一題多解破難點(diǎn)

董濤

摘 要：初中解幾何題添加輔助線(xiàn)是難點(diǎn)，其中用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形時(shí)的輔助線(xiàn)添加尤為困難。旋轉(zhuǎn)變換是一種全等變換，其要素是旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度。在解題中，如何讓圖形“旋轉(zhuǎn)”起來(lái)，從而確定添加輔助線(xiàn)的方法并合理表達(dá)是學(xué)生需要去突破的一個(gè)難點(diǎn)。本文通過(guò)典型題目的多重解法，以期幫助學(xué)生突破利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等解題的難點(diǎn)，掌握用旋轉(zhuǎn)構(gòu)全等的方法，同時(shí)培養(yǎng)他們的空間概念，提升他們的幾何直觀(guān)、推理能力，增強(qiáng)他們的創(chuàng)新意識(shí)。

關(guān)鍵詞：幾何；空間概念

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）15-285-02

初中解幾何題添加輔助線(xiàn)是難點(diǎn)，其中用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形時(shí)的輔助線(xiàn)添加尤為困難。旋轉(zhuǎn)變換是一種全等變換，其要素是旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度。在解題中，如何讓圖形“旋轉(zhuǎn)”起來(lái)，從而確定添加輔助線(xiàn)的方法并合理表達(dá)是學(xué)生需要去突破的一個(gè)難點(diǎn)。

本文通過(guò)典型題目的多重解法，以期幫助學(xué)生突破利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等解題的難點(diǎn)，掌握用旋轉(zhuǎn)構(gòu)全等的方法，同時(shí)培養(yǎng)他們的空間概念，提升他們的幾何直觀(guān)、推理能力，增強(qiáng)他們的創(chuàng)新意識(shí)。

典型例題：如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點(diǎn)M是BC上一點(diǎn)，

試判斷AM，BM，CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

分析：本題需先觀(guān)察AM，BM，CM三條線(xiàn)段的長(zhǎng)短，再猜想結(jié)論可能是AM=BM+CM或 等，若結(jié)論是AM=BM+CM，學(xué)生會(huì)想到“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法，若“截長(zhǎng)”需探索距A點(diǎn)，還是M截取線(xiàn)段等于CM或BM， 我們不妨把包含BM或CM三角形繞△ABC某頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，依據(jù)旋轉(zhuǎn)可以改變圖形的位置，但不改變圖形大小的性質(zhì)，把BM或CM搬到AM上，從而達(dá)到截長(zhǎng)的目，得到添加輔助線(xiàn)的方法。

通過(guò)對(duì)上述典型題的多種解析過(guò)程的分析，可知用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等解三角形題思路如下：

（1）首先分析題目是否需利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形來(lái)添加輔助線(xiàn)解題。適用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的題目一般會(huì)出現(xiàn)在特殊的圖形中有共點(diǎn)的兩條相等線(xiàn)段，如等腰三角形、正多邊形；通常條件分散，題設(shè)和結(jié)論沒(méi)有明顯關(guān)系；通常求三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系。

（2）然后確定旋轉(zhuǎn)三角形。旋轉(zhuǎn)三角形所包含的角或邊和所求結(jié)論之間有直接或間接聯(lián)系。

（3）再確定旋轉(zhuǎn)中心。旋轉(zhuǎn)中心是旋轉(zhuǎn)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)頂點(diǎn)是兩條線(xiàn)段的公共點(diǎn)，其中一條線(xiàn)段是三角形的邊。

（4）最后確定旋轉(zhuǎn)角度。旋轉(zhuǎn)角度往往是和旋轉(zhuǎn)中心共點(diǎn)的兩條相等線(xiàn)段的夾角。

（5）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的三角形，并合理表達(dá)輔助線(xiàn)是如何添加，往往旋轉(zhuǎn)變換的過(guò)程不作為輔助線(xiàn)的作法。

（6）證明旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形全等，完成解題過(guò)程。

從以上的歸納可以發(fā)現(xiàn)，用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等解題并不是無(wú)法可依，只要掌握這種題型的特征和解題思路，定能突破難點(diǎn)，從而有效地提升學(xué)生對(duì)幾何圖形的思維能力。