淺談線性代數緒論課教學

司智勇 王運霞

摘 要 線性代數是高等數學的重要組成部分，是理工科學生的必修課。 由于這門課存在課時短、內容多且邏輯性強等特點造成學生學習這門課的時候難以達到理想效果。 緒論課則是讓學生認知這門課重要性的很好手段，因此講好緒論課是講好線性代數這門課的關鍵之一。 本文通過結合自己線性代數緒論課的教學過程，談一談如何講好這節緒論課。

關鍵詞 線性代數 緒論課 教學經歷

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

On the Introduction of Linear Algebra Teaching

SI Zhiyong[1]， WANG Yunxia[2]

（[1] School of Mathematics and Information Science， He'nan Polytechnic University， Jiaozuo， He'nan 454000；

[2] School of Materials Science and Engineering， He'nan Polytechnic University， Jiaozuo， He'nan 454000）

Abstract "Linear Algebra" is an important part of higher mathematics， science and engineering students is compulsory due to the presence of this course is short hours， more content and other characteristics logical result of this course students learn difficult time to achieve the desired effect. Introduction lesson is to allow students to understand the importance of a good means of this course， so good introduction lesson of this course is one of the key to teach good linear algebra. This paper combined with the process of teaching linear algebra introduction to talk about how to tell a good lesson in this section of the introduction.

Key words linear algebra； introduction； teaching experience

線性代數是高等數學的重要內容，在培養學生各方面的能力中有著不可替代的作用，更是后續課程學習的重要基礎和工具。 但是，由于這門課的定義多、性質多、符號多、知識點比較分散，各個知識點前后又有著緊密的聯系，使得這門課成為高等數學中比較難學的課程之一。再加上，相當多學生對這門課的認識不足，重視程度不夠，還有部分學生主觀認為這門課課時不多，課本也不厚，學起來應該比較簡單等，導致學習效果不好，甚至出現不及格現象。國內外有些學者和專家對這門課的教學、教材等都做了深入的研究。①②③那么，如何讓學生認識到這門課的重要性，掌握它的特點成為講授這門課的第一要務。④緒論課是這門課程的開始，因此講好緒論課則是講好這門課的關鍵之一。 本文作者結合自己近幾年線性代數的教學，談一談如何講好這門課的緒論課。

1 首先講清什么是線性代數，讓學生有個粗略的認知

線性代數從中文的角度看由兩個詞構成，分別是“線性”和“代數”，“線性”修飾“代數”。比如函數 = + ，它的圖像是一條直線，被形象地稱為線性函數。 那具體什么叫線性呢？其實線性就是量與量之間成一次關系，也就是說量與量之間只有“加”、“減”和“數乘”的關系，不能有變量之間的乘法運算。 又如： = ，是線性方程。而方程 = ，就是非線性方程，因為有這一項。 又如方程組是二元一次方程組，也叫線性方程組。 而方程組就不是線性方程組，它是非線性方程組，因為有這一項。 我們在線性代數中研究的都是線性問題。

代數則是一門非常古老的數學學科，起源可以追溯到古巴比倫的時代。 從字面上看，就是用字母代替數。例：如何表示5 加上什么數等于3？很容易可以得到“2”。 但是要對一個小學生該怎么講呢？小學五年級學到方程了，那就設未知數列方程吧。設5加上等于3，得到方程：5 + = 3。所謂代數就是在用字母代表數的基礎上，得到一個可以運算的式子，并把問題數找出來的過程。

歷史上，線性代數的第一個問題是關于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發展又促成了作為工具的矩陣和行列式理論的創立與發展，這些內容已成為線性代數的主要部分。

2 講清線性代數的主要內容，激發學生的學習興趣

線性代數主要研究線性方程組、行列式、矩陣、向量和向量空間等主要內容。在緒論課上給學生有個粗略的介紹，讓學生對這些內容有個基本的認識。也能提高學生的學習興趣，提高課堂效率。

2.1 線性方程組

先看一個簡單的例子：利用消元法，很容易求出它的解： = 3， = 0。

再看下面兩個例子：，第一個例子有無窮多個解，第二個例子沒有解。例子中方程組有兩個未知量，如果有一百個、一萬個、十萬個呢？其實，在工程計算和科研中，大規模線性方程組隨處可見。對于線性方程組，主要有三個問題：（1）是否有解？（2）有唯一解還是有無窮多解？（3）有無窮多解的話，解怎么表示？線性方程組理論是線性代數的中心內容，主要研究解的存在性和解的結構。

2.2 矩陣

作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成書最遲在東漢前期的《九章算術》中，已經出現過以矩陣形式表示線性方程組系數以解方程的圖例，可算作是矩陣的雛形。 ⑤矩陣正式作為數學中的研究對象出現，則是在行列式的研究發展起來后。阿瑟·凱萊被公認為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨立的數學對象研究時，許多與矩陣有關的性質已經在行列式的研究中被發現了，這也使得凱萊認為矩陣的引進是十分自然的。 他說：“我決然不是通過四元數而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個表達線性方程組的方便方法而來的。”⑥

矩陣在產出分析、價格矩陣、產銷關系、密碼學和圖像處理等都有廣泛的應用。 數值圖像處理中每一幅灰度圖像就是一個矩陣，而圖像處理的過程就是矩陣的運算。

2.3 向量和向量空間

向量也常稱為矢量，即有方向和大小的量，并采用更為抽象的矢量空間（也稱為線性空間）來定義，而定義具有物理意義上的大小和方向的向量概念則需要引進了范數和內積的歐幾里得空間。 古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。向量使得代數和幾何聯系起來，是數學中非常有力的工具之一。而在物理學中的位移、速度、力、動量、磁矩、電流密度等，都是矢量。 它在流體力學、物理學和工程科學等多個自然科學中都有廣泛的應用。

3 告訴學生為什么要學習線性代數，讓學生知道學習這門課的重要性

線性代數的內容主要涉及到線性方程組、矩陣和向量、向量組及向量空間。 這些知識在解決生活實際問題中都起著非常重要的作用。

求解線性方程組是數學問題中最重要的問題之一，超過75 %的科學研究和工程應用中的數學問題，在某個階段都涉及線性方程組的求解。 線性方程組的求解在中學甚至小學就已經開始學習，可能大家覺得是一件非常簡單的事情。沒什么再值得研究學習的，是這樣的嗎？前面的方程組有兩個未知量，那如果有五個，十個，一百個，…，把未知量的個數再代數一下，個未知量呢？事實上，這就需要利用線性代數的知識去解決這些問題。

矩陣相關理論知識在解決實際問題中也發揮著越來越重要的作用。用矩陣知識可以做投入產出分析、價格矩陣、產銷矩陣及破譯密碼、編寫復雜的密碼等方面應用；數字圖像處理的實質就是矩陣的運算，每一幅灰度圖像就對應著一個矩陣；著名的搜索引擎Google則應用了矩陣的特征值和特征向量理論；矩陣相似于對角陣的理論是機械振動、線性電路分析及自動控制理論中不可缺少的工具。

對矩陣的進一步分析研究產生了向量的相關理論，有了向量、向量組、向量空間的相關概念知識后，得以使我們將代數與幾何聯系起來。 進一步的，可以對代數有了直觀的理解。 這種關系在學過相關知識后會有一個更清晰的認識。

學好線性代數也是部分考研學生的需要。考研高等數學的考試內容主要有以下幾個方面：數學一：高等數學、線性代數和概率與統計；數學二：高等數學和線性代數。可見，線性代數是考研數學的必考內容。據了解，它所占的比例為22%。當然，線性代數也是研究生課程學習的重要基礎之一。

4 告訴學生如何才能學好線性代數，樹立學生學習這門課的信心

學生了解了線性代數這門課的主要內容，知道了學習這門課的重要性之后，就會迫切想要知道怎樣才能學好這門課程。這時我們就要提醒學生，學好線性代數要注意的幾點問題：（1）線性代數是大學幾門數學里相對來說最容易的，因為這門課對數學的基礎要求很低，它與中學里的數學并無多大關系，只要認真學，每個人都可以學好。因此，現在每個學生都是在相同的起跑線上的，對自己要有信心。（2）抽象性是線性代數的最大特點。面對抽象性，我們要能做到使抽象具體化。 比如行列的定義、 矩陣的定義和線性空間的概念。（3）概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系是線性代數課程的主要特點，故應充分理解概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、計算方法，并及時進行總結。

在具體學習的過程中建議學生盡量做到如下幾點：（1）多思、多問、不動筆墨不讀書。學習數學一定要抓住數學的本質，這就要求多思考。比如，在高中學習三角函數的時候大家有一句話叫“三角公式背不完”。 其實數學的最重要的學習方法是理解，能推導出公式，這樣推導幾次也就不會忘掉了。 韓愈在《師說》里面對老師有一個定義，“師者，傳道、授業、解惑者也”。“解惑”為師的一個重要內容。建議學生有什么問題一定要問，這樣可以節省他們很多時間。當然，也不一定都問老師，也可以問身邊的同學和朋友，畢竟與他們見面的機會多些。其實學數學應該叫做數學，這就要求大家一定要勤動手，避免眼高手低。注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。（2）知識要系統。線性代數主要研究了三種對象：矩陣、方程組和向量組。 這三種對象的理論是密切相關的，大部分問題在這三種理論中都有等價說法。因此，熟練地從一種理論的敘述轉移到另一種去，是學習線性代數時應養成的一種重要習慣和素質。

注釋

① 同濟大學數學系.工程數學：線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.5。

② 李慶忠.緒論課：有效教學的起點[J].教學新思維，2010.8：40-41.

③ 張志讓.線性代數教材內容與體系結構改革的思考與實踐[J].大學數學，2005.4：23-24.

④ 何善亮.序言課教學：作為先行者了嗎[J].教育理論與實踐，2008.4：50-51.

⑤ Shen， Kangshen； Crossley， John N.； Lun， Anthony Wah-Cheung， Nine Chapters of the Mathematical Art [M]， Companion and Commentary. 2nd， Oxford University Press.1999.

⑥ 克萊因，莫里斯著.古今數學思想（第三卷）[M].張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海科學技術出版社，2002.