淺談小波分析及其應(yīng)用

庸國祥　崔新

摘 要：本文介紹了小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展，并就其原理和數(shù)學(xué)描述給給出了說明，進(jìn)一步說明了小波分析在消除噪聲方面的應(yīng)用原理與方法，著重進(jìn)行了非平穩(wěn)信號小區(qū)噪聲的研究，進(jìn)行了算法研究和仿真實(shí)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：小波分析；小波去噪；非平穩(wěn)信號；matlab仿真 小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近10年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)。傳統(tǒng)的信號分析是建立在Fourier變換的基礎(chǔ)之上的。雖然Fourier變換能夠分別從信號的時(shí)域和頻域進(jìn)行觀察分析，但卻不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來，其Fourier譜是信號的統(tǒng)計(jì)特性，是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號的能力，不具備時(shí)域信息。因此，F(xiàn)ourier分析使用的是一種全局的變換，要么完全在時(shí)域，要么完全在頻域，因此無法表述信號的時(shí)頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。

小波分析屬于時(shí)頻分析的一種，是一種信號的時(shí)間——尺度、時(shí)間——頻率的分析方法，它繼承和發(fā)展了Fourier分析理論。它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可改變，且時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。

小波分析在時(shí)域、頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，能較好地解決突變信號與非平穩(wěn)信號的問題。它在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號的“顯微鏡”。

一、小波分析原理及其數(shù)學(xué)描述

小波分析是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可改變，時(shí)問和率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率較低的時(shí)間分辨率，即在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨使小波變換具有對信號的自適應(yīng)性。

二、小波去噪原理

小波消噪（濾波）方法有模極大值方法，尺度空間濾波、閾值法等。利用信號和噪聲在小波變換尺度空間表現(xiàn)出的不同特征：信號小波變換的系數(shù)隨尺度的增大而增大，而白噪聲、尖脈沖的幅值、方差、模極大值的稠密度隨尺度的增大而減小，因此對于含噪聲的信號進(jìn)行小波分解，重構(gòu)可以對信號濾波。

這里主要介紹閾值濾波的方法。

首先，對信號進(jìn)行多尺度一維小波分解，如圖1用信號S的三尺度分解進(jìn)一步說明多分辨分析。從圖中可以明顯看出，多分辨分析只是對低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予以考慮，分解具有關(guān)系：S=A3+D3+D2+D1，A為信號低頻部分，D為信號高頻部分。然后，可以以門限閾值等形式對小波系數(shù)進(jìn)行處理。最后，對信號進(jìn)行重構(gòu)即可以達(dá)到消噪的目的。

三 、小波去噪的研究

噪聲通常被認(rèn)為是有害信號，一般情況下應(yīng)被抑制，然而，噪聲中也可能包含許多有用信息，如機(jī)電一體化設(shè)備運(yùn)行中所產(chǎn)生的噪聲，就在一定程度上包含了反映其工作情況，狀態(tài)信息或參數(shù)等內(nèi)容，因?yàn)檫@些設(shè)備在運(yùn)行時(shí)，其中力、速度、加速度的變化以及振動的振幅、頻率等信息都會以噪聲的形式表現(xiàn)出來。如果能采集、記錄到這樣的噪聲信號并對其進(jìn)行必要的處理，就能從中提取到機(jī)電設(shè)備的工作情況、狀態(tài)參數(shù)等重要信息，還能以此作為我們對其進(jìn)行監(jiān)控的手段之一。利用噪聲信號中的有用信息進(jìn)行機(jī)電設(shè)備的故障診斷或狀態(tài)監(jiān)控，關(guān)鍵之處就是要對它進(jìn)行合適的處理，因?yàn)樵谏a(chǎn)現(xiàn)場所采集到的噪聲信號非常繁雜且數(shù)據(jù)量很大，這其中有不少是無用數(shù)據(jù)，若不進(jìn)行處理的話，很難獲得我們想要的信息。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，所分析的信號可能包含許多尖峰或突變部分，并且噪聲也不是平衡的白噪聲，對這種信號進(jìn)行分析，首先需要作信號的預(yù)處理，將信號的噪聲部分去除，提取有用信號。對這種信號的消噪小波分析由于能同時(shí)在時(shí)、頻域中對信號進(jìn)行分析，所以它能有效地區(qū)分信號中的突變部分和噪聲，從而實(shí)現(xiàn)信號的消噪。

1、小波分析用于降噪的過程

小波分析用于降噪的過程，可細(xì)分為如下幾段。

1）分析過程：選定一種小波，對信號進(jìn)行N層小波（小波包）分解；

2）作用閾值過程：對分解得到的各層系數(shù)選擇一個(gè)閾值，并對細(xì)節(jié)系數(shù)作用軟閾值處理；

3）重建過程：降處理后的系數(shù)通過小波（小波包）重建恢復(fù)原始信號。

這個(gè)過程基于下如基本假設(shè)，即攜帶信息的原始信號在頻域或小波域的能量相對集中，表現(xiàn)為能量密集區(qū)域的信號分析系數(shù)的絕對值比較大，而噪聲信號的能量譜相對分散，所以其系數(shù)的絕對值小，這樣我們就可以通過作用閾值的方法過濾掉絕對值小于一定閾值的小波系數(shù)，從而達(dá)到降噪的效果。

2、用小波分析對非平穩(wěn)信號消除噪聲

在一個(gè)方波信號上加入一個(gè)高斯白噪聲，再將其分別用小波分析和傅里葉變換進(jìn)行信號噪聲消除。

1）小波基的選擇：

作為小波的函數(shù)，它一定要滿足容許條件，在時(shí)域一定要是有限支撐的，同時(shí)，也希望在頻域也是有限支撐的，但若時(shí)域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時(shí)域和頻域的有限支撐方面往往只能取一個(gè)折中。此外，希望由母小波形成的是兩兩正交的；進(jìn)一步希望有高階的消失矩，希望與相關(guān)的濾波器具有線性相位等等。這里選擇的是sym小波，又稱為正交小波，它是雙正交小波，并是緊支撐的，且接近對稱（故所用的濾波器可接近于線性相位）。

2）小波多尺度分解各子帶系數(shù)的特點(diǎn)及噪聲影響

對圖像的小波變換覆蓋了圖像頻帶90%的小波系數(shù)集中在21、22、23它們包含了大部分圖像信息，所以可以只考慮這三個(gè)尺度的信息，而尺度2j> 23的信息保留在圖像的低頻分量中。隨著層數(shù)的增加，小波系數(shù)的范圍越來越大，說明較低層的小波系數(shù)具有更重要的地位。分辨率最低時(shí)，該子帶小波系數(shù)的范圍比別的子帶小波系數(shù)范圍寬，值和方差都比別的要大，說明這些小波系數(shù)同樣具有重要地位。

在各個(gè)子帶做特征提取之前，應(yīng)首先考慮圖像中噪聲對子帶系數(shù)的影響。根據(jù)Donoho的理論對含噪圖像連續(xù)做幾次小波分解之后，由空間分布不均勻的干凈圖像所對應(yīng)的各尺度上小波系數(shù)在某些特定的位置有較大的值，這些點(diǎn)對應(yīng)干凈圖像的畸變位置和重要信息，而其它大部分位置的值較小；對于白噪聲而言，它對應(yīng)的小波系數(shù)在每一尺度上的分布是均勻的，并隨著尺度的增加，系數(shù)的幅值有所減小。可以看出，噪聲的影響主要集中在最高頻子帶中。因此考慮消噪問題時(shí)，可根據(jù)噪聲小波分解的系數(shù)的特點(diǎn)找一個(gè)合適閾值λ，把低于λ的小波系數(shù)視為主要由噪聲引起的設(shè)為0，而高于λ的予以保留，對最高頻子帶可提高閾值以減少噪聲影響。

結(jié)語

本文基于小波分析在時(shí)域、頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，提出了應(yīng)用小波分析方法對含噪聲速變信號進(jìn)行信噪分離處理，以及對速變數(shù)據(jù)突變點(diǎn)進(jìn)行特征提取。小波分析有傅立葉分析不可比擬的優(yōu)點(diǎn)。可見小波分析方法對飛行器遙測參數(shù)的數(shù)據(jù)處理及分析是非常有意義的一種方法。

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（作者單位：山東省濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261040）