線性模型中總平方和分解公式的證明*

王劍紅,楊素芳

(山西藥科職業學院 基礎部,山西 太原 030031)

線性模型中總平方和分解公式的證明*

王劍紅,楊素芳

(山西藥科職業學院 基礎部,山西 太原 030031)

文中結合矩陣的知識,通過正交變換,給出了正交飽和設計對應的線性統計模型中總平方和分解公式的另一種證明方法，優化了文獻[1]中對其的證明.

矩陣;冪等陣;正交矩陣;投影矩陣

對于正交飽和設計問題，通?？捎萌缦碌木€性統計模型來描述

Y=β01n+β1x1+…+βmxm+ε=μ+ε

(1)

其中Y=(y1,y2,…,yn)T是觀察值向量；xj=(x1j,x2j,…,xnj)/，j=1,2,…,m由試驗設計來確定；矩陣X=(x1,x2,…,xm)為上述正交表H所對應的設計陣；β=(β0,`β1,…,βm)T；ε=(ε1,ε2,…,εn)/是誤差向量，且εi(i=1,2,…,n)是相互獨立同分布的隨機變量，且有ε～N(0,σ2In).

由于模型(1)是基于正交飽和設計，故此時的誤差平方和等于零，從而使總平方和SSj與各列的效應平方和之間有如下總平方和分解公式

SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm成立.

這篇文章我們給出了總平方和SST與各列的效應平方和SSj之間的矩陣證明方法,優化了文獻[1]中對其的證明.

1 預備知識

在一個試驗設計中，當被考慮因子(包括交互作用)個數多到使得需估計參數的個數達到可估計參數的最大個數時，這樣的試驗設計稱為飽和設計.當一個飽和設計又為一個正交設計時，稱為正交飽和設計.

2 主要研究結果及證明

又注意到

Tj為對應設計陣第j列的置換矩陣，即Tj中只有0和1兩個元素，而且每一行、每一列有且只有一個1，其余的元素全是0.由張應山的博士論文知,Tj具有存在性.

取

故

這樣,對于模型(1)，各列的效應平方和

YTAjY,j=1,2,…,m.

且Pn,A1,…,Am為相互正交的投影陣.

因為

diag(Pr1,Pr2,…,Prm)Tdiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=

diag(Pr1,Pr2,…,Prm)且Pndiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=

Pn,PnAj=0,AiAj=0(i≠j).

所以Pn,A1,…,Am為相互正交的投影陣.

容易驗證

τn=In-Pn=

所以SST=YTτnY=YT(A1+A2+…+Am)Y=

SS1+SS2+…+SSm.

總平方和自由度為fT=n-1,fj=pj-1為第j列平方和的自由度(j=1,2,…,m),而完全正交設計是指上述正交設計滿足如下的等式n-1=(p1-1)+(p2-1)+…+(pm-1).

故SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm.對比文獻[1]和本文中證明的方法，顯然用矩陣知識證明更為簡潔.

[1]張曉琴.正交飽和設計的統計分析[J].應用概率統計,2007,23(1):91-102.

[2]張應山.正交表的數據分析及其構造[D].上海:華東師范大學博士論文,2006.

[3]茆詩松,周紀薌,陳穎.試驗設計[M].北京:中國統計出版社,2004.

[4]張金槐.線性模型參數估計及其改進[M].長沙:國防科技大學出版社,1992.

[5]張應山.多邊矩陣理論[M].北京:中國統計出版社,1993.

[6]程云鵬.矩陣論[M].西安:西北工業大學出版社,2002.

[7]余錦華,楊維權.多元統計分析與應用[M].中山大學出版社,2005..

(責任編輯:王宏志)

2014-01-05

王劍紅(1971-),山西汾陽人,碩士,講師.

O

A

1008-7974(2014)01-00032-03