海上超大型浮體的水彈性響應(yīng)預(yù)報(bào)

萬志男，翟鋼軍，程勇

(1.中交第四航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，廣東廣州510230;2.大連理工大學(xué)深海工程研究中心，遼寧 大連116024)

隨著地球上人口的急劇膨脹，陸上資源供應(yīng)已趨極限，為了緩解能源危機(jī)，各國都把經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到海洋，海洋開發(fā)將形成如海洋油氣工業(yè)、海洋化學(xué)工業(yè)、深海采礦業(yè)等一批新興產(chǎn)業(yè)［1］。面對(duì)這一形勢(shì)，國際海洋工程界掀起了研究超大型浮體(VLFS)的熱潮，所謂超大型浮體是指那些尺度以公里計(jì)的浮式海洋結(jié)構(gòu)物，其長寬方向與厚度方向的尺度比值較大，是一種極為扁平、柔度非常大的結(jié)構(gòu)，必須考慮結(jié)構(gòu)的彈性變形，這是一個(gè)典型的流固耦合問題，需要用由Bishop和Price［2］提出的水彈性理論分析，目前，日本、美國等國家取得了大量研究成果，以日本的超大型浮體(Mega-Float)和美國的移動(dòng)海上基地(MOB)為代表［3-4］，國內(nèi)學(xué)者如吳有生［5-7］發(fā)展了適用廣泛的三維水彈性理論，崔維成等［1，8］也對(duì)超大型浮體的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性及技術(shù)開發(fā)做了相關(guān)研究。滕斌等［9］比較了不同模態(tài)的收斂速度。黃國燕［10］提出了一種超大型浮體響應(yīng)計(jì)算的簡(jiǎn)化方法。隨著水彈性理論的不斷發(fā)展，多種數(shù)值計(jì)算方法被應(yīng)用于超大型浮體的水彈性計(jì)算中［11］，特征函數(shù)法求解速度快，占用內(nèi)存小，精確度高，本文采用特征函數(shù)法利用浮體結(jié)構(gòu)的邊界條件及板內(nèi)外速度勢(shì)及速度連續(xù)條件建立方程組求解速度勢(shì);應(yīng)用模態(tài)函數(shù)展開法對(duì)板的撓曲變形進(jìn)行模態(tài)展開計(jì)算結(jié)構(gòu)的撓曲變形及彎矩分布，分別討論了水深、波長及其他環(huán)境參數(shù)對(duì)超大型浮體水彈性響應(yīng)的影響，并對(duì)水彈性問題中幾種常用的模態(tài)函數(shù)進(jìn)行了比較。

1 模型及基本假設(shè)

線性水彈性理論假定流體為均質(zhì)、無粘、無旋、不可壓縮的理想流體，把浮體假定為一個(gè)規(guī)則且與波浪的傳播方向平行的薄板，圖1是超大型浮體的薄板模型，x為波浪傳播方向，z代表水深方向，板半長為b，板厚度為t，吃水量為d，水深為h。

圖1 坐標(biāo)示意圖Fig.1 Sketch of coordinate system

基于上述假設(shè)，考慮線性近似下在等深度h水下傳播的二維行進(jìn)波問題，由于問題是線性的，速度勢(shì) Φ(x，z，t)和撓曲變形W(x，t)等物理量都是頻率為ω的簡(jiǎn)諧函數(shù)。分離出時(shí)間因子e-iωt，得到速度勢(shì)以及撓曲變形表達(dá)式如下:

式中:ω代表圓頻率，w(x)為薄板的撓曲變形，選取一組適當(dāng)?shù)哪B(tài)函數(shù)對(duì)其展開為

式中:N為模態(tài)數(shù)，ζl是對(duì)應(yīng)第l階模態(tài)的待求系數(shù)，fl(x)為對(duì)應(yīng)薄板的第l階模態(tài)函數(shù)。

2 速度勢(shì)求解

根據(jù)流場(chǎng)特點(diǎn)，將流體沿±b劃分為3個(gè)子域，對(duì)速度勢(shì)進(jìn)行特征展開，并在2個(gè)邊界上對(duì)速度勢(shì)和速度做連續(xù)匹配建立方程組求解速度勢(shì)，這樣計(jì)算量比較大，Mei和Black等［12］提出將上述問題分解成對(duì)稱和反對(duì)稱問題的處理方法，簡(jiǎn)化了計(jì)算量。流場(chǎng)中的速度勢(shì)可分為3大部分:

式中:φⅠ為入射勢(shì)，φD為繞射勢(shì)，φlR為第l階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的輻射勢(shì)，入射勢(shì)為

式中:g為重力加速度，A為波幅，k為波數(shù)。

2.1 流場(chǎng)控制方程和邊界條件

假設(shè)流體為理想流體，波浪與浮體結(jié)構(gòu)的相互作用問題可以歸結(jié)為滿足一定邊界條件和初始條件的拉普拉斯方程求解問題。

流場(chǎng)的控制方程:

自由水面條件:

海底條件:

遠(yuǎn)場(chǎng)條件:

物面條件:

2.2 求解速度勢(shì)

速度勢(shì)可分解為對(duì)稱和反對(duì)稱速度勢(shì)，對(duì)于輻射問題，入射波是不存在的，由于上下邊界為非齊次邊界條件，所以該區(qū)域的輻射速度勢(shì)需要分解為通解和特解，速度勢(shì)表達(dá)式為

式中:上標(biāo)S、A分別代表對(duì)稱和反對(duì)稱，為未知待求的繞射和輻射系數(shù)為輻射勢(shì)特解，滿足正交關(guān)系。

另外流體應(yīng)該滿足速度勢(shì)和速度連續(xù)的匹配條件:

由速度勢(shì)及速度連續(xù)條件求出繞射系數(shù)和輻射系數(shù)，得到各區(qū)域的繞射勢(shì)和輻射勢(shì)。

3 浮體結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

把超大型浮體簡(jiǎn)化為二維薄板，撓曲方程為

式中:彎曲剛度D=EⅠ，E為彈性模量，Ⅰ為截面慣性矩。

式中:fm(x，t)為慣性力，m為單位板長的質(zhì)量，P(x，t)為薄板底部對(duì)應(yīng)x處的流體壓力。分離出時(shí)間因子后，彈性浮體的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)為

底板流體壓力可以分為繞射引起的流體壓力pD(x)和輻射引起的流體壓力plR(x)，其表達(dá)式分別為

式中:ρ為流體密度。把式(3)、(35)、(36)代入式(34)進(jìn)一步得到彈性浮體的頻域運(yùn)動(dòng)方程:

對(duì)上式兩邊同時(shí)乘以fi(x)并沿著薄板底面積分后得到彈性結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程:

式中:Kij為剛度矩陣，Mij為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，Maij為附加質(zhì)量矩陣，Cij為輻射阻尼矩陣，Ci為流體作用力向量。浮體內(nèi)部的彎矩可以求得

4 模態(tài)函數(shù)及特解

4.1 模態(tài)函數(shù)

水彈性問題中常采用 Newman［13］自然模態(tài)和Madea［14］自然模態(tài)，此外 Eatock Taylor 和 Ohkusu［15］利用剛體模態(tài)和正弦函數(shù)描述彈性梁的振動(dòng)，余弦函數(shù)滿足正交性，可作為模態(tài)函。滕斌，勾瑩［9］對(duì)各種模態(tài)函數(shù)作了介紹，本文采用Newman自然模態(tài)。

式中:上標(biāo)S、A代表對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱模態(tài)，x的取值范圍在-b～b，μSl和μAl滿足特征方程:

4.2 輻射勢(shì)特解

5 數(shù)值結(jié)果分析

5.1 程序驗(yàn)證

為了驗(yàn)證數(shù)值方法及程序的可行性，以 C.Wu等［16］試驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鳛樗憷容^計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹饕獏?shù)為:長10 m，寬0.5 m，高0.038 m，吃水0.008 36 m，彈性模量103 MPa，材料密度為220 kg/m3，圖2為水深1.1 m，波浪周期為1.429 s薄板的水彈性響應(yīng)位移和彎矩分布情況，本文計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較好地吻合。

圖2 波周期為1.429 s時(shí)薄板變形和彎矩分部Fig.2 Deflection and bending moment of floating structure at wave period 1.429 s

5.2 廣義波浪激勵(lì)力的計(jì)算

選用C.Wu等［16］的試驗(yàn)?zāi)Ｐ停?jì)算不同水深下超大型浮體所受廣義波浪激勵(lì)力。如圖3所示。

圖3 水深0.8 、1.0 、1.2 m時(shí)的廣義激勵(lì)力Fig.3 Generalized wave exciting force at water depths of 0.8 、1.0 and 1.2 m

無量綱化后，取前8階模態(tài)，發(fā)現(xiàn)能取得較好的收斂效果。

5.3 水深及波長對(duì)超大型浮體水彈性響應(yīng)的影響

進(jìn)一步研究在不同水深條件下，超大型浮體兩端和中間的水彈性響應(yīng)隨波長的變化，結(jié)果如圖4所示。

采用無量綱化，浮體中間的變形值隨著波長增大而增大，而浮體迎浪端與背浪端變形值在個(gè)別區(qū)間內(nèi)仍有波動(dòng)，這點(diǎn)需要特別注意。取0.8 m、1.0 m和1.2 m 3個(gè)水深值，隨著水深的增加，浮體兩斷以及中間處的變形并不是單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減，在2b/λ＜5時(shí)，浮體迎浪端與背浪端的變形值沒有明顯的變化規(guī)律，而中間處的變形值隨著水深增加而減小，在2b/λ＞5時(shí)，浮體的迎浪端、背浪端及中間處的變形值均隨著水深增加而增大。

5.4 其他參數(shù)對(duì)浮體水彈性的影響

超大型浮體柔度較大，本文計(jì)算了水深為1.0 m，波長為4.0 m下浮體的變形隨剛度的變化趨勢(shì)。如圖5所示，浮體的變形隨著剛度的增加而減小。

圖5 不同剛度下浮體的變形Fig.5 Deflection of the structure at different rigidities

另外本文還探究了不同吃水深度下浮體的變形，下面給出了在水深為1.0 m，波長4.0 m下浮體變形值隨浮體吃水深度的變化趨勢(shì)，如圖6所示，隨著吃水深度不斷增加，浮體的變形略微增大。

圖6 不同吃水深度下結(jié)構(gòu)的變形Fig.6 Deflection of structure at different draft

5.5 幾種常用模態(tài)函數(shù)的比較

前面的研究都是建立在Newman模態(tài)上，類似地，還可以應(yīng)用其他一些常用的模態(tài)函數(shù)來解決水彈性計(jì)算問題，對(duì)各種模態(tài)函數(shù)得到的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，如圖7所示。

圖7 不同模態(tài)函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.7 Comparison between experimental and computational results of different model functions

圖7為Newman模態(tài)、Madea模態(tài)、正弦模態(tài)和余弦模態(tài)，周期分別為0.7 s和1.429 s時(shí)4種常用的模態(tài)函數(shù)的水彈性變形分布。

4 結(jié)束語

波浪于超大型浮體的作用是涉及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和水動(dòng)力學(xué)的一門交叉學(xué)科，本文結(jié)合特征函數(shù)法和模態(tài)函數(shù)法，計(jì)算超大型浮體的水彈性響應(yīng)，對(duì)比數(shù)值計(jì)算結(jié)果與國外學(xué)者的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩者較好地吻合。進(jìn)一步分析了水深、波要素及其他環(huán)境參數(shù)對(duì)超大型浮體的水彈性響應(yīng)的影響，同時(shí)對(duì)水彈性問題中幾種常用的模態(tài)函數(shù)進(jìn)行了比較，豐富了超大型浮體水彈性問題的研究，為超大型浮體的間接時(shí)域分析提供了參考依據(jù)。

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