又通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)證了不同誤差與行星輪個(gè)數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。Lin等[4]建立了直齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)—橫向耦合模型，分析了無(wú)阻尼振動(dòng)下系統(tǒng)的三種振動(dòng)模式：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、橫向振動(dòng)和行星輪振動(dòng)。孫智民等[5]建立了封閉行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析了差動(dòng)級(jí)與封閉級(jí)的動(dòng)載系數(shù)以及不同輸入轉(zhuǎn)速下太陽(yáng)輪的浮動(dòng)軌跡。陸俊華等[6]分析了不同裝配誤差與安裝誤差對(duì)2K-H型行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性的影響。秦大同等[7-8]基于Lagrange方程建立了盾構(gòu)機(jī)多級(jí)行星齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析該系統(tǒng)的模態(tài)特性、位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)等。對(duì)于同軸對(duì)轉(zhuǎn)輪系功率流流向，石萬(wàn)凱等[9-10]分析了由差動(dòng)輪系和復(fù)合輪系組成的同軸對(duì)轉(zhuǎn)輪系的功率流。并確定了其不產(chǎn)生功率循環(huán)所需要滿足的條件。

1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

由定軸輪系與差動(dòng)輪系組成的同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示，定軸輪系由太陽(yáng)輪Zs1、行星輪Zpi(i=1,2,…,N)和內(nèi)齒圈Zr1組成，差動(dòng)輪系由太陽(yáng)輪Zs2、行星輪Zmj(j=1,2,…,M)、內(nèi)齒圈Zr2以及行星架C組成，其中內(nèi)齒圈是雙齒圈且采用相同的幾何參數(shù)。輸入扭矩通過(guò)太陽(yáng)輪分流傳遞給定軸輪系機(jī)構(gòu)與差動(dòng)輪系機(jī)構(gòu)，并通過(guò)內(nèi)齒圈和行星架C分別形成輸出A和B。

圖1 同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

基于集中質(zhì)量參數(shù)法建立同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，模型中考慮各個(gè)齒輪副的時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差的影響。圖2(a)為固定坐標(biāo)系下定軸輪系的動(dòng)力學(xué)模型，其中Kspi、Cspi、espi分別為太陽(yáng)輪Zs1與行星輪Zpi的嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差，Krpi、Crpi、erpi分別為內(nèi)齒圈Zr1與行星輪Zpi的嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差；圖2(b)是差動(dòng)輪系以行星架轉(zhuǎn)速ωc為動(dòng)坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)模型，其中Ksmj、Csmj、esmj分別為太陽(yáng)輪Zs2與行星輪Zr2的嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差，Krmj、Crmj、ermj分別為內(nèi)齒圈Zr2與行星輪Zmj的嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差。在圖(2)中，k1為太陽(yáng)輪Zs1、Zs2之間的耦合扭轉(zhuǎn)剛度，k2為內(nèi)齒圈Zr1、Zr2之間的耦合扭轉(zhuǎn)剛度，kC為行星架的扭轉(zhuǎn)剛度，kr1、kr2分別為內(nèi)齒圈Zr1、Zr2的支撐剛度，kp1、kp2分別為行星輪Zpi、Zmj的支撐剛度，行星輪支撐剛度的計(jì)算按Montestruc[11]提供的方法進(jìn)行計(jì)算。

圖2 同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)共有(13+3N+3M)個(gè)自由度，其廣義坐標(biāo)如下：

X=(xs1,Hs1,Vs1,xpi,εpi,ηpi,xr1,Hr1,Vr1,xs2,Hs2,Vs2,xmj,εmj,ηmj,xr2,Hr2,Vr2,xc)T
(i=1,2,…,N;j=1,2,…,M)

(1)

式中：xs1，xpi，xr1，xs2，xmj和xr2分別為齒輪Zs1，Zpi，Zr1，Zs2，Zmj和Zr2沿嚙合線的微位移，Hxy和Vxy(x=s,r;y=1,2)為齒輪xy中心的橫向和縱向微位移，εpi和ηpi為行星輪Zpi中心的徑向和切向微位移，εmj和ηmj為行星輪Zmj在動(dòng)坐標(biāo)系下質(zhì)心的徑向和切向微位移，xC為行星架C在其半徑rC上的切向微位移。

2 同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)平衡方程

設(shè)δs1pi和δr1pi為定軸輪系第i個(gè)行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈沿嚙合線的等效微位移，δs2mj和δr2mj為差動(dòng)輪系第j個(gè)行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈沿嚙合線的等效微位移，則：

(2)

式中，φi=2π(i-1)/N為定軸輪系第i個(gè)行星輪相對(duì)于第一個(gè)行星輪的位置角，φj=2π(j-1)/M為差動(dòng)輪系第j個(gè)行星輪相對(duì)于第一個(gè)行星輪的位置角；espi和erpi分別為定軸輪系行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的等效嚙合誤差，esmj和ermj分別為差動(dòng)輪系行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的等效嚙合誤差；α1和α2分別為定軸輪系行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的嚙合角，α3和α4分別為差動(dòng)輪系行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的嚙合角。

根據(jù)式(2)中的微小位移量，乘以嚙合剛度可以得到每對(duì)齒輪副之間的嚙合力。令Fs1pi和Fr1pi為定軸輪系行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的嚙合力，F(xiàn)s2mj和Fr2mj為差動(dòng)輪系行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的嚙合力，則各個(gè)齒輪副沿嚙合線方向的嚙合力為：

(3)

同理可以得到齒輪副的嚙合阻尼力，令Ds2pi和Dr2pi為定軸輪系行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的嚙合阻尼力，Ds2mj和Dr2mj為差動(dòng)輪系行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的嚙合阻尼力，則各個(gè)齒輪副沿嚙合線方向的嚙合阻尼力為：

(4)

根據(jù)Lagrange方程推導(dǎo)出同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)各個(gè)自由度的振動(dòng)微分方程：

定軸輪系太陽(yáng)輪平衡方程：

定軸輪系行星輪平衡方程：

(5b)

定軸輪系內(nèi)齒圈平衡方程：

(5c)

差動(dòng)輪系太陽(yáng)輪平衡方程：

(5d)

差動(dòng)輪系行星輪平衡方程：

(5e)

差動(dòng)輪系內(nèi)齒圈平衡方程：

(5f)

差動(dòng)輪系行星架平衡方程：

(5g)

式中M和m分別為各個(gè)構(gòu)件的等效質(zhì)量和平移質(zhì)量，且M=J/r2，J為構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)于齒輪，r是其基圓半徑rb，對(duì)于行星架，r是其當(dāng)量基圓半徑rbc。T1為同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)輸入扭矩，T2為差動(dòng)輪系內(nèi)齒圈Zr2的輸出扭矩，T3為差動(dòng)輪系行星架C輸出扭矩。

將方程(5a)～(5g)整理成如下的矩陣形式：

(6)

式中：M，X為廣義質(zhì)量矩陣，廣義坐標(biāo)位移列陣;C，F(xiàn)為阻尼矩陣，外載荷列陣;K(t)為時(shí)變剛度矩陣。

3 系統(tǒng)的激勵(lì)與功率流

3.1 綜合嚙合誤差激勵(lì)

齒輪的制造誤差和安裝誤差是齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)的主要因素。誤差可以用隨齒輪嚙合周期變化的正弦函數(shù)來(lái)描述，并且認(rèn)為行星架安裝和制造偏心誤差都包含在太陽(yáng)輪和齒圈的偏心誤差中，只用考慮齒輪偏心誤差的影響即可[5]。

將定軸輪系偏心誤差與齒頻誤差等效到齒輪副嚙合線上，則:

(7)

式中，Es1pi和Er1pi分別表示行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈嚙合的齒頻誤差，其初相位分別為βs1pi和βr1pi；Es1，Epi和Er1分別表示太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈的偏心誤差，其初相位分別為βs1，βpi和βr2；ω1表示定軸輪系的嚙合齒頻，ωs1，ωpi和ωr1分別表示太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈的角速度。

將差動(dòng)輪系偏心誤差與齒頻誤差等效到齒輪副嚙合線上，則:

(8)

式中，Es2mj和Er2mj分別表示行星輪與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈嚙合的齒頻誤差，其初相位分別為βs2mj和βr2mj；Es2，Emj和Er2分別表示太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈的偏心誤差，其初相位分別為βs2，βmj和βr2；ω2表示差動(dòng)輪系的嚙合齒頻，ωs2C，ωmjC和ωr2C分別表示太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈相對(duì)行星架的角速度。

3.2 時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)

本文齒輪時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算按Maatar等[11]推導(dǎo)的公式進(jìn)行計(jì)算，則:

(9)

式中，τ=t/Tm，t為時(shí)間，Tm為嚙合周期；b齒寬，ε為直齒輪副重合度，k0為靜載荷下單位齒寬平均嚙合剛度，且:

Ak=sin(2πkε)/(π·ε·k)
Bk=(1-cos(2πkε)/(π·ε·k)

3.3 功率流分析

對(duì)于圖1所示的同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)，通過(guò)合理的齒數(shù)配比可以滿足ω2=-ω2的設(shè)計(jì)要求，同時(shí)在給定的輸入功率條件下，此傳動(dòng)系統(tǒng)可能存在功率循環(huán)的問(wèn)題，影響傳動(dòng)的效率。同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)不存在功率循環(huán)且定軸輪系也傳遞功率的條件是[9]：

(10)

式中：i為設(shè)計(jì)傳動(dòng)比，且i=ωs1/ωr1。

對(duì)于此同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)，還需滿足|T2|?|T3|，可以得到：

(11)

式中：P1為定軸輪系分流的功率，P2為差動(dòng)輪系分流的功率，P為同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)輸入功率。

4 系統(tǒng)微分方程求解及動(dòng)態(tài)特性分析

對(duì)于微分方程組，得到其解析解是非常困難的，一般采用數(shù)值分析方法進(jìn)行求解，本文采用4階Runge-Kutta法來(lái)獲得方程(6)的數(shù)值解。對(duì)某一同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)運(yùn)用上述方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，其主要參數(shù)如下，兩級(jí)太陽(yáng)輪與行星輪精度等級(jí)為5級(jí)，內(nèi)齒圈為6級(jí)。定軸輪系：Zs1=22，Zpi=44，Zr1=110，模數(shù)m1=1.75，齒寬b1=20 mm，行星輪個(gè)數(shù)N=3；差動(dòng)輪系：Zs2=55，Zmj=27，Zr2=110，模數(shù)m2=1.75，齒寬b2=30 mm，行星輪個(gè)數(shù)M=3；系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)速n=10 000 r/min，輸入功率P=300 kW，各齒輪的偏心誤差為10 μm，齒頻誤差為5 μm。

4.1 同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)各構(gòu)件振動(dòng)響應(yīng)

由于定軸輪系與差動(dòng)輪系中的各個(gè)行星輪只存在空間位置差，并且在本文中各個(gè)行星輪綜合誤差取相同值，所以在每一級(jí)中只對(duì)其中一個(gè)行星輪進(jìn)行振動(dòng)分析。各級(jí)太陽(yáng)輪和行星輪的振動(dòng)位移時(shí)域曲線如圖3、圖4和圖5 所示。各個(gè)齒輪的振動(dòng)位移曲線都是關(guān)于y=0軸對(duì)稱，并且呈現(xiàn)出低頻周期性波動(dòng)；由于差動(dòng)輪系承擔(dān)了5/6的輸入扭矩，且嚙合頻率更高，其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值高于定軸輪系；同時(shí)也可以看出，差動(dòng)輪系太陽(yáng)輪采用了浮動(dòng)裝置，橫向和縱向的振動(dòng)位移相對(duì)于其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)來(lái)說(shuō)，振動(dòng)位移曲線更加的平滑。

圖3 定軸輪系位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線

系統(tǒng)部分構(gòu)件速度動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖6和圖7所示。

由圖6、 7可知，定軸級(jí)與差動(dòng)級(jí)的太陽(yáng)輪和行星輪沿嚙合線的振動(dòng)速度響應(yīng)規(guī)律相同，總是關(guān)于y=0對(duì)稱，并且不具有周期性，兩級(jí)太陽(yáng)輪的輸入轉(zhuǎn)速相等，但外部激勵(lì)不同，速度響應(yīng)曲線相似，幅值不等，定軸級(jí)太陽(yáng)輪振動(dòng)速度幅值約為1.4 m/s，差動(dòng)級(jí)約為3.8 m/s。同時(shí)，行星架的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)呈現(xiàn)出周期性，但振動(dòng)速度幅值較小，約為0.8 m/s，主要是因?yàn)樾行羌苻D(zhuǎn)動(dòng)慣量較大。

圖4 差動(dòng)輪系太陽(yáng)輪位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線

圖5 差動(dòng)輪系行星輪位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線

圖6 定軸輪系扭轉(zhuǎn)速度動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線

圖7 差動(dòng)輪系扭轉(zhuǎn)速度動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線

4.2 系統(tǒng)的均載特性

行星齒輪傳動(dòng)由于受各個(gè)齒輪偏心誤差與齒頻誤差的影響，每個(gè)行星輪承擔(dān)的載荷并不相等，通常用均載系數(shù)來(lái)表示，同時(shí)構(gòu)件是否浮動(dòng)也對(duì)載荷分配有影響。均載系數(shù)越大，行星齒輪系統(tǒng)的載荷分配越不均勻。將式(6)中得到的位移響應(yīng)代到式(3)中，得到彈性嚙合力Fs1pi，F(xiàn)r1pi，F(xiàn)s2mj和Fr2mj。令bspik1和bspik2分別為定軸輪系的在一個(gè)嚙頻周期內(nèi)外嚙合與內(nèi)嚙合的均載系數(shù)，bsmjk1和brmjk2分別為差動(dòng)輪系的在一個(gè)嚙頻周期內(nèi)外嚙合與內(nèi)嚙合的均載系數(shù)，則

(12)

式中：k1=1,2,…,n1；k2=1,2,…,n2，n1和n2分別為同軸對(duì)轉(zhuǎn)輪系定軸級(jí)與差動(dòng)級(jí)的嚙頻周期數(shù)。

由于定軸級(jí)或差動(dòng)級(jí)中行星輪的內(nèi)嚙合與外嚙合均載系數(shù)基本相等，因此本文中只比較定軸級(jí)和差動(dòng)級(jí)行星輪與太陽(yáng)輪嚙合的均載系數(shù)。由圖8和圖9可知，兩級(jí)均載系數(shù)呈現(xiàn)周期性波動(dòng)，且定軸級(jí)的波動(dòng)幅值大于差動(dòng)級(jí)。定軸級(jí)的均載系數(shù)約為1.02，差動(dòng)級(jí)的均載系數(shù)約為1.01，差動(dòng)級(jí)比定軸級(jí)載荷分配更均勻。同時(shí)可以看出，在每對(duì)齒輪副偏心誤差和齒頻誤差取相等的條件下，定軸輪系比差動(dòng)輪系的載荷分配更加敏感。

圖8 定軸輪系外嚙合各行星輪的均載系數(shù)

圖9 差動(dòng)輪系外嚙合各行星輪的均載系數(shù)

5 結(jié) 論

(1) 基于Lagrange方程采用集中參數(shù)法建立了同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，考慮了誤差激勵(lì)、剛度激勵(lì)和功率流對(duì)系統(tǒng)的影響，運(yùn)用數(shù)值分析方法求解了同軸對(duì)轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)各個(gè)構(gòu)件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

(2) 同軸對(duì)轉(zhuǎn)系統(tǒng)各個(gè)構(gòu)件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律相似，但幅值大小不等。差動(dòng)輪系各個(gè)構(gòu)件沿嚙合線的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)幅值都要高于定軸輪系，這是因?yàn)椴顒?dòng)輪系嚙合齒頻高，且分流了更多的功率。

(3) 定軸輪系的均載系數(shù)高于差動(dòng)輪系，載荷分配更加不均勻。在相等的誤差激勵(lì)下，定軸輪系與差動(dòng)輪系相比，誤差的敏感性更高。

參 考 文 獻(xiàn)

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