數學教學中常見錯例分析

易嵐

摘 要：數學教學中常見錯例分析是初中數學教學過程的一個重要組成部分，本文通過平時的教學總結，悟出了初中階段常見錯例分析的一些對策。

關鍵詞：數學概念；運算能力；思維能力

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）15-389-02

數學概念是數學思維的細胞，是形成數學知識體系的基本要求，是數學基礎知識的核心，教好數學概念是提高中學數學質量的關鍵。

在教學中，學生在數學作業中出現的許多錯誤是因為對概念的內涵、外延、表達、敘述不清楚，理解不透徹、變式不夠完全，沒有掌握住概念中本質的內容，沒有對其中的關鍵詞句的含義真正理解而產生的。概念教學至關重要，在整個數學教學中起著舉足輕重的作用。因此，有必要對概念中出現的錯誤進行分析，從而不斷積累經驗，鞭策不足。下面就以教學中學生作業里的錯誤作淺顯分析：

一、《四邊形》中常見錯例分析

在《四邊形》這一章的測試題中，常有以下類型的選擇題（判斷題）

1、下列給出的四邊形條件中，能判定其為平行四邊形的是（ ）。

A、一組對邊相等，另一組對邊平行；

B、一組對邊平行，一組鄰角互補；

C、一組對邊相等，且兩條對角線相等；

D、一組對角相等，一組對邊平行。

2、已知命題（1）對角線相等的四邊形是矩形；（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形；（3）對角線互相垂直相等的四邊形是正方形；（4）內角度數比為1：1：1：1的四邊形是正方形。

題2中真命題的個數是（ ）

A、0個 B、1個 C、2個 D、3個

第1、2題的正確答案分別是D和A。

這兩道選擇題均屬于基本概念辨析，難度不大，但正確率小，我對錯因作如下分析：

1、忽視判定一個圖形所必要的獨立條件

由定義知，判定一個四邊形是平行四邊形有以下幾種方法：（1）一組對邊分別平行且相等；（2）兩組對邊分別平行的四邊形；（3）兩組對邊分別相等的四邊形等。我們發現每種判定中都含有兩個獨立的條件，一是一組對邊平行且相等，二是兩組對邊分別平行。

判定一個四邊形是矩形有三種方法：（1）有三個角是直角的四邊形；（2）有一個角是直角的平行四邊形；（3）兩條對角線相等的平行四邊形。每一種判定中包含有三個獨立條件；（2）中是“有一個角是直角”和“平行四邊形中對邊分別相等，分別平行”共三個條件。

判定一個四邊形是菱形方法中如（1）對角線互相垂直的平行四邊形，（2）有一組鄰邊相等的平行四邊形。這里每組方法中都含有三個獨立的條件：一是“對角線互相垂直”，“有一組鄰邊相等”，二是“平行四邊形”中又有兩個條件。

判定一個四邊形是正方形的方法有：（1）有一組鄰邊相等的矩形；（2）有一個角是直角的菱形。每種方法中的條件都有四個：一是有一組鄰邊相等；二是“矩形”，而矩形中又含有三個條件，因而說判定一個四邊形是正方形共需四個獨立條件。

而以上各題中如2（1）（2）都只有一個條件，而2（3）只有兩個條件，題2（4）中只有三個條件，比所需要都少了一個，所以都是假命題。

2、在探求符合題設條件的圖形時，思考不周，以偏概全，以特殊代替一般造成錯解。

3、混淆了圖形的性質定理和判定定理的區別。以矩形為例對角線相等是矩形的一個性質，但對角線相等的四邊形未必是矩形，如果用對角線相等來判定四邊形是矩形，這是用性質定理代替判定定理，混淆了兩者區別，忽視了矩形是特殊的平行四邊形，首先必須是平行四邊形。同樣正方形是特殊的矩形或菱形，首先必須是矩形或菱形。這是造成題2的四個假命題錯判為真命題的又一原因。

學習幾何，必須清晰地感知慨念，分清圖形的性質與判定，處理好特殊與一般的關系。

二、《數的開方》中常見錯例分析

平方根和算術平方根是《數的開方》一章的兩個重要的概念，初學者往往對兩個概念理解不準確造成各種各樣的錯誤，下面舉例說明之：

1、（1）52的平方根是（ ）；（2）（ ）2的平方根是（ ）。

錯誤答案是（1）5，（2） 。答案不全，漏掉了其中隱含的另一平方根，產生錯誤的原因是對平方根的個數沒有搞清，誤認為a2的平方根

只有a。而忽視了另一平方根-a。

2、化簡

錯誤答案是 ，評析：錯因是對“ ”、“ ”、“- ”的涵義沒有搞清楚。一般地若a≥0，則 表示a的平方根， 表示a的算術平方根； 表示a的負的平方根，所以正確的答案為 。

3、（3.14 ）2的算術平方根是（ ）

錯誤答案是 。錯因在于忽視了算術平方根的非負性，而誤認為a2算術平方根是a，事實上，當a≥0時a2算術平方根是a，a<0時a2的算術平方根是 。正確答案是 （ ）

4、 的算術平方根是（ ）

錯誤答案是25。錯誤的原因是沒有仔細審題，錯誤地把題意理解為求625的算術平方根。實際上，這道題的涵義是求625的算術平方根。正確答案是5。

5、判斷（1）有理數a的算術平方根是 ；②若a有平方根，b有平方根則 或者 也有平方根

錯誤答案是（1）真（2）真。評析：許多同學雖然知道負數沒有平方根，然而在實際應用中卻常常忽視這一點。（1）由于忽視了a有可能為負數而產生錯誤，（2）中a、b都有平方根只能判定 ， ，而不能保證 或 。所以 或 也就不一定有平方根了。但如果把（2）的結果改成則“ab或 、 ”也有平方根是正確的。

6、判斷（1）64的立方根是 ；（2）不論a取什么數 都有立方根

錯誤答案是（1）真（2）假。評析：產生錯誤的原因是受平方根的影響從而產生一些錯誤的看法，事實上，任何一個實數都有立方根而且只有一個。

三、其他錯例分析

1、在代數中常有如下之類的填空題

（1）已知2a3n-4bm+2與 2m 6-n是同類項，則m= ，n= 。

（2）若3xa-b-1+7y2a+b=3是二元一次方程。則a= ，b= 。

這兩道題屬于基本概念題，部分同學做不出或答案不正確，原因：

（1）對概念的本質屬性理解不透徹，沒有明確同類項，二元一次方程所具備的的兩個條件。學生由于只看到字母相同，方程中有兩個未知數，但字母或未知數的指數不是用具體數表示時，就感到茫然，不知從何下手。

（2）學生的逆向思維的思考方法沒有得到足夠的訓練。a當這兩個單項式時b這個方程是二元一次方程時，說明它們已經具備了兩個條件。如果是同類項時，所含字母相同；相同字母的指數分別相等即 解這兩個二元一次方程就可。b變式練習不夠，故在教學時應加強訓練。

2、已知 2 ，那么 ， 。

往往解不出 的原因在于對于平方根，絕對值的涵義理解不夠，事實上， 2+ 都是非負數，而兩個非負數之和為零，只有這兩個數都是零時才可能成立，所以這個題應轉化為解

3、如圖，直線 上有A、B、C、D、E點，線段的條數共有（ ）。

A、4 B、5 C、10 D、13

產生錯誤的原因是由于線段之間有重疊部分，數起來往往較費時且遺漏或重復。所以對這類題應這樣分析：因為一條線段有兩個端點，若以A為線段的一個端點，則另一端點是B、C、D、E即有線段AB、AD、AE，同樣以B為一個端點的線段；以C為端點的線段有CD、CE，以D為端點的線段DE，合計有10條線段。從而我們可以總結歸納出一個較簡單而準確的數線段條數的方法：只要點的順序從左到右（從右到左）依次數出就行，即不會出現重復，也不會遺漏。仿此方法對下列角的個數，對頂角的對數就可以快速地得到正確的結論。

正如前面所說的，數學中對概念的掌握影響著教學質量。所以，我們再教學中要不斷分析發生錯誤的原因，尋找克服的途徑，從而總 結經驗，以達到概念教學的要求：準確地揭示概念概念的內涵和外延，使學生深刻理解概念，并能再解答各類問題時靈活運用概念。

參考文獻：

[1] 《中學數學教學參考》，2011（3）.

[2] 《數理天地》，2012（5）.