一類非恰當(dāng)微分方程的解法

蔡 鋼,羅 萍

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 重慶 401331)

一類非恰當(dāng)微分方程的解法

蔡 鋼,羅 萍

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 重慶 401331)

討論一類非恰當(dāng)微分方程的具體解法, 給出了具體的例子, 完善了一階微分方程的解法.

微分方程;積分因子;解法

恰當(dāng)微分方程是微分方程的一個(gè)重要部分, 但是很多微分方程都不是恰當(dāng)微分方程, 因此怎樣才能將非恰當(dāng)微分方法轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程顯得尤為重要. 積分因子的出現(xiàn), 給我們提供了一種將非恰當(dāng)微分方法轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程的途徑, 然而要求出一個(gè)微分方程的積分因子卻不是一件容易的事, 當(dāng)積分因子為只含x或者y的函數(shù)時(shí), 我們可以運(yùn)用公式很快求出積分因子. 若一個(gè)方程含有的積分因子是關(guān)于x和y二元函數(shù)時(shí), 則要求出積分因子卻是一件困難的事. 本文討論了一類非恰當(dāng)微分方程, 將它適當(dāng)分組, 采取分組求積分因子的方法, 求出了這類方程含有x和y的積分因子.

定義1[1]如果方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

(1)

的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y) 的全微分, 即

則稱 (1) 為恰當(dāng)微分方程.

定理2[2]若μ=μ(x,y) 是方程 (1) 的一個(gè)積分因子，使得

μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=dΦ(x,y)

則μ(x,y)g(Φ(x,y)) 也是 (1) 的一個(gè)積分因子，其中g(shù)(·) 是任一可微 (非零) 函數(shù).

因此

定理3 若μ=μ(x,y) 是方程 (1) 的一個(gè)積分因子，即存在Φ(x,y)使得

μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=dΦ(x,y)

(2)

又設(shè)μ1=μ1(x,y)為方程 (1) 的另外一個(gè)積分因子，即存在Ψ(x,y)

μ1P(x,y)dx+μ1Q(x,y)dy=dΨ(x,y)

(3)

則μ1必可表為μ1=μg(Φ) 的形式，其中g(shù)(·) 是任一可微 (非零) 函數(shù).

證明 因?yàn)檠趴吮刃辛惺?/p>

所以Ψ和Φ函數(shù)相關(guān). 由 (2) 和 (3) 知

現(xiàn)在我們可以給出分組求積分因子法的一般解法. 假設(shè)方程 (1) 的左端可以分成兩組,即

(P1dx+Q1dy)+(P2dx+Q2dy)=0

其中第一組和第二組各有積分因子μ1和μ2. 從而存在可微函數(shù)Φ1和Φ2使得

μ1P1dx+μ1Q1dy=dΦ1,μ2P2dx+μ2Q2dy=dΦ2

由定理2知, 對任意的可微函數(shù)h1和h2, 函數(shù)μ1h1(Φ1) 是第一組的積分因子，函數(shù)μ2h2(Φ2) 是第二組的積分因子. 若能適當(dāng)?shù)倪x取h1和h2使得μ1h1(Φ1)=μ2h2(Φ2), 則μ=μ1f1(Φ1) 就是 (1) 的一個(gè)積分因子.

下面我們通過具體的例子說明用分組求積分因子法來求微分方程通解的過程.

例1 求解微分方程(x3y+4y2)dx+x4dy=0 .

解 首先將方程左端分成兩組:

(x3ydx+x4dy)+4y2dx=0

(4)

觀察易知第一組有積分因子x-3和通解xy=C,第二組有積分因子y-2和通解x=C. 我們需要尋找可微函數(shù)h1和h2滿足

x-3h1(xy)=y-2h2(x)

即是h1(xy)=x3y-2h2(x) . 我們可取h2(x)=x-5和h1(xy)=(xy)-2, 從而方程有積分因子μ=x-5y-2，將它乘在方程 (4) 兩端, 得

(xy)-2d(xy)+4x-5dx=0

故通解為 (xy)-1-x-4=C.

例2 求解微分方程ydx-(2x2+2y2+x)dy=0 .

解 首先將方程左端分成兩組:

(ydx-xdy)-2(x2+y2)dy=0

(5)

即

解 方程重新分組為

(P(x,y)ydx-dy)+Q(x,y)yndx=0

[1]王高雄，周之銘，王壽松,等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2006.

[2]丁同仁，李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2004.

Thesolvingprocessofsomenon-exactdifferentialequation

CAI Gang, LUO Ping

(College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

This paper discusses the solving process of some non-exact differential equation. Some examples are given. We perfect the methods of solution to one order differential equation.

differential equation; integrating factor;solution.

2014—03—18

重慶師范大學(xué)基金項(xiàng)目資助(14XLB002)

蔡鋼(1984— ),男,重慶巴南區(qū)人,講師,博士生,主要從事泛函分析研究.

O155

A

1009-2714(2014)03- 0109- 03

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.03.025