考慮持時影響的位移譜阻尼調整系數

王國弢 胡克旭 雷 敏

(同濟大學結構工程與防災研究所，上海 200092)

1 引 言

在結構的抗震設計中需要不同阻尼比下的彈性反應譜。正如Stafford等[1]所指出，可采用兩種方法來獲得不同阻尼比下的彈性反應譜：第一種方法是直接形成不同阻尼比下的反應譜預測方程；第二種方法是采用阻尼調整系數(DSF)將5%阻尼比的彈性反應譜調整到不同于5%阻尼比的彈性反應譜。現行歐美建筑規范[2-6]中采用的是第二種方法。到目前為止，已有許多學者對DSF進行了研究。 Ashour[7]、Priestley[8]及Tolis和Faccioli[9]提出了僅考慮阻尼比(ξ)影響的DSF回歸模型，Newmark和Hall[10]、Wu和Hanson[11]、Idriss[12]及Lin和Chang[13]提出了考慮阻尼比(ξ)和周期(T)影響的DSF回歸模型。近年來，考慮地震動持時、震級、距離、場地條件和地質構造環境的影響，國內外學者對阻尼調整系數進行了更為深入的研究。Bommer和Mendis[14]認識到了持時對DSF的影響，對ξ>5%的情況，提出了DSF隨Mw和Rrup的增大而減小的結論。Cameron和Green[15]認為DSF與地震動的頻譜特性和持時有關，并且他們將地面運動記錄分別按地質構造環境、場地條件和震級進行分組，以表格的形式列出了在指定ξ和T處的DSF的中值和標準差，但他們并沒有提出一個簡單統一的回歸模型。Stafford等[1]在DSF的回歸模型中直接考慮了持時這個變量，但這個回歸模型是與周期無關的。本文的研究目的是提出一個簡單統一的DSF回歸模型并在模型中包含持時這個變量，使該模型能體現持時對各周期范圍內的DSF的影響。地震動持時有不同的定義，本文所采用的持時為相對能量持時D5-95[16]。定義D5-95為從地震動能量達到總能量的5%開始至達到總能量的95%為止所經歷的時間。總能量定義為地面加速度平方的積分，即Arias強度[17]。

2 地面運動加速度時程記錄

在本文的研究中使用了408條地震地面運動記錄，這些地面運動記錄下載于太平洋地震工程研究中心的強震數據庫(http://peer.berkeley.edu/peer ground motion database)。地面運動記錄的相對能量持時(D5-95)分布在1.4～80.3 s之間，矩震級(Mw)分布在5～7.62之間，觀測點到斷層破裂面的最短距離(Rrup)分布在0.1～100 km之間，地表厚度30 m 內平均剪切波速(Vs,30)分布在116.3～2 016.1 m/s之間，峰值地面加速度(PGA)分布在0.004 7～1.434 5 g之間。圖1表明了本文所用記錄的Mw和Rrup的分布。

3 統計分析的結果

位移譜阻尼調整系數被定義為

(1)

式中，DSF代表位移譜阻尼調整系數；ξ為阻尼比；T代表單自由度體系的自振周期；SD(ξ,T)是ξ≠5%，周期為T時彈性單自由度體系的位移譜值；SD(5%,T)是ξ=5%，周期為T時彈性單自由度體系的位移譜值。

圖1 Mw—Rrup分布Fig.1 Distribution between Mw and Rrup

本文采用軟件SeismoSignal對每條輸入地震波分別計算了20個周期點和11個阻尼比處的譜位移，再根據式(1)可求得每條地震波在不同阻尼比和不同周期處的DSF。20個周期分別為0.02 s、0.04 s、0.06 s、0.08 s、0.1 s、0.14 s、0.2 s、0.24 s、0.3 s、0.4 s、0.5 s、0.6 s、0.8 s、1 s、2 s、3 s、4 s、5 s、7.5 s和10 s；11個阻尼比分別為0.5%、1%、2%、3%、5%、7%、10%、15%、20%、25%和30%。計算方法采用Newmark逐步積分法，β=0.25，γ=0.5。通過對上述計算得到的DSF數據的統計分析，研究了D5-95對DSF的影響。

圖2給出了T=0.2 s、1 s和3 s時，分別在ξ=2%、3%、10%和20%處，DSF與D5-95之間的統計關系，圖中直線為DSF和D5-95的線性擬合線(限于篇幅，本文只給出了T=0.2 s、1 s和3 s時，分別在ξ=2%、3%、10%和20%處的統計關系，以下類同，不再贅述)。如圖2所示，D5-95對DSF的影響與周期(T)和阻尼比(ξ)有關。在短周期處(如T=0.2 s)，D5-95對DSF無顯著影響；在長周期處(如T=1 s)，當ξ<5%時，DSF隨D5-95的增加而增加且ξ越小這種趨勢越明顯；當ξ>5%時，DSF隨D5-95的增加而減小，且ξ越大這種趨勢越明顯。在更長的周期(如T=3 s)，上述DSF隨D5-95變化的趨勢更顯著。圖2還表明了DSF相對于ξ和D5-95的異方差性。隨著ξ越遠離5%，DSF的離散程度越大。DSF相對于D5-95的異方差性可能是由于在某些持時處數據點較少的緣故，本文不予考慮。DSF相對于ξ的異方差性將在后面的方差模型中考慮。

圖2 D5-95對DSF的影響Fig.2 Influence of D5-95 on DSF

4 DSF的概率分布

通常可以認為PSA服從對數正態分布，對式(1)兩邊取自然對數有：

ln(DSF)=ln(PSAξ)-ln(PSAξ=5%)

(2)

由式(2)可知，如果PSAξ與PSAξ=5%不相關，則ln(DSF)服從正態分布，DSF服從對數正態分布。但是，PSAξ與PSAξ=5%是相關的，所以在理論上DSF并不嚴格服從對數正態分布。根據對本文數據的分析，在T∈[0.1,7.5]的范圍內，ln(DSF)與正態分布曲線擬合得較好；圖 3給出了ξ=2%時，在T=0.2和1 s處，ln(DSF)數據點的直方圖、累積分布函數圖及相應的正態分布函數的擬合結果。在此周期范圍外，擬合結果并不理想。(圖中CDF： cumulative distribution function，累積分布函數，PDF：probability density function，概率密度函數)。

綜上，本文假設在指定的周期T和阻尼比ξ處，DSF近似服從對數正態分布，并取回歸模型為

ln(DSF)=μ(ξ,T,D5-95)+

(3)

式中，μ(ξ,T,D5-95)為ln(DSF)的期望；代表隨機誤差且～N(0,σ2(ξ,T))；σ2(ξ,T)為在ξ和T處的方差。

圖3 ln(DSF)的分布Fig.3 Distribution of ln (DSF)

5 建立回歸模型

5.1 回歸方程μ(ξ,T,D5-95)

首先設回歸方程僅是ξ和T的函數，取回歸模型為

ln(DSF)=μ(ξ,T)+

(4)

在指定周期Ti和阻尼比ξj處，μ(ξj,Ti)的估計值為

(5)

式中，ln[DSF(ξj,Ti)k]為在Ti和ξj處ln(DSF)的第k個數據值，n=408為數據總數；在Ti和ξj處，第k個數據與回歸方程的殘差為

(6)

按式(6)可求出在Ti和ξj處每個數據與回歸方程的殘差，然后可作出殘差相對于D5-95的分布。圖 4給出了在T=0.1 s和3 s處，ξ=2%和20%時，殘差相對于D5-95的分布。分別將計算出的殘差按ln(D5-95)分為9組(ln(D5-95)<1.7、1.7～2、2～2.3、2.3～2.6、2.6～2.9、2.9～3.2、3.2～3.5、3.5～3.8、>3.8)，圖中黑色方框代表每組殘差的均值，黑線為均值的連線，表明了殘差隨D5-95的分布。根據殘差分析可知，在短周期處(如T=0.1 s)，各阻尼比的殘差基本隨機對稱的分布于零水平線的兩側(圖4)，這表明了在短周期處D5-95對DSF沒有顯著的影響；在長周期處(如T=3 s)，各阻尼比的殘差相對于D5-95顯曲線分布(圖4)，這表明了在長周期處D5-95對DSF有顯著的影響。以上現象與前文統計分析的結果是相一致的。

圖4 殘差相對于D5-95的分布Fig.4 Residuals versus D5-95

為了改善長周期處的殘差相對于D5-95的分布，在指定周期點Ti處，本文將回歸方程取為如下形式：

μ(ξ,Ti,D5-95)=c0(ξ,Ti)+c1(ξ,Ti)ln(D5-95)

+c2(ξ,Ti)[ln(D5-95)]2

(7)

令x1=ln(D5-95)，x2=[ln(D5-95)]2，可得：

μ(ξ,Ti,D5-95)=c0(ξ,Ti)+c1(ξ,Ti)x1

+c2(ξ,Ti)x2

(8)

第二步：在Ti處，采用y=a+blnξ+c(lnξ)2的函數形式來擬合各主系數的估計值與ξ之間的關系。設:

(9)

(10)

(11)

(12)

圖和擬合曲線 and the fitted curve

表1給出了20個周期點處回歸系數的估計值。其余周期點處回歸系數的估計值可由線性插值確定。在Ti和ξj處，第k個數據與回歸方程的殘差為

表1模型回歸系數(×10-2)

Table1Regressioncoefficientsforthemodel(×10-2)

T/sb^0b^1b^2b^3b^4b^5b^6b^7b^8a^0a^1a^2a^30.020.55-0.17-0.080.91-0.720.07-0.260.19-0.01-2.51-0.122.53-0.20.0415.9-10.240.27-0.690.060.23-0.590.42-0.04-8.08-0.187.68-0.830.0612.44-5.64-1.759.91-7.451.18-2.571.66-0.11-13.59-1.413.49-1.880.0823.22-11.3-1.846.62-4.890.43-1.620.780.15-14.79-1.4515.58-1.90.114.9-5.72-2.8413.15-8.050.46-2.140.890.18-15.17-1.6316.32-1.650.1418.22-4.85-4.2213.81-9.350.73-2.010.960.13-15.59-2.2717-1.420.218.41-5.81-3.5213.1-6.27-1.04-1.490.130.46-15.31-2.0417.82-1.570.2414.32-3.61-3.7913.4-5.77-1.15-1.01-0.260.47-14.93-1.9715.27-1.130.310.832.63-6.6617.26-10.570.53-1.780.620.2-14.76-2.0616.59-2.080.47.493.85-5.1718.14-10.91-0.39-1.80.680.3-15.37-2.3116.81-2.070.56.744.62-5.3317.37-10.62-0.38-1.470.620.27-13.5-2.0615.47-1.930.817.07-3.98-4.295.92-2.58-0.720.81-0.790.21-14.76-2.2715.67-2.3219.61-3.14-1.918.12-0.87-2.550.87-1.440.56-14.43-2.0714.85-1.541.5-0.452.81-1.3216.09-7.27-1.99-1.010.30.28-15.17-2.5115.69-1.2825.18-1.55-1.375.08-0.57-1.531.56-1.250.18-13.95-2.1816-1.2337.18-5.371.08-0.013.49-2.582.43-1.780.24-13.57-2.3114.340.2846.08-7.192.14-4.127.3-3.083.49-2.570.28-12.53-2.3115.010.5353.75-3.851.12-2.373.75-1.642.73-1.51-0.07-11.77-2.2613.081.137.52.13-4.972.38-45.37-1.963.04-1.75-0.06-10.71-2.3111.412.03103.7-4.471.57-6.395.27-1.033-1.52-0.17-8.28-1.79.161.79

[Δ(ξi,Ti)]k=ln[DSF(ξj,Ti)k]

(13)

按式(13)求出在Ti和ξj處每個數據與回歸方程的殘差，然后可作出殘差相對于D5-95的分布。圖6給出了在T=0.1 s和3 s處ξ=2%和20%時， 殘差相對于D5-95的分布。根據殘差分析可知：在短周期處(如T=0.1 s)，采用式(12)的回歸方程對殘差相對于D5-95的分布無明顯影響(將圖4和圖6對比可知)，再次說明在短周期處D5-95對DSF無顯著影響，各阻尼比的殘差隨機對稱的分布于零水平線的兩側；在長周期處(如T=3 s)，采用式(12)的回歸方程使得殘差相對于D5-95不再具有曲線分布，各阻尼比的殘差隨機對稱地分布于零水平線的兩側(圖6)，這說明了本文回歸模型的合理性且能反映出長周期D5-95對DSF的影響；圖7給出了在T=0.2 s、1 s和3 s處，按本文模型所計算的DSF中值與本文DSF數據中值的對比(圖中數據點分別為按各數據分組所計算的DSF中值，各數據分組與計算殘差時的分組相同)。由圖7可見，本文回歸模型與數據吻合得很好。圖7還表明：D5-95對DSF的影響與T和ξ有關。隨著T的增長，D5-95對DSF的影響越顯著；ξ越遠離5%，D5-95對DSF的影響越顯著。這與前文的統計分析結果是相一致的。

圖6 殘差相對于D5-95的分布Fig.6 Residuals versus D5-95

以下算例進一步說明所建議模型的有效性及模型中考慮持時影響的必要性。在408條地震地面運動中選用50條記錄，其矩震級和到斷層面最近距離分別在7～8和50～100 km范圍內(Mw=7～8,Rrup=50～100 km)。50條記錄的平均相對能量持時為42.904 s。設有一單自由度體系，自振周期為3 s，阻尼比為30%。將50條記錄作為輸入，通過分析可求得該體系精確的阻尼調整系數中值為0.471。對式(5)取指數，可求得不考慮持時影響的阻尼調整系數模型的阻尼調整系數中值為0.579。由本文所建議的考慮持時影響的阻尼調整系數模型所求得的阻尼調整系數中值為0.458。由上述計算可見，采用不考慮持時影響的阻尼調整系數模型計算的阻尼調整系數中值所產生的誤差為23%；采用本文建議的考慮持時影響的阻尼調整系數模型計算的阻尼調整系數中值所產生的誤差僅為-2.8%,在工程允許的誤差范圍內。以上分析說明了本文模型的有效性及模型中考慮持時影響的必要性。

由于在各國規范中均未提供持時這個參數，所以本文的回歸方程是不便于工程運用的。為了在實際工程中考慮持時對DSF的影響，可對工程所在場地執行概率地震危險性分析，然后分解所計算出的地震危險性，找出工程所在場地最可能的設計地震，將該設計地震所對應的震級、距離等參數代入D5-95的預測方程，求出D5-95，再運用本文的回歸方程便可得出考慮了D5-95影響的阻尼調整系數。

圖7 本文模型和數據的DSF中值對比Fig.7 Comparison between median DSFs of the model and data

5.2 標準差σln(DSF)

對于二元線性方程，在Ti和ξj處，σ(ξj,Ti)ln(DSF)的無偏估計可用下式[18]計算：

(14)

(15)

圖8給出了在T=0.1 s和3 s處式(15)的擬合結果。由圖可見，DSF相對于ξ存在異方差性且隨著ξ越遠離5%，DSF的離散程度越大。這與前文統計分析結果中所觀察到的現象相一致。各周期點處回歸系數的估計值列于表1。

圖和擬合曲線 and the fitted curve

6 結 論

本文對408條地震地面運動記錄的DSF進行了統計分析，并在此基礎上提出了考慮相對能量持時D5-95影響的回歸模型，得出以下結論：

(1)D5-95對DSF的影響與T和ξ有關；在長周期范圍內，當ξ<5%時，DSF隨著D5-95的增長而增長；當ξ>5%時，DSF隨著D5-95的增長而減小。隨著T的增長，D5-95對DSF的影響越顯著；ξ越遠離5%，D5-95對DSF的影響越顯著。在短周期范圍內，D5-95對DSF無顯著影響。

(2)DSF相對于ξ存在異方差性，且隨著ξ越遠離5%，DSF的離散程度越大。

(3) 本文所提出的回歸方程能體現長周期范圍內D5-95對DSF的影響。模型的標準差能體現DSF相對于ξ的異方差性。

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