兩個 Hermite矩陣的組合的特征值的估計

石向前,陳引蘭，燕 敏

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

兩個 Hermite矩陣的組合的特征值的估計

石向前,陳引蘭，燕 敏

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

設A,B是復數域上的兩個任意的n階Hermite 矩陣。討論了在不同條件下其組合pA+qB+rAB的特征值的估計，其中p,q,r是實數。

Hermite矩陣； 特征值;估計

設A,B是兩個n階Hermite 矩陣，對他們的組合的特征值的估計在實際應用中具有重要的意義。文 [1]給出了Hermite 矩陣的特征值的變分特征以及他們的和的特征值的估計，而文 [2-3]討論了兩個 Hermite矩陣之和的特征值的一些性質，文[4-5] 討論了兩個 Hermite矩陣乘積的特征值的估計。而本文利用A,B的特征值及乘積矩陣AB的特征值來估計組合pA+qB+rAB(其中p,q,r∈)的特征值。為此，先給出幾個引理。

引理1[1]設A,B為n階方陣，則AB與BA有完全相同的特征值。

引理2[2]設A,B是兩個n階Hermite 矩陣，又設諸特征值λk(A),λk(B) ,以及λk(A+B)均按遞增順序λmin=λ1≤λ2≤…≤λn-1≤λn=λmax排列。則對每個k=1,2,…,n, 有

λk(A)+λ1(B)≤λk(A+B)≤λk(A)+λn(B)

引理3[6]設A,B是兩個n階Hermite 矩陣，且A是半正定陣。假設A,B和AB的特征值依升序排列分別是μ1,μ2,…,μn;γ1,γ2,…,γn，λ1,λ2,…,λn則下列各條成立

i)B是半正定，則max{μiγ1,μ1γi}≤λi≤min{μiγn,μnγi},i=1,2,…,n;

ii)B是半負定，則 max{μn-i+1γ1,μnγi}≤λi≤min{μn-i+1γn,μ1γi},i=1,2,…,n;

iii)B是不定，則μn-i+1γ1≤γi≤μiγn,i=1,2,…,n.

引理4[6]設A,B是兩個n階Hermite矩陣，且A,B可交換。假設A,B和AB的特征值依升序排列分別是μ1,μ2,…,μn;γ1,γ2,…,γn和λ1,λ2,…,λn，則

min{μ1γn,μ1γn}≤λi≤max{μ1γ1,μnγn},i=1,2,…,n

分析易得pA,qB也是兩個n階Hermite矩陣，由引理2，且因為pq≠0，則

(Ⅰ)

定理1 設A,B是兩個n階Hermite 矩陣，pA是半正定矩陣且AB=BA，假設諸特征值λk(A),λk(B),λk(pA),λk(qB),λk[(pA)(qB)],λk(pA+qB+rAB) (其中p,q,r∈且pq≠0)依升序排列，k=1,2,…，n,若B是半正定的，則

1)當q>0時，有

(1)若r≥0，pq>0,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λk(A)λ1(B),λ1(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λk(A)λn(B),λn(A)λk(B)}

(2)若r≥0，pq<0,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λk(A)λn(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λk(A)λ1(B),λ1(A)λk(B)}

(3)若r<0，pq>0,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λk(A)λn(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λk(A)λ1(B),λ1(A)λk(B)}

(4)若r<0，pq<0,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λk(A)λ1(B),λ1(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λk(A)λn(B),λn(A)λk(B)}

2)當q<0時，有

(1)若r≥0，pq>0,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}

(2)若r≥0，pq<0,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}

(3)若r<0，pq<0,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}

(4)若r<0，pq<0,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}

若B是半負定，則與上述兩種情形剛好相反，結論留給讀者寫出。

1)當q>0 時，qB也是半正定，由引理3可得

max{λk(pA)λ1(qB),λ1(pA)λk(qB)}≤λk[(pA)(qB)]≤min{λk(pA)λn(qB),λn(pA)λk(qB)}

(1)r≥0,pq>0時，有

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λk(A)λ1(B),λ1(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λk(A)λn(B),λn(A)λk(B)}

(2)r≥0,pq<0 時，有

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λk(A)λn(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λk(A)λ1(B),λ1(A)λk(B)}

(3)r<0,pq>0 時，有

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λk(A)λn(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λk(A)λ1(B),λ1(A)λk(B)}

(4)r<0,pq<0 時，有

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λk(A)λ1(B),λ1(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λ1(A)λn(B),λn(A)λk(B)}

2)當q<0時，qB是半負定，則由引理3 (ii)可得

max{λn-k+1(A)λ1(B),λn(pA)λk(qB)}≤λk[(pA)(qB)]≤

min{λn-k+1(pA)λn(qB),λ1(pA)λk(qB)}

(1)r≥0,pq>0時，首先有

rmin{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}

代入(Ⅰ) 式中就可得

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}

(2)r≥0,pq<0 時，首先有

rmin{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A),λk(B)}

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}

(3)r<0,pq>0 時，首先有

rmax{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}

(4)r<0,pq<0時，首先有

rmax{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}

代入 (Ⅰ)式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λn-k+1(A)λ1(B),λn(A)λk(B)}≤λk(pA+qB+rAB)

≤pλn(A)+qλn(B)+rmax{λn-k+1(A)λn(B),λ1(A)λk(B)}

定理2 設A,B是兩個n階Hermite 矩陣，AB=BA，pA是半正定陣,B是不定陣,假設諸特征值λk(A),λk(B),λk(pA),λk(qB),λk[(pA)(qB)],λk(pA+qB+rAB) (其中p,q,r∈且pq≠0) )依升序排列，k=1,2,… ，n,則

pλ1(A)+qλ1(B)+rλn-k+1(A)λ1(B)≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rλk(A)λn(B)

pλ1(A)+qλ1(B)+rλk(A)λn(B)≤

λk(pA+qB+rAB)≤pλn(A)+qλn(B)+rλn-k+1(A)λ1(B)

λn-k+1(pA)λ1(qB)≤λk[(pA)(qB)]≤λk(pA)λn(qB)

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rλn-k+1(A)λ1(B)≤

λk(pA+qB+rAB)≤pλn(A)+qλn(B)+rλk(A)λn(B)

代入(1) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rλk(A)λn(B)≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rλn-k+1(A)λ1(B)

定理3 設A,B是兩個n階Hermite 矩陣，AB=BA，若A,B是不定陣。假設諸特征值λk(A),λk(B),λk(pA),λk(qB),λk[(pA)(qB)],λk(pA+qB+rAB) (其中p,q,r∈且pq≠0)依升序排列，k=1,2,……，n,則

1)若r≥0,pq>0時

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λ1(A)λn(B),λn(A)λ1(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λ1(A)λ1(B),λn(A)λn(B)}

2)若r≥0,pq<0時

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λ1(A)λn(B),λn(A)λn(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λ1(A)λ1(B),λn(A)λ1(B)}

3)若r<0,pq>0時

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λ1(A)λ1(B),λn(A)λn(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λ1(A)λn(B),λn(A)λ1(B)}

4)若r<0,pq<0時

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λ1(A)λn(B),λn(A)λ1(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λ1(A)λ1(B),λn(A)λn(B)}

min{λ1(pA)λn(qB),λn(pA)λ1(qB)}≤λk[(pA)(qB)]≤

max{λ1(pA)λ1(qB),λn(pA)λn(qB)}

1)r≥0,pq>0則

代入(⒈) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λ1(A)λn(B),λn(A)λ1(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λ1(A)λ1(B),λn(A)λn(B)}

2)r≥0,pq<0則

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmin{λ1(A)λ1(B),λn(A)λn(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmax{λ1(A)λn(B),λn(A)λ1(B)}

3)r<0,pq>0則

代入(Ⅰ) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λ1(A)λ1(B),λn(A)λn(B)}≤λk(pA+qB+rAB)≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λ1(A)λn(B),λn(A)λ1(B)}

4)r<0,pq<0則

代入(1) 式中就可得到

pλ1(A)+qλ1(B)+rmax{λ1(A)λn(B),λn(A)λ1(B)}≤λk[(pA)+(qB)+rAB]≤

pλn(A)+qλn(B)+rmin{λ1(A)λn(B),λn(A)λn(B)}

上面是考慮A,B二者可交換的情況，而對A,B二者不可交換的情況還尚未解決。

[1]威爾金森 J H.代數特征值問題[M].石鐘慈,鄧健新,譯.北京:科學技術出版社,2001.

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TheestimationofeigenvalueofthecombinationoftwoHermitematrix

SHI Xiang-qian,CHEN Yin-lan,YAN Min

(College of Mathematics and Statistic,Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

letA,Bbe two arbitrary order Hermite matrix on complex field. This paper discusses the estimation of the eigenvalues of the combination of pA+qB+tABunder different conditions，andp,q,rare real number.

Hermite matrix; eigenvalue;estimation

2013—11—20

石向前(1987— )，男，湖北紅安人，研究方向為代數學.

O151.21

A

1009-2714(2014)03- 0063- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.03.015