組合導(dǎo)航系統(tǒng)濾波器截?cái)嗾`差抑制方法

王延?xùn)|，賈宏光(中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春130033)

組合導(dǎo)航系統(tǒng)濾波器截?cái)嗾`差抑制方法

王延?xùn)|*，賈宏光
(中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春130033)

組合導(dǎo)航系統(tǒng)作為重要的定位和姿態(tài)測(cè)量的技術(shù)手段，其基本設(shè)計(jì)思想是將GPS和SINS等導(dǎo)航設(shè)備輸出的信息經(jīng)過(guò)濾波器進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。但在采用Riccati方程更新協(xié)方差矩陣和計(jì)算Kalman增益過(guò)程中，截?cái)嗾`差隨著迭代次數(shù)的增大而累積，破壞協(xié)方差矩陣的正定性和對(duì)稱(chēng)性，降低濾波器計(jì)算的數(shù)值穩(wěn)定性，嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致組合系統(tǒng)故障發(fā)散。本文建立了Riccati方程一階誤差模型，從理論上分析截?cái)嗾`差對(duì)濾波器估計(jì)性能的影響，引入基于Bierman算法和Thorton算法的Kalman濾波器進(jìn)行更新方法，解決了截?cái)嗾`差引起的濾波器數(shù)值穩(wěn)定性的問(wèn)題。通過(guò)強(qiáng)實(shí)時(shí)半物理仿真系統(tǒng)驗(yàn)證表明，相比于基于Kalman濾波器的系統(tǒng)，基于Bierman-Thorton算法的組合導(dǎo)航系統(tǒng)有更強(qiáng)的數(shù)值穩(wěn)定性和較高的導(dǎo)航精度。

組合導(dǎo)航;Bierman-Thorton算法;半物理仿真;截?cái)嗾`差;Kalman濾波器

GPS/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)系統(tǒng)采用最優(yōu)估計(jì)技術(shù)，使各傳感器發(fā)揮各自?xún)?yōu)勢(shì)，提高了系統(tǒng)的導(dǎo)航精度，降低了系統(tǒng)，廣泛應(yīng)用于地面車(chē)輛、航空、航天和航海等領(lǐng)域。組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，由于各狀態(tài)變量及其初始對(duì)準(zhǔn)估計(jì)誤差的數(shù)值范圍較大，導(dǎo)致其協(xié)方差矩陣通常為病態(tài)矩陣，而截?cái)嗾`差作為較小的擾動(dòng)極易破壞其數(shù)值穩(wěn)定性，甚至造成濾波器發(fā)散。并且組合導(dǎo)航系統(tǒng)濾波器、矩陣維數(shù)大、反復(fù)的矩陣乘法和求逆運(yùn)算，都會(huì)引起較大的截?cái)嗾`差。因此在組合導(dǎo)航系統(tǒng)中減小截?cái)嗾`差就非常重要。

組合導(dǎo)航系統(tǒng)中無(wú)論采用線(xiàn)性Kalman濾波器，還是EKF等非線(xiàn)性濾波器，都須對(duì)Riccati方程進(jìn)行迭代運(yùn)算［1］，本文探討了Riccati方程更新過(guò)程中的共性問(wèn)題。前人針對(duì)以上問(wèn)題提出了許多數(shù)值計(jì)算方法，如Swerling求逆公式，Potter求逆算法，Joseph穩(wěn)定算法，信息濾波器，Calson-Schmidt平方根算法和Bierman-Thorton算法，參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］。本文對(duì)比了截?cái)嗾`差引起的協(xié)方差矩陣誤差的均方根，說(shuō)明了基于UD分解的Bierman-Thorton量測(cè)更新和時(shí)間更新算法，對(duì)減小舍入誤差引起的數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定，抑制系統(tǒng)發(fā)散，減小計(jì)算量有明顯的作用。并以某制導(dǎo)武器組合導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行半物理仿真，分析Bierman-Thorton算法的在抑制濾波器抑制截?cái)嗾`差的作用［2］。

1 組合導(dǎo)航系統(tǒng)算法

組合導(dǎo)航系統(tǒng)的本質(zhì)是應(yīng)用信息融合技術(shù)，特別是濾波技術(shù)，對(duì)多傳感器輸出的信息量進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的過(guò)程。在組合導(dǎo)航系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，首先建立組合導(dǎo)航系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測(cè)方程;采用Kalman等濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，從噪聲中估計(jì)出狀態(tài)變量的最優(yōu)值;利用這些狀態(tài)估計(jì)值修正系統(tǒng)誤差，進(jìn)而得到準(zhǔn)確的導(dǎo)航狀態(tài)，達(dá)到提高定位和測(cè)姿精度的目的。

1.1 組合導(dǎo)航模型

本文的組合導(dǎo)航系統(tǒng)采用SINS誤差量和慣性器件誤差量作為狀態(tài)變量，為了使系統(tǒng)方程為線(xiàn)性方程，SINS誤差忽略了二階及以上的誤差小量，參見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。慣性器件應(yīng)先根據(jù)慣性器件模型進(jìn)行標(biāo)定，補(bǔ)償大部分的系統(tǒng)誤差，而后對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行辨識(shí)和建模。組合導(dǎo)航系統(tǒng)原理，見(jiàn)圖1［3-4］。

圖1 組合導(dǎo)航系統(tǒng)原理圖

1.2 組合導(dǎo)航系統(tǒng)Kalman濾波計(jì)算方法

卡爾曼濾波器的實(shí)質(zhì)是基于最小方差的估計(jì)算法，利用確定性和隨機(jī)性的先驗(yàn)信息，通過(guò)初始值不

由以上分析，組合導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)向量為:

其中:δP表示當(dāng)?shù)氐乩硐碌奈恢谜`差，分別為緯度誤差、經(jīng)度誤差和高度誤差;δV表示當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系下的三軸速度誤差;δΦ表示載體系相對(duì)于當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系的誤差角;δBg表示三軸陀螺的零偏; δBa表示三軸加速度計(jì)的零偏。

則組合導(dǎo)航連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:其中:F為組合導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;G為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣;w為系統(tǒng)噪聲。

系統(tǒng)噪聲w由陀螺零偏穩(wěn)定性wgb和白噪聲wgr、加速度計(jì)零偏穩(wěn)定性wab和白噪聲war組成，見(jiàn)式(3)。

系統(tǒng)的量測(cè)方程為式(4)，量測(cè)值為GPS與SINS二者輸出的速度位置之差，見(jiàn)式(5)。斷的遞推，得出最小方差的估計(jì)值。卡爾曼濾波器5個(gè)要素包含:式(1)狀態(tài)方程;式(6)系統(tǒng)噪聲方差矩陣;式(8)協(xié)方差矩陣;式(5)量測(cè)方程;式(8)量測(cè)噪聲方差矩陣。

Riccati方程的迭代計(jì)算完成的是協(xié)方差矩陣P和Kalman增益K的更新，見(jiàn)式(9)～(11)。式(9)為協(xié)方差矩陣的時(shí)間更新，式(10)為Kalman增益的計(jì)算，式(11)為協(xié)方差矩陣的量測(cè)更新［5］。

在完成P的更新和K計(jì)算后，計(jì)算組合導(dǎo)航系統(tǒng)誤差修正量，閉環(huán)修正系統(tǒng)誤差修正量見(jiàn)式(13)，并以此校正SINS解算值和陀螺輸出值，見(jiàn)式(13)。

1 截?cái)嗾`差對(duì)組合導(dǎo)航系統(tǒng)卡爾曼濾波器的影響

2.1 病態(tài)矩陣和矩陣的條件數(shù)

在數(shù)值計(jì)算中，當(dāng)矩陣為“病態(tài)”時(shí)，數(shù)據(jù)存在微小擾動(dòng)(誤差)時(shí)，引起的輸出數(shù)據(jù)(問(wèn)題解)相對(duì)誤差很大，該矩陣即為病態(tài)矩陣。矩陣病態(tài)特性以矩陣的條件數(shù)表示。

設(shè)A為非奇異陣，cond(A)υ為矩陣的條件數(shù)，見(jiàn)式(14)。

根據(jù)定義可知cond(A)≥1;當(dāng)狀態(tài)數(shù)值cond(A)接近∞時(shí)，A為奇異矩陣。cond(A)越接近于1，狀態(tài)越好［4］。

2.2 截?cái)嗾`差對(duì)卡爾曼濾波器的影響

理論上在Kalman濾波中，Riccati方程協(xié)方差矩陣應(yīng)與實(shí)際系統(tǒng)估計(jì)不確定性相同，如果二者存在差異，則認(rèn)為存在“病態(tài)”問(wèn)題。但是，在組合導(dǎo)航系統(tǒng)工程實(shí)現(xiàn)中存在許多問(wèn)題可能引起協(xié)方差矩陣的“病態(tài)”。具體地說(shuō)，①當(dāng)建模不準(zhǔn)確時(shí)，特別是對(duì)于采用系統(tǒng)誤差量作為狀態(tài)變量時(shí)(忽略了二階小量)，導(dǎo)致理論模型與實(shí)際系統(tǒng)存在差異;②當(dāng)濾波器選取的狀態(tài)變量的方差估計(jì)值的數(shù)值范圍相差較大;③式(16)中矩陣［HPHT+R］求逆計(jì)算;④數(shù)值計(jì)算的截?cái)嗾`差;⑤矩陣維數(shù)過(guò)大;⑥處理器的計(jì)算精度較低等。這些情況中，一些是不能解決的，一些是能夠避免的。例如對(duì)慣性器件進(jìn)行精密的標(biāo)定，采用導(dǎo)航輸出值作為狀態(tài)變量并采用非線(xiàn)性濾波器進(jìn)行估計(jì)能夠一定程度地避免建模不準(zhǔn)確的問(wèn)題;矩陣求逆和大維數(shù)問(wèn)題通過(guò)將稀疏矩陣分塊計(jì)算，向量計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)量的序貫處理方法解決;截?cái)嗾`差可采用對(duì)正定對(duì)稱(chēng)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解，并對(duì)分解后的三角矩陣和對(duì)角矩陣分別進(jìn)行更新的方法克服［6］。例如，將P進(jìn)行Cholesky分解，見(jiàn)式(15)，對(duì)矩陣C進(jìn)行更新計(jì)算，這個(gè)思想即為平方根濾波器的基本思想。

考慮截?cái)嗾`差在Kalman濾波器傳播方式，見(jiàn)式(9)。協(xié)方差矩陣P的一階傳播模型可寫(xiě)成式(16)。其中，δ項(xiàng)表示為累積誤差，Δ表示為本次迭代引入的截?cái)嗾`差，f1為δPk(-)的一階函數(shù)。

經(jīng)過(guò)量測(cè)更新后的δPk+1(+)為式(17)。

其中，A1=Φ-KkH。

平方根濾波器對(duì)P進(jìn)行Cholesky，將分解后的矩陣進(jìn)行量測(cè)更新和時(shí)間更新。平方根濾波器的截?cái)嗾`差一階傳播過(guò)程見(jiàn)式(18)。

通過(guò)與式(17)對(duì)比看出，式(24)減少了對(duì)稱(chēng)性誤差Φ(δPk(-)-δ(-))ΦT和非對(duì)稱(chēng)誤差Φ (δPk(-)-δ(-)的引入。

不同的Kalman濾波器數(shù)值計(jì)算方法中的截?cái)嗾`差對(duì)協(xié)方差矩陣估計(jì)精度的影響不同，見(jiàn)圖2。從圖2中看出，Bierman與Calson量測(cè)更新算法在截?cái)嗾`差為小數(shù)點(diǎn)后9位時(shí)仍能得到較高的計(jì)算精度。

式(18)與式(17)相比說(shuō)明平方根濾波器在抑

圖2 Kalman濾波量測(cè)更新算法截?cái)嗾`差對(duì)協(xié)方差矩陣的影響

3 Bierman-Thorton算法基本原理

制截?cái)嗾`差在Riccati方程中傳播具有明顯的優(yōu)勢(shì)。基于改進(jìn)Cholesky分解的量測(cè)更新和時(shí)間更新方法的稱(chēng)為改進(jìn)的平方根濾波器或稱(chēng)為UD濾波器［7-8］。

3.1 改進(jìn)Cholesky分解

對(duì)于一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣能夠分解為成式(19)的形式，其中U為上三角矩陣，D為對(duì)角矩陣，矩陣對(duì)角線(xiàn)元素為非零值。

3.2 過(guò)程噪聲方差矩陣的對(duì)角化

在Thorton-Bierman算法中，須對(duì)過(guò)程噪聲進(jìn)行對(duì)角化處理。對(duì)角化方法即為改進(jìn)Cholesky分解，見(jiàn)式(20)。

3.3 Bierman量測(cè)更新

Bierman算法完成的Riccati方程的量測(cè)更新，利用序貫處理的基本思想，設(shè)h為量測(cè)矩陣H的任意一維行向量，r為量測(cè)噪聲R的對(duì)角元素，則協(xié)方差矩陣本次更新見(jiàn)式(21)和式(22)［9］。

3.4 Thorton時(shí)間更新

Thorton算法完成的是協(xié)方差矩陣的時(shí)間更新，Thorton時(shí)間更新算法也稱(chēng)作改進(jìn)的加權(quán)Gram-Schmidt(MWGS)算法，相較于標(biāo)準(zhǔn)Gram-Schmidt算法有更強(qiáng)的數(shù)值穩(wěn)定性。按照式(29)對(duì)系統(tǒng)噪聲矩陣GkQkGk進(jìn)行對(duì)角化處理，并定義矩陣A和Dw，見(jiàn)式(23)和式(24)。

采用加權(quán)Gram-Schmit正交化的思想，對(duì)A進(jìn)行分解:

則LT和Dβ為時(shí)間更新后的上三角矩陣和對(duì)角矩陣，見(jiàn)(25)～(26)。

根據(jù)以上分析，基于Bierman-Thorton算法的組合導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程見(jiàn)圖3。

圖3 UD濾波器組合導(dǎo)航系統(tǒng)原理圖

4 組合導(dǎo)航系統(tǒng)半物理仿真

4.1半物理仿真系統(tǒng)

組合導(dǎo)航半物理仿真原理如圖4所示。半物理仿真也稱(chēng)硬件在回路仿真，通過(guò)仿真機(jī)生成數(shù)字彈道，作用于仿真設(shè)備，仿真設(shè)備按照輸入為被測(cè)對(duì)象提供物理效應(yīng)，被測(cè)對(duì)象通過(guò)其上的傳感器感知物理效應(yīng)，按照設(shè)計(jì)的算法輸出仿真結(jié)果［8］。

圖4 組合導(dǎo)航半物理仿真原理圖

組合導(dǎo)航系統(tǒng)半物理仿真系統(tǒng)由軌跡仿真機(jī)、三軸轉(zhuǎn)臺(tái)、GPS模擬器組成和數(shù)據(jù)顯示和記錄計(jì)算機(jī)組成。為保證仿真的強(qiáng)實(shí)時(shí)性，在VxWorks實(shí)時(shí)系統(tǒng)下開(kāi)發(fā)，運(yùn)行軌跡生成器，通過(guò)光纖反射內(nèi)存與三軸仿真轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行通信，通信內(nèi)容為當(dāng)前角位置;組合導(dǎo)航系統(tǒng)中的三軸陀螺固聯(lián)安裝在仿真轉(zhuǎn)臺(tái)上，輸出角速度至導(dǎo)航計(jì)算機(jī);仿真機(jī)根據(jù)加速度計(jì)標(biāo)定后的誤差模型，通過(guò)422串口按照加速度計(jì)協(xié)議將比力發(fā)送至導(dǎo)航計(jì)算機(jī);仿真機(jī)計(jì)算當(dāng)前地球坐標(biāo)系的位置、速度、加速度、角位置、角速度和角加速度通過(guò)TCP/IP協(xié)議發(fā)送至GPS模擬器，GPS模擬器根據(jù)以上信息計(jì)算當(dāng)前位置和時(shí)間計(jì)算生成GPS衛(wèi)星的射頻信號(hào)，將射頻信號(hào)輸入至組合導(dǎo)航系統(tǒng)中GPS接收機(jī)的接收端，GPS接收機(jī)將解算的位置和速度發(fā)送至導(dǎo)航計(jì)算機(jī)，完成組合導(dǎo)航計(jì)算，參見(jiàn)文獻(xiàn)［10-11］。

根據(jù)Bierman-Thorton算法，在嵌入式系統(tǒng)中進(jìn)行工程實(shí)現(xiàn)。嵌入式處理器采用TI公司的TMS320F28335浮點(diǎn)處理器，陀螺選擇美國(guó)AD公司生產(chǎn)的ADIS16136三軸MEMS陀螺，性能指標(biāo)見(jiàn)表1;加速度計(jì)選擇COLBRYS公司生產(chǎn)的MEMS加速度計(jì)MS8000-10加速度計(jì)，性能指標(biāo)見(jiàn)表2;GNSS接收機(jī)選擇東方聯(lián)星公司生產(chǎn)的CNS50 GPS接收機(jī)，性能指標(biāo)見(jiàn)表3，參加文獻(xiàn)［12-13］。

表1 ADIS16136陀螺關(guān)鍵指標(biāo)

表2 MS9000-50加速度計(jì)關(guān)鍵指標(biāo)

表3 CNS50 GPS接收機(jī)關(guān)鍵指標(biāo)

4.2半物理仿真結(jié)果

根據(jù)以上基于Bierman-Thorton的組合導(dǎo)航系統(tǒng)算法，對(duì)其進(jìn)行工程實(shí)現(xiàn)，并進(jìn)行半物理仿真，仿真結(jié)果見(jiàn)圖5～圖8和表4。

圖5 仿真基準(zhǔn)彈道

圖6 位置誤差

圖7 速度誤差

圖8 姿態(tài)角誤差

表4 自由慣導(dǎo)系統(tǒng)、Kalman濾波器和改進(jìn)平方根濾波器半物理仿真結(jié)果對(duì)比

從仿真結(jié)果看出，相對(duì)于自由慣導(dǎo)系統(tǒng)，組合導(dǎo)航系統(tǒng)精度明顯提高。改進(jìn)平方根濾波器與傳統(tǒng)Kalman濾波器相比，由于截?cái)嗾`差影響較小，姿態(tài)解算精度優(yōu)于Kalman濾波器。位置和速度的解算精度相當(dāng)。

根據(jù)式(20)，對(duì)比Kalman濾波器和改進(jìn)平方根濾波器的協(xié)方差矩陣的條件數(shù)，取矩陣的∞范數(shù)，見(jiàn)圖9。由于狀態(tài)變量之間的估計(jì)誤差差異較大，協(xié)方差矩陣都為病態(tài)矩陣，但結(jié)果表明，基于改進(jìn)平方根濾波器的條件數(shù)小于Kalman濾波器一個(gè)量級(jí)，說(shuō)明基于改進(jìn)平方根濾波器數(shù)值穩(wěn)定性?xún)?yōu)越。

圖9 改進(jìn)平方根濾波器與Kalman濾波器組合導(dǎo)航系統(tǒng)協(xié)方差矩陣條件數(shù)

5 結(jié)論

本文介紹了組合導(dǎo)航系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，論證了截?cái)嗾`差在Kalman濾波器Riccati方程迭代運(yùn)算中的傳播的方式;并提出了抑制截?cái)嗾`差的方法，即Bierman-Thorton量測(cè)更新和時(shí)間更新算法。通過(guò)半物理仿真驗(yàn)證，基于改進(jìn)平方根濾波器的組合導(dǎo)航系統(tǒng)具有數(shù)值穩(wěn)定性強(qiáng)，導(dǎo)航精度高的優(yōu)勢(shì)。文中對(duì)截?cái)嗾`差對(duì)導(dǎo)航精度和可靠性進(jìn)行了系統(tǒng)分析，但對(duì)于組合導(dǎo)航系統(tǒng)，影響其精度和可靠性的誤差源還包括粗大誤差，傳感器測(cè)量野值等重要因素，這些因此也能夠以適當(dāng)數(shù)值算法克服，因此在解決截?cái)嗾`差的組合導(dǎo)航系統(tǒng)的同時(shí)，也需深入研究粗大誤差，傳感器測(cè)量野值等誤差機(jī)理和解決方法。

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王延?xùn)|(1985-)，男，遼寧本溪人，畢業(yè)于北京理工大學(xué)。助理研究員，碩士，主要從事組合導(dǎo)航技術(shù)和半物理仿真研究，wyd321@126.com;

賈宏光(1971-)，男，黑龍江五常人，畢業(yè)于中科院長(zhǎng)春光機(jī)所。研究員，博士生導(dǎo)師，主要從事飛行器總體設(shè)計(jì)。

Roundoff Error Restraining Method of Integrated Navigation System

WANG Yandong*，JIA Hongguang

(Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China)

As the most important technology for positioning and attitude measuring，the integrated navigation system is made use of SINS and GPS information for optimal estimation by Kalman filtering.It is reviewed that the roundoff error accumulating would undermine the numerical stability of the filter，when the estimation covariance matrix is updated by virtue of Riccati equation.Severely，it ruined the property of positive-definite of covariance matrix，leading the navigation system to divergence.It is presented the one order model of roundoff error propagation of Riccati equation，and analyzed how roundoff error affect Kalman filtering in theory.It is introduced the Bierman-Thorton algorithm in the essay，and the element of the algorithm is described to how to solve the numerical stability problem due to roundoff error in integrated navigation system.Consequently，it is proved that Riccati equation updating by Bierman-Thorton algorithm has better numerical stability and accuracy than which by conventional Kalman filtering，which is borne on hardware-in-the-loop simulation.

integrated navigation system;Bierman-Thorton algorithm;hardware-in-the-loop simulation;roundoff error;Kalman filtering

V249.3

A

1004－1699(2014)05－0616－06

10.3969/j.issn.1004－1699.2014.05.009

2014-01-16

2014-04-16