利用柱面坐標或球面坐標計算第一類曲面積分的教與學

應志領

摘 要 本文比較了第一類曲面積分在直角坐標與柱面坐標或球面坐標下的計算方法，給出利用柱面坐標或球面坐標計算第一類曲面積分的公式，并說明在教學過程中，如何讓學生易于理解柱面坐標或球面坐標下的面積元素。

關鍵詞 第一類曲面積分 柱面坐標 球面坐標

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

Teaching and Learning on Use of Cylindrical Coordinates or Spherical

Coordinates to Calculate First Class Surface Integral

YING Zhiling

（School of Science， Nanjing University of Posts and Telecommunications， Nanjing， Jiangsu 210023）

Abstract This paper compares the first class surface integral calculation method in cylindrical coordinates or Cartesian coordinates and spherical coordinates， given the use of cylindrical coordinates or spherical coordinates to calculate surface integral equations of the first kind， and described in the teaching process， how to make students easily understood area element cylindrical coordinates or spherical coordinates.

Key words first surface integral； cylindrical coordinates； spherical coordinates

計算第一類曲面積分（即對面積的曲面積分）的基本方法是將第一類曲面積分通過“一代，二換，三投影”化為投影區域上的二重積分來計算。例如，設 （，，）是定義在光滑曲面上的連續函數， ： = （，）， （，），函數 = （，）在上具有連續的偏導數，則

（，，） = （，，（，））·

例1 計算 =，其中是介于平面 = 0和 = 之間的圓柱面 + = 。

對例1，我們可用柱面的參數方程按上述公式來進行計算。設曲面： + = （0≤≤），其參數方程為 = ， = ， = ，其中（） = {（）∣0≤≤，0≤≤}。由公式（2）可知 = = ，所以 = = = = 。

下題是[3，P140]的例3， 那里采用的是在直接坐標下進行計算，我們也可以用球面的參數方程按公式（1）或（2）進行計算。

例 2 求半徑為的均勻半球殼的質心。

解： 設半球殼的方程為 = ， （） = {（）∣ + ≤}，其參數方程為 = ， = ， = ，其中（，） = {（，）∣0≤≤， 0≤≤}。由公式（2）可知 = = ，所以 = = = = 。利用對稱性可知質心的坐標 = = 0，所以均勻半球殼的質心為（0，0，）。

我們看到當曲面為柱面，或球面的一部分時，用上述方法計算確實簡便，關鍵是要得出柱面坐標下的面積元素 = 以及球面坐標下的面積元素 = 。但在高等數學的教學過程中，受課時的限制，無法在課堂上推導公式。如果直接給出結論，學生又不易接受。筆者在教學時，采用推導出柱面坐標或球面坐標下體積元素的類似做法，起到很好的效果。

設球面的方程為 + + = 。為了把變量從直角坐標變換為球面坐標，用二組坐標平面 = 常數， = 常數，把曲面分成許多小閉區域。考慮由，各取得微小增量，所成的區域。不計高階無窮小，可把這個區域看作長方形。經線方向的長為， 緯線方向的寬為， 因此面積元素 = 。這里我們以球面坐標為例，柱面坐標下面積元素的推導方法是類似的。

基金項目：南京郵電大學教改項目（JG00712JX65）

參考文獻

[1] 陳文燈，黃先開.考研數學題型集粹與水平測試（2013理工版）[M].北京：北京理工大學出版社，2012.

[2] 同濟大學數學系.高等數學（6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 趙洪牛，萬彩云，胡國雷，王友國.高等數學（下）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001.