淺談數學方法在物理解題中的應用

(安徽省馬鞍山市新市初級中學，安徽 馬鞍山 243141)

數學是解決物理問題的重要工具，安徽省物理《考試大綱》要求考生具有“應用數學處理物理問題”的能力.運用數學方法，就是要把客觀事物的狀態、關系和過程用數學語言表達出來，并進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預測.常用的數學方法有極值法、幾何法、圖像法、數學歸納推理法等.

1 比例法

比例法就是用比例式來解物理題的方法，依據物理定律用比例式建立起未知量和已知量之間的關系，進而求出未知量.

例1(2012年安徽)：某同學家的電子式電能表上個月月初、月末的表盤如圖1所示．表盤上“1600imp/kW·h”表示每用電1kW·h指示燈閃爍1600次．根據表盤上的信息，回答下列問題：

圖1

(1)該同學家上個月共用電多少kw·h？

(2)該同學家同時使用的用電器總功率不得超過多少？

(3)若只讓一個標有“220V 484W”的電熱器工作3min，觀察到電能表的指示燈閃爍了32次，則該同學家的實際電壓是多大？(設電熱器的電阻不變)

例2(2012年安徽)：在如圖2所示的電路中，電阻R1和R2串聯接在AB兩端，電壓表并連接在R1兩端．已知R1=10Ω，R2=20Ω，電壓表示數為2.5V，則AB兩端的電壓U為多大？

圖2

解析：已知兩電阻串聯，用電壓表測R1兩端的電壓，根據歐姆定律求出電路中的電流，根據電阻的串聯和歐姆定律求出電源的電壓．

2 三角函數法

三角函數在初中物理學中用得不多，高中用得就比較普遍了.其解答流程大致是：審讀題意→列出三角函數式→進行三角變換→解決實際問題.

圖3

例3(2013年安徽)：如圖3所示，AB兩地相距4km，MN是與AB連線平行的一條小河的河岸，AB到河岸的垂直距離為3km，小軍要從A處走到河岸取水然后送到B處，他先沿垂直于河岸的方向到D點取水然后再沿DB到B處.若小軍的速度大小恒為5km/h，不考慮取水停留的時間.

(1)求小軍完成這次取水和送水任務所需要的總時間.

(2)為了找到一條最短路線(即從A到河岸和從河岸到B的總路程最短)，可以將MN看成一個平面鏡，從A點作出一條光線經MN反射后恰能通過B點，請你證明入射點O即為最短路線的取水點.

解析：利用平面鏡成像的特點：像與物關于平面鏡對稱，作出發光點A的像點A′，根據反射光線反向延長通過像點，可以由像點和B點確定反射光線所在的直線，兩點之間直線距離最短.本題利用平面鏡成像的特點，并結合數學知識，解決實際問題(取水路線最短)，綜合性較強.

本文僅就(2)問作答，如圖4所示，作出發光點A關于平面鏡的對稱點，即為像點A′，連接A′、B點交平面鏡于點O，沿OB畫出反射光線，連接AO畫出入射光線，圖中O就是入射點.

由圖4可知，兩點之間線段最短，即此時A′B之間的距離(A′O+OB)最短.根據平面鏡成像的特點可知，此時AD=A′D，且Rt△ADO與Rt△A′DO有一條公共邊DO，故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO，即AO=A′O，故AO+OB=A′O+OB，即此時O點是最短路線的取水點.

圖4

3 圖像法

在物理中常采用圖像把物理量之間的關系表示出來，如“物態變化”一章中采用溫度-時間圖像表達物態變化中晶體的熔化、液體的沸騰的特點.圖像法具有直觀、形象、簡捷和概括力強的獨特優點，它能將物理情景、物理過程、物理狀態以直觀的方式呈現在我們面前.

用圖像法解題的一般步驟是：

(1)看清圖像中橫坐標、縱坐標所表示的物理量；

(2)弄清坐標上的分度值；

(3)明確圖像所表達的物理意義，利用圖像的交點坐標、斜率、截距交點和圖像與坐標所包圍的面積等，進行分析、推理、判斷和計算；

(4)根據圖像進行數據計算或者做判斷性結論.

圖5

例4(2008年安徽)：小燈泡L的額定電壓為6V，小明通過實驗測得其電流隨電壓變化的曲線如圖5，由圖5可知當L正常發光時，通過其燈絲的電流是A，通過調節滑動變阻器，使小燈泡兩端的電壓為3V，則此時小燈泡消耗的實際功率為W.

解析：我們按上述步驟先觀察橫坐標、縱坐標分別表示電壓和電流，第二步是觀察分度值看清題目的要求.要看到電壓的分度值是一大格表示1V，電流的分度值是一格表示0.1A.從圖5可以看出，當小燈泡兩端電壓為6V時，縱坐標為通過它的電流，是0.6A；電壓為3V時，縱坐標表示電流為0.5A，所以小燈泡的實際功率為P=UI=3V×0.5A=1.5W.

4 相似形法

在物理中有許多問題若單純用物理的方法去解,往往會使得解題進入死胡同,但如果能巧妙地借助于一些數學思想,往往可得到事半功倍的效果.

圖6

例5(2014年安徽)：凸透鏡的成像規律可以通過畫光路圖去理解.在光路圖中凸透鏡用圖6表示，O點為光心，F為焦點.圖6中A′B′是物體AB經透鏡所成的像.

(1)請畫出圖7中兩條入射光線的出射光線，完成成像光路圖；

圖7

解析：2014年的壓軸題是要求考生利用幾何知識證明光學問題，該題對于大部分考生來說是陌生的，如果考生具有扎實的數學幾何功底，利用兩次三角形相似來進行推導，可以很容易地得出結論.

圖8

要充分發揮數學在初中物理學習中的作用，促進學生對相關數學知識的理解、掌握，提高運用數學解決物理問題的能力.

參考文獻：

成惠才.例析數學在物理中的應用[J].中學物理(初中版)，1997，(4).