線性代數的幾何直觀性教學探討

摘要：《線性代數》在本科教學中是極重要一門基礎課程，是大多數自然科學的數學基礎。然而通過代數的公理化的表述形式，使得它具有高度的抽象性的同時，也丟失了數學的直觀性，這在教學上給老師與學生都帶來很大困擾。本文探討了在《線性代數》知識點在教學中的幾何直觀性解釋，可使學生產生具象化的認識，從而理解這些知識點背后的意義，對學生學習這門課程具有積極性意義。

關鍵字：線性代數；本科教學；直觀性

中圖分類號：G642.41？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）16-0062-02

《線性代數》是本科數學教學的主要課程之一，內容廣、公式復雜、定理證明多，具有嚴密的數學邏輯。這種純粹的代數思維十分抽象，對許多非數學專業學生而言，常常覺得難懂、難記、枯燥無味又難應用。因而大多數學生并無太大興趣，也覺得沒有多大的用處，很難激發學生使用線性代數建模解決實際問題。只是為應付考試而學，考過就忘得干干凈凈，沒有起到什么教學效果。然而，《線性代數》是許多自然科學的基礎，是人類智慧的結晶，其中的每一個數學公式的背后實際上都有其在特定場合中的深刻物理或幾何意義。如果不熟悉《線性代數》的概念，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多了。按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型，具有相對的抽象性，丟失了數學的直觀性。這就帶來了教學上的困難。在教學過程中，我們往往很難把數學公式、定理背后的意義、思想具象化，而只能把枯燥的、抽象的公式、定理直接給學生。這顯然違背人類的認識原理數學的教學規律。對于學生而言，一旦這些知識點沒有辦法用直覺去理解，就很難消化，自然很難引起學生的興趣。

一、線性代數的抽象性與直觀性

自從上世紀30年代法國布爾巴基學派興起，數學通過公理化與系統化的描述從而獲得相當大的成功與進步，這使得數學的嚴謹性得到很大提高。然而，這也存在著一定的副作用，因為這種公理化是以數學的直觀性的喪失為代價。有些人認為數學的直觀性與抽象性是相互矛盾的，因此直觀性就被拋棄了。這造成了《線性代數》在教學上的難題。許多教科書從行列式開始，有的從矩陣著手，從起始處就都很讓學生頭疼。因為在現實世界中找不到一個直觀的能與之對應的事物或對象。以同濟《線性代數》教材為例，該教材從介紹逆序數開始，再用它定義沒有什么直觀道理可言的行列式，行列式的計算到底是代表什么？為什么這么算？絕大數教材中都沒有解釋。再接著引入矩陣，介紹矩陣乘法的定義，計算的方法與形式都是直接告訴學生就是這么做的，得到的結果代表什么？也沒有解釋。這種教學過程，自然是很難讓學生接受，也是《線性代數》成為學生最為頭疼的一門課。絕大多數學生覺得是被強迫進入一個符號世界中，全然無法領略其中的美妙、和諧與統一。上述這些問題都是直觀性引發的問題，不能通過抽象的數學證明做回答，必須將這些問題具象化了才能解決。但事實上，線性代數不是純粹的代數運算法則，有其直觀的幾何意義和物理意義。希爾伯特曾言：算術符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式；沒有一個數學家能缺少這些圖像化的公式。明白無誤地告訴了我們線性代數與幾何之間的關系，幾何解釋是可以讓人們很容易將看到的平面和空間中物體與幾何外觀聯系起來。學習這門課程也就不在是僅僅研究符號代數，從而有更直觀但又和很深刻的含義。從宏觀上來說，任何一種數學理論，它的主要概念與方法常常都出自于一些直觀的簡單的目標。要么是從對實驗觀察結果中分析得到，要么從幾何圖形及其解法過程中得出，再要么是從各種結果的類比想象出來。從微觀上來看，《線性代數》中某個特定的定理、推論的證明，也同樣常常有著某個比較直觀和簡單的思想。從這個思想出發的證明過程細節，也能從幾何上進行直觀的分析和推斷。正如希爾伯特所述的，證明要能透過概念的嚴格定義和實際證明中的推演細節，描繪出證明方法的幾何輪廓。事實上，很多數學上的發現常常都是數學家從幾何直觀性上大膽猜想到的結果，然后去尋找幾何上的解釋，最后再補上嚴格的數理證明。這正如我國著名拓撲學家張素誠先生所說的，對數學中的許多問題來說，“靈感”往往來自幾何，表達的簡潔靠代數，計算的精確靠分析。因此我們認為，在本科教學《線性代數》的過程中，要注重數學意義的講解，建立學生的對《線性代數》的直觀性即能夠把這門課的抽象性具象化，才能化解學生對它的厭學情緒。只有在這個基礎之上才能讓學生對它的具體知識點、公式、定理等有深刻的理解與熟練使用。

二、《線性代數》的基本知識點的一些直觀性解釋

在教學過程中，我們將線性代數的幾何直觀性融入到了課堂中，通過這種幾何解釋，學生們普遍能較快接受。以空間、向量、矩陣為例，其幾何解釋主要如下所述。

1.空間。空間是線性代數的基礎概念，是指具有一些特定性質的集合。如經常把所有的n維向量組成的集合稱之為‘N維空間，但大多數學生卻很難理解用“空間”這一名稱來形容集合。因為我們熟悉的是我們生存在三維歐幾里德空間，在初中高中的幾何學中，學生們所接觸的是點、線、面、三角形、圓……等直觀的幾何圖形。而在線性代數中則變成向量、矩陣，再通過向量和矩陣的各種計算來描述空間中的對象，如A*x=b描述一個超平面、{x|xAx≤1，A對稱正定}描述一個N維空間中的橢球，這種描述和表達相對于初中高中所學的方式，顯然沒有一點直觀性，超過三維以上就很難讓學生如何去想象。因而我們認為在講解到空間概念時，需要常常把問題化成二維或三維幾何空間中的圖形，幫助學生理解。

2.向量與空間關系。一個空間實際上是無窮多個位置點組成，即是點的集合，在線性代數中表現為N維向量的集合。一個向量代表從原點到N維空間中的一個點的方向，是空間中一個存在的對象，可以定義出一些幾何特性，比如它的長度。向量的加減法可以在解講過程中用幾何中的矢量平行四邊形法則解釋，向量內積通過幾何中的投影來解釋，而不是純粹的向量中各個分量的代數加減乘除等。通過幾何解釋顯然更容易讓學生有比較具象化的認識，而純粹的代數解釋不能有生動體現向量意義，只能讓學生死記硬背。

3.矩陣與向量關系。向量可以用空間中的對象來解釋，它在空間中必然有它存在的方式，也有在空間中變化過程，即運動。矩陣從代數形式上看只是一個數的列表，它與向量的乘法，代數上的運算沒有多少生氣，看不出如此的計算規則有什么意義。然而從幾何空間中卻可以把二者關系理順，而且非常直觀：①如果把矩陣看作是一個幾何空間中的坐標系，那么A*X=b就可以看成是在標準坐標系下的向量b在新坐標系A下的坐標。自然的矩陣與向量的乘法A*X的意義即為把X轉換成為標準坐標系下的坐標，b中的系i分量值就可以從向量內積的角度解釋為X在坐標系A中系i個數軸上的投影值。如果A的坐標系所描述的空間能夠容納b，那么方程A*X=b有解，否則無解。②如果把A*X=b當作向量X的一次線性變換，則矩陣A就可以解釋為向量X在空間中的運動描述。A的各個特征向量此時即可以生動的表示為X的運動方向，相應的特征值就是在各個方向上的運動幅度。最終在各特征向量方向上的變化結果再幾何合成為向量b。

在線代數的教學過程中，純粹的代數理論教學不符合人類的認知知識方式，雖然它具有高度的嚴謹性和抽象性，但也丟失了直觀性，因而很多知識點難于讓學生理解。本文從線性代數的直觀性角度做了探討，從幾何上的直觀性來解釋純代數的難點。可以對學生學習這門課程產生比較直觀的印象，激發學生對這門課程的興趣和深層思考，對學生理解知識點背后的意義產生積極的影響。

參考文獻：

[1]Lars Garding.數學概觀[M].北京：科學出版社，2001.

[2]陳洪海，苑延華，母麗華.提高學生學習數學建模課程積極性的幾點思考[J].高師理科學刊，2011，（3）.

作者簡介：陳葉旺（1978-），男，福建人，華僑大學計算機科學與技術學院，講師，研究方向為機器學習、凸優化、數據挖掘。