機械能中關聯速度類型題的解題技巧

易良錄

摘要：本文結合實例，探討了含有速度關聯的機械能守恒定律應用的典型類型題，總結了解題的三個關鍵，創新地提出了解決關聯速度時“線外向線作垂線”的簡化方法，降低了該類題目的解題難度，切合課程改革方向，有利于提高學生的物理水平。

關鍵詞：連接體；關聯速度；機械能守恒

中圖分類號：G633.7？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）16-0111-02

由于課程改革的需要，高中物理課程設置為必修+選修模式，內容上較原通用教材有一定變動。比如，部分省份去掉了動量章節，但同時相應地強化了機械能章節的份量。具體體現在常將機械能與連接體中關聯速度的分解結合起來，作為考試的壓軸內容，承擔區分學生水平的重任。可見，掌握該類題目的解題技巧具有必要性。

一般地，系統內的物體通過不可伸長的細繩或輕桿相連接，不計摩擦時系統機械能守恒。但只據機械能守恒定律是不能解決問題的，必須求出連接物體的速度關聯式。同時，這類題目通常討論極限情況或者物體運動到特殊幾何位置時的情形，體現了物理學科的特色——降低數學計算難度，著重考察物理本質的思路。通過分析總結，筆者認為解決本類問題的關鍵點可歸納為以下三點：（1）正確列寫過程的機械能守恒的具體表達式；（2）正確列寫兩物體的瞬時速度關聯式；（3）弄清特殊位置的幾何關系。下面通過兩個例題來加以說明。

例1.如圖1所示，均勻直桿長L=6.25m，連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當桿從豎直靠墻開始滑動到α=37o的位置時，A、B球的速度為vA、vB。求此時A、B球速度。

解析：針對速度關聯分解問題，（關鍵點2）

核心要點是：沿繩方向速度相等；

作圖技巧：延長繩或桿（畫直線），線外向線作垂線。（如圖2），

設桿上速度為v，則有：

V=VAcosα=VBsinα，

針對特殊位置的問題，（關鍵點3），

核心要點是：特殊直角三角形的邊角關系。

具體地：A球后來離地高h=Lcosα，

針對機械能守恒問題，（關鍵點1），

核心要點是：看是否滿足機械能守恒的條件（此題全程無摩擦損耗僅重力做功）；能量關系（此題為勢能減少導致系統動能增加）；正確表達動能、勢能（此類題，兩物體不同速，動能必須分開寫）。

具體地：mg（L-Lcosα）=■mvA2+■mvB2

綜合以上，可以解得：vA=3m/s；vB=4m/s.

創新性說明：本題速度關聯情形類似人拉船情形，典型特征是至少有一個物體的前進方向與連接該端繩子的夾角是隨運動而變化的（即有旋轉情形）。對該種情形，大多數老師或資料都習慣于從運動的分解合成方面進行分析，喜歡畫平行四邊形分解圖進行講解。但是，這樣解釋，學生難于理解，運用中經常弄錯分解方向，畫錯分解圖，從而得到錯誤答案。其實，領會其本質是“沿繩速度相等”（因為繩不可伸長），就可以得到簡化的作圖方法：繩外向繩作垂線（只畫一個簡單的直角三角形）。這樣既簡化了作圖，也便于正確寫出速度間的關系。

例2.如圖3所示，物塊M和m用一不可伸長的輕繩通過定滑輪連接，m放在傾角θ=300的固定的光滑斜面上，而穿過豎直桿PQ的物塊M可沿桿無摩擦地下滑，M=3m，開始時將M抬高到A點，使細繩水平，此時OA段的繩長為L=4.0m。現將M由靜止開始下滑，求：（1）圖中OB與水平夾角；（2）m上升高度；（3）當M下滑到3.0m至B點時的速度？（g=10m/s2）。

解析：針對關鍵點1，本題屬于一升一降的類型，其機械能守恒方程的列寫技巧是：勢能差=動能增加。

具體寫法是：兩物體勢能相減，動能為兩個動能之和。

為避免錯誤得到公式分，兩物體各自高度變化先用符號h1、h2表示；兩物體各自速度先用符號v1、v2表示；再分別寫出上述4個量的值或關系。

切忌一個公式中都寫具體值，一處出錯，全部不得分。

針對關鍵點3，旋轉物體的高度變化問題，要點是：升降高度=斜邊長-直角邊長。

此處對M，右邊原來繩長OA=4米，后來繩長OB=5米，繩實際右收1米；

故M下降3米，m沿斜面上升1米，豎直上升0.5米。

此外，題目中所求位置通常為特殊位置或特殊角度，如最高、最低、垂直、37度等。

答案：37°；1m；■=7.1m/s（過程略）。

綜上所述，在解決這類涉及到速度分解的機械能壓軸題，只要能夠突破文中提到的三個關鍵點，能夠正確列寫相關的物理量間的關系，就一定可以求得正確答案，難題也就不再是難題了。

參考文獻：

[1]成樹明，常光明.四面突擊機械能守恒定律[J].高考金刊（理科版），2011，（1）.

[2]劉素梅.速度關聯類問題求解[J].考試（高考試題設計版），2011，（2）.

[3]程靖龍.速度關聯問題應當作為一個專題探討[Z].endprint

摘要：本文結合實例，探討了含有速度關聯的機械能守恒定律應用的典型類型題，總結了解題的三個關鍵，創新地提出了解決關聯速度時“線外向線作垂線”的簡化方法，降低了該類題目的解題難度，切合課程改革方向，有利于提高學生的物理水平。

關鍵詞：連接體；關聯速度；機械能守恒

中圖分類號：G633.7？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）16-0111-02

由于課程改革的需要，高中物理課程設置為必修+選修模式，內容上較原通用教材有一定變動。比如，部分省份去掉了動量章節，但同時相應地強化了機械能章節的份量。具體體現在常將機械能與連接體中關聯速度的分解結合起來，作為考試的壓軸內容，承擔區分學生水平的重任。可見，掌握該類題目的解題技巧具有必要性。

一般地，系統內的物體通過不可伸長的細繩或輕桿相連接，不計摩擦時系統機械能守恒。但只據機械能守恒定律是不能解決問題的，必須求出連接物體的速度關聯式。同時，這類題目通常討論極限情況或者物體運動到特殊幾何位置時的情形，體現了物理學科的特色——降低數學計算難度，著重考察物理本質的思路。通過分析總結，筆者認為解決本類問題的關鍵點可歸納為以下三點：（1）正確列寫過程的機械能守恒的具體表達式；（2）正確列寫兩物體的瞬時速度關聯式；（3）弄清特殊位置的幾何關系。下面通過兩個例題來加以說明。

例1.如圖1所示，均勻直桿長L=6.25m，連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當桿從豎直靠墻開始滑動到α=37o的位置時，A、B球的速度為vA、vB。求此時A、B球速度。

解析：針對速度關聯分解問題，（關鍵點2）

核心要點是：沿繩方向速度相等；

作圖技巧：延長繩或桿（畫直線），線外向線作垂線。（如圖2），

設桿上速度為v，則有：

V=VAcosα=VBsinα，

針對特殊位置的問題，（關鍵點3），

核心要點是：特殊直角三角形的邊角關系。

具體地：A球后來離地高h=Lcosα，

針對機械能守恒問題，（關鍵點1），

核心要點是：看是否滿足機械能守恒的條件（此題全程無摩擦損耗僅重力做功）；能量關系（此題為勢能減少導致系統動能增加）；正確表達動能、勢能（此類題，兩物體不同速，動能必須分開寫）。

具體地：mg（L-Lcosα）=■mvA2+■mvB2

綜合以上，可以解得：vA=3m/s；vB=4m/s.

創新性說明：本題速度關聯情形類似人拉船情形，典型特征是至少有一個物體的前進方向與連接該端繩子的夾角是隨運動而變化的（即有旋轉情形）。對該種情形，大多數老師或資料都習慣于從運動的分解合成方面進行分析，喜歡畫平行四邊形分解圖進行講解。但是，這樣解釋，學生難于理解，運用中經常弄錯分解方向，畫錯分解圖，從而得到錯誤答案。其實，領會其本質是“沿繩速度相等”（因為繩不可伸長），就可以得到簡化的作圖方法：繩外向繩作垂線（只畫一個簡單的直角三角形）。這樣既簡化了作圖，也便于正確寫出速度間的關系。

例2.如圖3所示，物塊M和m用一不可伸長的輕繩通過定滑輪連接，m放在傾角θ=300的固定的光滑斜面上，而穿過豎直桿PQ的物塊M可沿桿無摩擦地下滑，M=3m，開始時將M抬高到A點，使細繩水平，此時OA段的繩長為L=4.0m。現將M由靜止開始下滑，求：（1）圖中OB與水平夾角；（2）m上升高度；（3）當M下滑到3.0m至B點時的速度？（g=10m/s2）。

解析：針對關鍵點1，本題屬于一升一降的類型，其機械能守恒方程的列寫技巧是：勢能差=動能增加。

具體寫法是：兩物體勢能相減，動能為兩個動能之和。

為避免錯誤得到公式分，兩物體各自高度變化先用符號h1、h2表示；兩物體各自速度先用符號v1、v2表示；再分別寫出上述4個量的值或關系。

切忌一個公式中都寫具體值，一處出錯，全部不得分。

針對關鍵點3，旋轉物體的高度變化問題，要點是：升降高度=斜邊長-直角邊長。

此處對M，右邊原來繩長OA=4米，后來繩長OB=5米，繩實際右收1米；

故M下降3米，m沿斜面上升1米，豎直上升0.5米。

此外，題目中所求位置通常為特殊位置或特殊角度，如最高、最低、垂直、37度等。

答案：37°；1m；■=7.1m/s（過程略）。

綜上所述，在解決這類涉及到速度分解的機械能壓軸題，只要能夠突破文中提到的三個關鍵點，能夠正確列寫相關的物理量間的關系，就一定可以求得正確答案，難題也就不再是難題了。

參考文獻：

[1]成樹明，常光明.四面突擊機械能守恒定律[J].高考金刊（理科版），2011，（1）.

[2]劉素梅.速度關聯類問題求解[J].考試（高考試題設計版），2011，（2）.

[3]程靖龍.速度關聯問題應當作為一個專題探討[Z].endprint

摘要：本文結合實例，探討了含有速度關聯的機械能守恒定律應用的典型類型題，總結了解題的三個關鍵，創新地提出了解決關聯速度時“線外向線作垂線”的簡化方法，降低了該類題目的解題難度，切合課程改革方向，有利于提高學生的物理水平。

關鍵詞：連接體；關聯速度；機械能守恒

中圖分類號：G633.7？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）16-0111-02

由于課程改革的需要，高中物理課程設置為必修+選修模式，內容上較原通用教材有一定變動。比如，部分省份去掉了動量章節，但同時相應地強化了機械能章節的份量。具體體現在常將機械能與連接體中關聯速度的分解結合起來，作為考試的壓軸內容，承擔區分學生水平的重任。可見，掌握該類題目的解題技巧具有必要性。

一般地，系統內的物體通過不可伸長的細繩或輕桿相連接，不計摩擦時系統機械能守恒。但只據機械能守恒定律是不能解決問題的，必須求出連接物體的速度關聯式。同時，這類題目通常討論極限情況或者物體運動到特殊幾何位置時的情形，體現了物理學科的特色——降低數學計算難度，著重考察物理本質的思路。通過分析總結，筆者認為解決本類問題的關鍵點可歸納為以下三點：（1）正確列寫過程的機械能守恒的具體表達式；（2）正確列寫兩物體的瞬時速度關聯式；（3）弄清特殊位置的幾何關系。下面通過兩個例題來加以說明。

例1.如圖1所示，均勻直桿長L=6.25m，連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當桿從豎直靠墻開始滑動到α=37o的位置時，A、B球的速度為vA、vB。求此時A、B球速度。

解析：針對速度關聯分解問題，（關鍵點2）

核心要點是：沿繩方向速度相等；

作圖技巧：延長繩或桿（畫直線），線外向線作垂線。（如圖2），

設桿上速度為v，則有：

V=VAcosα=VBsinα，

針對特殊位置的問題，（關鍵點3），

核心要點是：特殊直角三角形的邊角關系。

具體地：A球后來離地高h=Lcosα，

針對機械能守恒問題，（關鍵點1），

核心要點是：看是否滿足機械能守恒的條件（此題全程無摩擦損耗僅重力做功）；能量關系（此題為勢能減少導致系統動能增加）；正確表達動能、勢能（此類題，兩物體不同速，動能必須分開寫）。

具體地：mg（L-Lcosα）=■mvA2+■mvB2

綜合以上，可以解得：vA=3m/s；vB=4m/s.

創新性說明：本題速度關聯情形類似人拉船情形，典型特征是至少有一個物體的前進方向與連接該端繩子的夾角是隨運動而變化的（即有旋轉情形）。對該種情形，大多數老師或資料都習慣于從運動的分解合成方面進行分析，喜歡畫平行四邊形分解圖進行講解。但是，這樣解釋，學生難于理解，運用中經常弄錯分解方向，畫錯分解圖，從而得到錯誤答案。其實，領會其本質是“沿繩速度相等”（因為繩不可伸長），就可以得到簡化的作圖方法：繩外向繩作垂線（只畫一個簡單的直角三角形）。這樣既簡化了作圖，也便于正確寫出速度間的關系。

例2.如圖3所示，物塊M和m用一不可伸長的輕繩通過定滑輪連接，m放在傾角θ=300的固定的光滑斜面上，而穿過豎直桿PQ的物塊M可沿桿無摩擦地下滑，M=3m，開始時將M抬高到A點，使細繩水平，此時OA段的繩長為L=4.0m。現將M由靜止開始下滑，求：（1）圖中OB與水平夾角；（2）m上升高度；（3）當M下滑到3.0m至B點時的速度？（g=10m/s2）。

解析：針對關鍵點1，本題屬于一升一降的類型，其機械能守恒方程的列寫技巧是：勢能差=動能增加。

具體寫法是：兩物體勢能相減，動能為兩個動能之和。

為避免錯誤得到公式分，兩物體各自高度變化先用符號h1、h2表示；兩物體各自速度先用符號v1、v2表示；再分別寫出上述4個量的值或關系。

切忌一個公式中都寫具體值，一處出錯，全部不得分。

針對關鍵點3，旋轉物體的高度變化問題，要點是：升降高度=斜邊長-直角邊長。

此處對M，右邊原來繩長OA=4米，后來繩長OB=5米，繩實際右收1米；

故M下降3米，m沿斜面上升1米，豎直上升0.5米。

此外，題目中所求位置通常為特殊位置或特殊角度，如最高、最低、垂直、37度等。

答案：37°；1m；■=7.1m/s（過程略）。

綜上所述，在解決這類涉及到速度分解的機械能壓軸題，只要能夠突破文中提到的三個關鍵點，能夠正確列寫相關的物理量間的關系，就一定可以求得正確答案，難題也就不再是難題了。

參考文獻：

[1]成樹明，常光明.四面突擊機械能守恒定律[J].高考金刊（理科版），2011，（1）.

[2]劉素梅.速度關聯類問題求解[J].考試（高考試題設計版），2011，（2）.

[3]程靖龍.速度關聯問題應當作為一個專題探討[Z].endprint