基于替代彈性的中國超越對數生產函數模型實證比較

王燦雄，謝志忠

(1.福建農林大學 金山學院,福建 福州 350002；2.福建農林大學 經濟學院,福建 福州 350002)

一、引言

由克里斯蒂森、喬根森和劉于1973年提出的超越對數生產函數模型具有易估計性和包容性的雙重特征[1]。該模型是生產函數模型理論的集大成者，具有廣泛的應用前景，但是，其在中國的研究與應用進程相對緩慢。超越對數生產函數模型在國內期刊中最早的記錄出現在1993年[2]，其中，涉及“替代彈性”的學術文獻直到2004年才出現[3]。此后，涉及“替代彈性”的超越對數生產函數模型在學術文獻中被陸續應用[4-8]。經研究發現，這些文獻中關于“超越對數生產函數替代彈性”的理論公式均存在不妥之處，但是表現形式略有區別。具體而言，有的文獻論證過程如出一轍[3-6]；有的文獻則直接引用他人結論[7]；有的文獻甚至在引用他人結論的過程中出現遺漏[8]。

在外文期刊中，涉及“超越對數生產函數”或“替代彈性”的學術文獻都比較豐富，但是，涉及“超越對數生產函數替代彈性”的學術文獻則鮮有發現。具體而言，涉及“超越對數生產函數”的學術文獻更多地采用其改進形式，比如：隨機前沿生產函數[9]、超越對數成本函數[10-11]；涉及“替代彈性”的學術文獻更多地采用其它類型的函數，比如：修正的成本函數[12]、修正的消費函數[13]、二級CES生產函數[14]。

本文以微分與導數知識作為理論依據，對 “超越對數生產函數替代彈性”的理論公式進行修正，并據此重新對中國超越對數生產函數模型作實證分析。通過理論、實證兩個層面的研究，本文旨在為超越對數生產函數的廣泛應用提供可靠的理論支撐，并試圖通過對中國超越對數生產函數模型實證結果的修正，為進一步研究中國能源經濟問題提供借鑒。

二、超越對數生產函數替代彈性新證

前面提到6篇文獻[3-8]所述“超越對數生產函數替代彈性”的理論公式均存在不妥之處，為了印證這一論斷，本文利用微分與導數知識對“超越對數生產函數替代彈性”的理論公式進行嚴格、詳盡的推導，提出了新的理論公式，并指出不妥之處的具體表現形式。

(一)超越對數生產函數的一般形式

超越對數生產函數模型在結構上屬于平方反映面模型，可有效研究生產函數中投入要素的交互影響、各種投入要素技術進步的差異[1]。為簡化分析，此時僅考慮涉及兩種投入要素的模型，其一般形式見式(1)。

lnYt=β0+βKlnKt+βLlnLt+βKK(lnKt)2+βLL(lnLt)2+βKLlnKt·LnLt

(1)

其中ln表示自然對數符號；Yt表示t年產出量；Kt、Lt分別表示資本、技術這兩種投入要素；β表示未知參數。文中一般采用變量Yt、Kt、Lt的簡化形式Y、K、L。

(二)要素投入的產出彈性

超越對數生產函數模型中所涉及的兩種投入要素為資本和勞動，因此，本文的產出彈性系指資本投入的產出彈性和勞動投入的產出彈性，詳見式(2)、式(3)。

資本投入的產出彈性為

(2)

勞動投入的產出彈性為

(3)

(三)要素投入的替代彈性

同理，此時超越對數生產函數模型的替代彈性系指資本、勞動兩種投入要素的替代彈性，具體包括：資本對勞動的替代彈性、勞動對資本的替代彈性。由于這兩種替代彈性具有等價關系，以下僅就資本對勞動的替代彈性進行論證，其定義形式[15]見式(4)。

資本對勞動的替代彈性為

(4)

其中，MPK、MPL分別表示資本的邊際產量、勞動的邊際產量。由于：

(5)

結合式(4)、式(5)可得：

(6)

由于：

(7)

(8)

(9)

將式(8)、式(9)代入式(7)可得：

(10)

將式(7)、式(10)代入式(6)得，資本與勞動的替代彈性為：

(11)

根據微分與導數知識，Lt變化1個單位時，資本投入的產出彈性ηK的變化量即為ηK關于Lt的導數d(ηK)/dLt[12]。依據式(2)關于Lt求偏導數得：

(12)

即：

(13)

同理，Lt變化1個單位時，勞動投入的產出彈性ηL的變化量即為ηL關于Lt的導數d(ηL)/dLt。依據式(3)關于Lt求偏導數得：

(14)

即：

(15)

將式(13)、式(15)代入式(11)得，資本對勞動的替代彈性為：

(16)

將式(2)除以式(3)可得：

(17)

將式(17)代入式(16)得，資本對勞動的替代彈性為：

(18)

三、中國超越對數生產函數模型實證比較

俗話說，失之毫厘，謬以千里。理論公式形態上的差異有別于計量經濟學模型中的隨機誤差項，前者屬于本質性差異，具有不可修復性；后者屬于非本質性差異，具有可修復性。鑒于此，本文依據出現時間及影響力在上述文獻[3-8]中選取一篇[3]作為比較對象，采用類似研究方法重新對中國超越對數生產函數作實證分析，試圖提煉出更具現實意義的研究結論。

(一)中國超越對數生產函數模型的函數形式

一個更為完整的中國超越對數生產函數模型包含資本、勞動、能源、時間這4個解釋變量[3]，見式(19)。

lnGDP=A+βTT+βTTT2+βKlnK+βLlnL+βElnE+βKLlnKlnL+βKElnKlnE+βLElnLlnLlnE+βKK(lnK)2+βLL(lnL)2+βEE(lnE)2+βKT(lnK)T+βLT(lnL)T+βET(lnE)T

(19)

其中產出量用國內生產總值(GDP)表示，單位：億元；投入要素資本、勞動、能源分別用中國資本存量(K)、中國勞動人口數(L)、中國能源消費總量(E)表示，相應的單位分別為億元、萬人、萬噸標準煤；中性技術進步用時間(T)表示，單位：年。

(二)數據獲取及變量處理

本文的數據來源有：《中國統計年鑒》《中國統計公報》和學術文獻[16]，其中變量K的數據來自學術文獻；變量GDP、K、L、在1978年—2011年的數據來自《中國統計年鑒》，在2012年的數據來自《中國統計公報》。樣本數據范圍為1978年—2012年，樣本量為35，滿足模型估計要求。需要指出的是，針對變量數據的缺失問題，本文利用SPSS 18.0在原有數據基礎上對缺失數據進行回歸擬合。具體而言，變量K、E的數據均采用增長函數進行擬合；變量L的數據采用線性函數進行擬合。同時，對時間變量t(1978年—2012年)采用簡化形式，新的時間趨勢變量T(1～35年)見式(19)。

(三)統計指標說明

本文實證分析過程中涉及3類統計指標：產出彈性、替代彈性、技術進步差異，分別概述如下：

1.產出彈性

產出彈性包括4種具體形態，見式(20)到式(23)。

資本投入的產出彈性為：

ηK=βK+2βKKlnK+βKLlnL+βKElnE+βKTT

(20)

勞動投入的產出彈性為：

ηL=βL+βKLlnK+2βLLlnL+βLElnE+βLTT

(21)

能源投入的產出彈性為：

ηE=βE+βKElnK+βLElnL+2βEElnE+βETT

(22)

產出隨時間的自主變化彈性為：

ηT=βT+βKTlnK+βLTlnL+βETE+2βTTlnT

(23)

2.替代彈性

替代彈性包括3種具體形態，其中資本對勞動的替代彈性見式(18)，另2種替代彈性見式(24)、式(25)。

資本對能源的替代彈性為：

(24)

勞動對能源的替代彈性為：

(25)

3.技術進步差異

技術進步差異包括3種具體形態，見式(26)到式(28)。

資本與勞動的技術進步差異為：

(26)

資本與能源的技術進步差異為：

(27)

勞動與能源的技術進步差異為：

(28)

(四)模型估計及分析

由于變量間的共線性比較嚴重，本文考慮利用嶺回歸方法進行估計，有兩款可供選擇的軟件：STATISTICA 10.0和SPSS 18.0，前者是對比文獻所使用的，后者是目前比較流行的。通過比較可知：對于本文所構建模型的三類統計檢驗指標值而言，SPSS 18.0的運算結果在顯著性層面均優于STATISTICA 10.0，但是兩者的回歸系數(標準化與非標準化)估計值是一致的，并且這是后續研究的基礎，這表明選用任一款軟件對本文的研究結果是無差異的。鑒于此，考慮到同對比文獻的匹配性，本文選用STATISTICA 10.0進行模型估計，根據方差膨脹因子(VIF)選取一個比較合理的嶺參數k=0.89，模型的參數估計結果見表1。需要指出的是，上述文獻中有4篇[3-6]在根據VIF值確定嶺參數的過程中存在使用不當問題，即這4篇文獻均出現VIF<1的情況[17]，其中2篇[5-6]可能將VIF值誤寫為容忍度(Tol)值。

表1 參數估計結果

變量標準回歸系數標準誤差回歸系數標準誤差t值顯著水平VIF值常數項——-2.907 3.706 -0.784 0.442 —T0.070 0.057 0.007 0.005 1.223 0.236 1.044T20.058 0.056 0.000 0.000 1.036 0.313 1.007lnK0.069 0.057 0.063 0.053 1.192 0.247 1.046lnK20.066 0.057 0.003 0.003 1.157 0.261 1.044lnL0.074 0.056 0.427 0.325 1.314 0.204 1.007lnL20.074 0.056 0.019 0.015 1.307 0.206 1.011lnE0.064 0.057 0.110 0.099 1.114 0.279 1.038lnE20.063 0.057 0.005 0.004 1.097 0.286 1.034lnK·lnL0.069 0.057 0.005 0.004 1.198 0.245 1.046lnK·lnE0.066 0.057 0.003 0.003 1.144 0.266 1.045lnL·lnE0.066 0.057 0.008 0.007 1.153 0.263 1.043lnKt0.067 0.057 0.001 0.000 1.160 0.260 1.045lnLt0.070 0.057 0.001 0.000 1.216 0.238 1.045lnEt0.068 0.058 0.001 0.000 1.183 0.251 1.047

表1所示信息同對比文獻[3]相應部分存在2個方面的顯著差異：方差膨脹因子值、模型估計效果。可以證明:VIF≥1,并且VIF越接近1，變量間的共線性程度越弱[17]。本文的VIF值滿足此要求，變量間的共線性問題已得到有效解決；對比文獻存在VIF<1的情況，可能是嶺參數取值過大，變量間的共線性問題被過度修正。同時，本文三類統計檢驗指標值的顯著性均優于對比文獻。

(五)統計指標估計及分析

根據模型估計結果，計算每年三種要素投入的產出彈性、替代彈性和技術進步差異。

1.產出彈性折線圖

圖1所示信息同對比文獻[3]相應部分存在2個方面的顯著差異：產出隨時間的自主變化彈性值、勞動的產出彈性值。本文產出隨時間的自主變化彈性值同其它3個彈性值的大小并不屬于同一數量級，其值在0.023～0.037之間線性遞增；對比文獻中產出隨時間的自主變化彈性值同其它3個彈性值已屬于同一數量級，其值在0.25～0.54之間線性遞增。同時，本文的勞動產出彈性值在0.97～1.04之間線性遞增，而對比文獻的勞動產出彈性值在0.5～0.54之間線性遞增，兩者差別近1倍。

圖1 要素投入的產出彈性

2.替代彈性折線圖

圖2所示信息同對比文獻[3]相應部分存在2個方面的顯著差異：替代彈性值、替代彈性值變動趨勢。本文的替代彈性值均接近1，表明資本、勞動、能源彼此之間的替代性均處于理想狀態[18]；對比文獻的替代彈性值均偏離1，表明資本、勞動、能源彼此之間的替代性均處于非理想狀態。同時，本文的替代彈性值均呈逐年遞減趨勢，而對比文獻則變化不大。

圖2 要素投入的替代彈性

3.技術進步差異折線圖

圖3所示信息同對比文獻[3]相應部分并不存在顯著差異，兩者所反映的技術進步差異值略有區別，技術進步差異值的變動趨勢也比較吻合。因此，兩者具有一致的研究結論：首先，3種投入要素按中性技術進步的快慢依次排序為資本、能源、勞動；其次，3種投入要素的技術進步差異呈逐年縮小趨勢。

圖3 要素投入的技術進步差異

四、結論與展望

對于超越對數生產函數的研究普遍存在“重實證、輕理論”的問題，這容易導致“一榮俱榮、一損俱損”的風險。扎實的理論基礎是實證研究結論可靠性的根本保障，因此，必須重視理論研究。本文對超越對數生產函數的研究在理論及實證方面均取得了新的研究結果：在理論層面，提出了超越對數生產函數要素替代彈性的新理論公式，同時指出方差膨脹因子在實證分析中的合理取值。在實證層面，指出產出隨時間的自主變化彈性值被高估，勞動的產出彈性值被低估，三種投入要素的替代彈性值均接近1，三種投入要素的替代彈性值均呈逐年遞減趨勢。綜上，可推導出相應結論：首先，資本、勞動、能源的中性技術進步變化率并不高，影響產出的關鍵因素還是要素投入；其次，勞動投入對產出的影響較大，即人口紅利對中國GDP的增長具有重要作用；第三，中國的經濟發展是具有效率的，資本、勞動、能源在在經濟結構中均得到合理配置，對于產出具有同等重要性；第四，中國的經濟發展使得社會分工更加細致，資本、勞動、能源的角色屬性更加明確，使得彼此之間的替代性降低。

本文實證分析部分基本沿用對比文獻的研究方法，同時更新了相關數據，近10年出現的學術成果并沒有得到有效利用，后續研究可以從超越對數生產函數改進、嶺回歸參數設置、資本存量確定、缺失數據擬合等方面著手考慮。

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