學生的思路決定教師的教路

閆愛

學生的知識結構不僅決定學生學習新知的能力，而且還決定他們學習新知，同化新知的方式。學生的學習離不開自己已有的知識基礎。學生利用自己已有的數學認知結構積極主動地與新的數學知識進行相互作用，或者將新的數學知識同化到已有的數學認知結構中，從而豐富了學生的數學認知結構，或者改變已有數學結構以順應新的數學知識，從而推動數學認知結構的持續發展。

例如當學習《三角形的內角和》時，學生已掌握了三角形的元素：有三條邊、三個內角。需要特別指出的是學生剛剛學完三角形三條邊之間的關系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊。由于學生對這一知識猶聲在耳，所以當教師提出三角形的三個內角有什么關系時，學生在事先對這一知識一無所知的原始情況下，會受“三角形任意兩邊之各大于第三邊”知識負遷移的影響，學生馬上會猜想到：三角形任意兩角之和大于第三角”。

我們知道學生的學習過程，在很大程度是發現、修正自己認識結構的偏差、甚至是錯誤的過程；同樣教師教學的過程在很大程度是引導學生發現、修正認識上的偏差、甚至是錯誤的過程。在學生發現、修正自己認識的偏差、甚至是錯誤的過程中。這樣學生不僅獲得了顯性的知識，而且獲得了比顯性知識更為重要的隱性知識：數學思想與方法、基本的數學活動經驗。所以教師的教學要敢于讓學生暴露他們的思維的偏差、認識上的錯誤。

既然學生會基于“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的認識，提出“三角形任意兩角之和大于第三角”的猜想。同時，由于學生在探索三角形三邊的關系時，學生有了用兩根小棒相加與第三根小棒比長度的活動經驗；也有了在學習《角的大小》時，把兩個角的頂點重合在一起比較大小的能力與經驗。所以學生應該有能力在教師的引導下通過觀察、或動手操作否定原先的猜想。并在否定猜想后，再提出新的猜想，再次驗證新的猜想，最后得出結論。學生通過這一系列活動，在獲得新知的同時，數學活動經驗與能力也得到了進一步的加強。下面是筆者的引導過程。

一、引導學生否定初步猜想

師：我們知道三角形有三條邊、三個內角。并且我們已探索出三角形的三條邊的關系。這節課我們探索三角形三個內角之間的關系。 三角形三個內角有什么關系？（這個問題會讓學生展示出他們的原始思維）

生1：三角形任意兩角之和大于第三角。

師：人類最偉大之處就在于敢于猜想。不過，人類更智慧之處在有了猜想后能進行驗證。你能對你的猜想進行驗證嗎？

（多媒體呈現不同的三角形：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。同時發給學生用硬紙卡做成的上述三類三角形。讓學生先觀察，再驗證）

生1：這個猜想是錯誤的。因為通過我的觀察，有的三角形（指著鈍角三角形），兩個較小的角和起來很明顯比那個大角小。

師：是的，觀察也是一種證明方法。通過觀察，我們能很快地發現有的三角形（指著鈍角三角形），兩個較小的角和起來很明顯比那個大角小，從而證明原來的猜想是錯誤的。

師：還有別的證明方法嗎？

……

二、引導學生再次猜想

師：是的，僅在銳角三角形中有“三角形任意兩角之和大于第三角”關系，我們不能把它推廣到一般三角形中。那么一般三角形的三個內角倒底有什么關系呢？大家可以進行新的猜想。

師：猜想也不是憑空的亂猜，而是仔細觀察這些三角形。也可以從部分猜起，然后擴展到所有的三角形。現在請同學們先觀察，然后提出猜想。

……

師（當學生陸續提出猜想后）：你有什么猜想？為什么提出這樣猜想？

生1：我想三角形三個內角和可能是180度。像三角板這樣的三角形，兩個較小角的和與直角相等，直角是90度。所以我猜想三角形三個內角的和是180度。

師：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內角和都等于180度。三角形的狀態在變，三個角的大小也在變，不變是什么？

生：三角形三個內角和等于180度不變。

……

對于這部分知識，我看過新課標下不同版本的教材，大多是在學習三角形三條邊的關后，直接提出“三角形3個內角的和是多少度呢？”這個問題。

教材這樣提出問題，很是突兀。老牛不喝水，不能強按頭。學生面對別人強給的問題，自然不樂意研究。此時進行教學，學生的興趣不高，創造力自然不強。這樣教師為完成課時任務，容易形成填鴨式教學。

新課標指出，教材只是教師進行教學的藍本，而不是圣旨。這就意味著，教師可以對教材進行適當的改造。本案例通過對教材課前引入的改造，就是想讓學生經歷提出猜想→否定猜想→再度猜想→再度驗證的過程；同時讓學生體會猜想不是無緣無故的亂想，可以根據部分特征提出猜想，然后再擴大驗證（由特殊到一般的過程）。這樣的教學設計，是學生自已研究自己的問題，自然興趣高昂，有利于學習效率的提高?？梢哉f，這樣的引入，起到了一箭多雕的作用。

【作者單位：棗莊市薛城區北臨城小學 山東省】