圓錐曲線中的定點問題

李芳芳

圓錐曲線中的定點問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點。解決這個難點沒有常規的方法，但解決這個難點的基本思路是明確的，定點問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變量所影響的某個點，就是要求的定點。化解這類問題難點的關鍵就是引進變化的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量。

題型一、直線過定點問題

例型1 點A為雙曲線C：x2-■=1的右頂點，直線MN不過點A交C于M，N兩點，若AM⊥AN；求證：直線MN過定點，并求出該定點的坐標。

解：當直線MN不垂直于x軸時，設直線MN的方程為y=kx+m

設M（x1，y1），N（x2，y2）

則由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■，x1x2=■

由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m（舍去）

此時直線MN：過定點P（-3，0）

當直線MN垂直于x軸時易知直線MN也過定點P（-3，0）所以直線MN過定點P（-3，0）；

評注：經典題型，讓學生了解斜率之積、斜率之和為定值時求定點的解法。可以推廣一般結論：不過圓錐曲線的頂點A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點，若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值，則直線MN過定點。

變式1：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率e=■，左、右焦點分別為F1，F2，點P（2，■），點F2在線段PF1的中垂線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，試問直線l是否過定點？若過，求該定點的坐標.

題型二、曲線過定點

例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1（a>b>0）相交于A、B兩點，且OA⊥OB.（其中O為坐標原點）求證：不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內的一個定點P，并求點P的坐標。

解：由■-■=1y=-x+1

得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.

由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=■，x1x2=■.

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，則不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內的定點（■，■）.

評注：本類題由已知條件OA⊥OB經過轉化找到滿足曲線方程橢圓中a，b的關系式a2+b2-2a2b2=0.，因為橢圓恒過一定點，所以將關系式轉化為橢圓方程的一般形式，可從一般形式中得到這一定點。

變式3：橢圓C：x2+■=1過點S（-■，0）的動直線l交橢圓C于A，B兩點，試問：在直角坐標平面內是否存在一個定點T，使得無論直線l如何轉動，以為AB直徑的圓恒過點T？若存在，求出點的T坐標；若不存在，則說明理由。

題型三、定點與定值綜合

例3.已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為■-1，離心率e=■.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點（1，0）作直線l交E于P，Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使■·■為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（1）橢圓E的方程為■+y2=1.

（2）假設存在符合條件的點M（m，0），設P（x1，y1），Q（x2，y2）， 則■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2），

■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2.

①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，則x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■.

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），

由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0

則x1+x2=■，x1x2=■，

y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因為對于任意的k值，■·■為定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此時■·■=-■。

綜上，符合條件的點M存在，且坐標為[■，0].

評注：定點定值問題的關鍵是引進參數建立其求解目標的代數表達式，只要這個代數表達式與引進的參數無關即可。本題的難點是由■·■的表達式，如何確定m值使得與直線斜率無關，化解的方法就是對k進行集項，只有當k的系數等于零時，式子的值才能與k無關，進而求出定點。當然也可以先通過特殊位置確定數量積的值和點M的坐標，再進行具體證明。

（作者單位：浙江省龍泉第一中學）

圓錐曲線中的定點問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點。解決這個難點沒有常規的方法，但解決這個難點的基本思路是明確的，定點問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變量所影響的某個點，就是要求的定點。化解這類問題難點的關鍵就是引進變化的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量。

題型一、直線過定點問題

例型1 點A為雙曲線C：x2-■=1的右頂點，直線MN不過點A交C于M，N兩點，若AM⊥AN；求證：直線MN過定點，并求出該定點的坐標。

解：當直線MN不垂直于x軸時，設直線MN的方程為y=kx+m

設M（x1，y1），N（x2，y2）

則由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■，x1x2=■

由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m（舍去）

此時直線MN：過定點P（-3，0）

當直線MN垂直于x軸時易知直線MN也過定點P（-3，0）所以直線MN過定點P（-3，0）；

評注：經典題型，讓學生了解斜率之積、斜率之和為定值時求定點的解法。可以推廣一般結論：不過圓錐曲線的頂點A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點，若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值，則直線MN過定點。

變式1：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率e=■，左、右焦點分別為F1，F2，點P（2，■），點F2在線段PF1的中垂線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，試問直線l是否過定點？若過，求該定點的坐標.

題型二、曲線過定點

例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1（a>b>0）相交于A、B兩點，且OA⊥OB.（其中O為坐標原點）求證：不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內的一個定點P，并求點P的坐標。

解：由■-■=1y=-x+1

得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.

由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=■，x1x2=■.

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，則不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內的定點（■，■）.

評注：本類題由已知條件OA⊥OB經過轉化找到滿足曲線方程橢圓中a，b的關系式a2+b2-2a2b2=0.，因為橢圓恒過一定點，所以將關系式轉化為橢圓方程的一般形式，可從一般形式中得到這一定點。

變式3：橢圓C：x2+■=1過點S（-■，0）的動直線l交橢圓C于A，B兩點，試問：在直角坐標平面內是否存在一個定點T，使得無論直線l如何轉動，以為AB直徑的圓恒過點T？若存在，求出點的T坐標；若不存在，則說明理由。

題型三、定點與定值綜合

例3.已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為■-1，離心率e=■.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點（1，0）作直線l交E于P，Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使■·■為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（1）橢圓E的方程為■+y2=1.

（2）假設存在符合條件的點M（m，0），設P（x1，y1），Q（x2，y2）， 則■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2），

■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2.

①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，則x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■.

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），

由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0

則x1+x2=■，x1x2=■，

y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因為對于任意的k值，■·■為定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此時■·■=-■。

綜上，符合條件的點M存在，且坐標為[■，0].

評注：定點定值問題的關鍵是引進參數建立其求解目標的代數表達式，只要這個代數表達式與引進的參數無關即可。本題的難點是由■·■的表達式，如何確定m值使得與直線斜率無關，化解的方法就是對k進行集項，只有當k的系數等于零時，式子的值才能與k無關，進而求出定點。當然也可以先通過特殊位置確定數量積的值和點M的坐標，再進行具體證明。

（作者單位：浙江省龍泉第一中學）

圓錐曲線中的定點問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點。解決這個難點沒有常規的方法，但解決這個難點的基本思路是明確的，定點問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變量所影響的某個點，就是要求的定點。化解這類問題難點的關鍵就是引進變化的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量。

題型一、直線過定點問題

例型1 點A為雙曲線C：x2-■=1的右頂點，直線MN不過點A交C于M，N兩點，若AM⊥AN；求證：直線MN過定點，并求出該定點的坐標。

解：當直線MN不垂直于x軸時，設直線MN的方程為y=kx+m

設M（x1，y1），N（x2，y2）

則由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■，x1x2=■

由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m（舍去）

此時直線MN：過定點P（-3，0）

當直線MN垂直于x軸時易知直線MN也過定點P（-3，0）所以直線MN過定點P（-3，0）；

評注：經典題型，讓學生了解斜率之積、斜率之和為定值時求定點的解法。可以推廣一般結論：不過圓錐曲線的頂點A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點，若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值，則直線MN過定點。

變式1：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率e=■，左、右焦點分別為F1，F2，點P（2，■），點F2在線段PF1的中垂線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，試問直線l是否過定點？若過，求該定點的坐標.

題型二、曲線過定點

例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1（a>b>0）相交于A、B兩點，且OA⊥OB.（其中O為坐標原點）求證：不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內的一個定點P，并求點P的坐標。

解：由■-■=1y=-x+1

得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.

由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=■，x1x2=■.

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，則不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內的定點（■，■）.

評注：本類題由已知條件OA⊥OB經過轉化找到滿足曲線方程橢圓中a，b的關系式a2+b2-2a2b2=0.，因為橢圓恒過一定點，所以將關系式轉化為橢圓方程的一般形式，可從一般形式中得到這一定點。

變式3：橢圓C：x2+■=1過點S（-■，0）的動直線l交橢圓C于A，B兩點，試問：在直角坐標平面內是否存在一個定點T，使得無論直線l如何轉動，以為AB直徑的圓恒過點T？若存在，求出點的T坐標；若不存在，則說明理由。

題型三、定點與定值綜合

例3.已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為■-1，離心率e=■.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點（1，0）作直線l交E于P，Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使■·■為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（1）橢圓E的方程為■+y2=1.

（2）假設存在符合條件的點M（m，0），設P（x1，y1），Q（x2，y2）， 則■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2），

■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2.

①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，則x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■.

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），

由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0

則x1+x2=■，x1x2=■，

y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因為對于任意的k值，■·■為定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此時■·■=-■。

綜上，符合條件的點M存在，且坐標為[■，0].

評注：定點定值問題的關鍵是引進參數建立其求解目標的代數表達式，只要這個代數表達式與引進的參數無關即可。本題的難點是由■·■的表達式，如何確定m值使得與直線斜率無關，化解的方法就是對k進行集項，只有當k的系數等于零時，式子的值才能與k無關，進而求出定點。當然也可以先通過特殊位置確定數量積的值和點M的坐標，再進行具體證明。

（作者單位：浙江省龍泉第一中學）