淺談如何培養學生的合情推理能力

王維

推理能力在數學中是屬于數學思考（思維）能力中的一種，因此《課程標準（2011年版）》在數學思考的目標表述中作了明確的要求，指出：要“發展合情推理能力和演繹推理能力”。合情推理是數學家喬治·波利亞對歸納推理、類比推理等或必然性推理（即推理的結論不一定成立的推理）的特稱。合情推理是根據已有的知識和經驗，在某種情境和過程中推出可能性結論的推理。通俗講合情推理就是一種合乎情理的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯想、自覺、頓悟、靈感等思維形式。合情推理所得的結果具有偶然性，但也不是完全憑空想象，它是根據一定的知識和方法做出的探索性的判斷。本人結合數學教學談談如何培養學生的合情推理能力。

一、在數學概念的學習中培養合情推理能力

數學概念形成的過程，是數學家漫長的創造過程，其思考問題的方法和其中包含的數學思想，往往具有很高的數學價值。雖然我們不可能把這個形成過程照搬給學生，但是若能發揮其要領，濃縮精華地將數學家的發現過程暴露給學生，提供給學生數學“再創造”的環境和機會，則無疑是教會學生“數學地思考”的重要途徑。在數學概念的實際學習中，需要理解數學概念的名稱、定義、例子和屬性， 采取歸納、類比、聯想、直覺想象等合情推理的方法，讓學生經歷從典型、豐富 的具體事例中概括概念的本質的活動，而不是給出概念定義、舉例說明、練習鞏固。這樣既符合學生學習概念時由具體到抽象的認識規律，掌握形式的數學概念背后的事實，而且更容易讓學生發現概念的本質屬性，理解概念的內涵，把概念納入到已有的認知結構中。比如在進行“有理數的乘方”的教學時，借助下面例子：由一張厚度為0.1毫米的紙，將它對折1次后，厚度為2×0.1毫米。那么（1）對折2此后，厚度為多少毫米？（2）對折3此后，厚度為多少毫米？（3）對折4此后，厚度為多少毫米？（4）對折20此后，厚度為多少毫米？（5）如果每層樓為3米高，這張紙對折20次后有多少層樓高？讓學生經歷“折紙—猜想—計算”的過程，再引入乘方的概念。學生驚訝之余，既提高了學習興趣又鍛煉了推理能力。再如，初中教材是用溫度計經過形象類比和推理引入數學數軸知識的。

二、在數學公式、法則、定理教學中培養合情推理能力

數學公式、法則、定理的發現過程是數學家數學智慧的體現，也是進行合情推理的典范。所以，教師在教學中如果能為學生創造“發現”定理、公式結論的機會，并且在“發現”的過程和方法上加以引導，那么學生既能學到鮮活的數 學知識，又能漸漸體驗和掌握合情推理的方法。在課堂教學中要善于捕捉有利的時機，力求讓學生思維與數學家發現問題的思維過程或教材作者的思維過程同步，讓學生參與到知識的發生、發現過程中去，體驗到發明創造的思維情景、方法及樂趣，才有利于學生的創新活動。貫徹“兩個過程”原則，“兩個過程”就是數學定理（公式、法則）的發生發展過程和學生的數學學習過程。貫徹“兩個過程”原則，必須做好兩個還原：第一個是還原數學定理（公式、法則）的原始發現過程，第二個是學生思維過程的還原。具體的做法是：①創設問題情景，引發并處理學生的先前經驗和直覺；②開展觀察、實驗、類比、猜想、歸納、特殊化、一般化等活動，形成假設；③利用已有知識進行推理論證活動，檢驗假設，獲得新知，并納入到有的認知結構中。比如在三角形內角和180o的教學中，通過學生剪裁拼合三個內角，再度量的方式發現得出三角形內角和180o；軸對稱圖形、線、底邊上的中線、高線重合（三線合一）等，教材中沒有加以證明，就用折紙的方法使學生確定它們的存在；在圓的教學中，結合圓的軸對稱性，發現垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉對稱性，發現圓中弧、弦、圓心角之間的關系；通過觀察、度量，發現圓心角與圓周角之間的數量關系；利用直觀操作，發現點與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關系等等。在學生通過觀察、操作、變換探究出圖形的性質后，還要求學生對發現的性質進行證明，使直觀操作和邏輯推理有機地整合在一起，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，這個過程中就發展了學生的合情推理能力。

三、在數學解題過程中培養合情推理能力

可以說每一個數學解題思路的產生都是一個推理的完整過程，從條件要達到結論的彼岸，如何選擇入口？如何實現過渡？怎樣一步步逼近結論？這是一個集觀察、類比、聯想、直覺等合情推理手段和論證推理的過程。因此，每一個解題過程就是一個“數學發現”，也為教師展示“數學智慧”提供了取之不盡的素材。在解題活動中，培養學生“不妨猜一猜”的良好習慣。在解題活動中，要引導學生在沒有答案（或結論）時，可先猜測一下答案（或結論）；猜測答數的形式，答數的范圍；猜測中間結論；猜測解題方向，以形成思路；對某思路的能解性作出估計；培養學生“不妨猜一猜”的良好習慣。例1：在學完乘法公式后教師可為學生創設這樣一個思維情境：

請觀察下列等式：

（a-1）（a+1）=a2-1

（a-1）（a2+a+1）=a3-1

（a-1）（a3+a2+a+1）=a4-1

根據前面的等式你能得到什么規律？請用一個等式表示你的發現，并說明理由。學生對這樣的問題樂于思考和探究，并通過類比容易得到：

（a-1）（an+an-1+an-2+……+a+1）=an-1-1

該結論學生運用多項式的乘法法則可直接推得，這里證明從略。對教師來講，前面的過程只是一種精心設計，而對學生來說卻經歷了一個從感性認識到解決問題的完整歷程，其活動的程序大致可表示如下：觀察——研究——歸納——得到猜想——驗證。猜想是通向創造的門扉，猜想給創造以巨大的推動力。在創造的過程中，猜想常常是一個接一個的，一個猜想被證實了，又轉入另一個猜想；一個猜想被否定了，又調換一個新猜想。猜想和證明有時遙遙無期，如哥德巴赫猜想；有時近在咫尺。在猜想中，已經包含了學生跳躍性的思維，我們要善于捕捉學生稍縱即逝的思維火花，使它發揚光大。

總之，在中學教學中進行合情推理方法研究，是提高課堂效率、優化教學條件、提升教學水平的一種途徑，對于學生，它不但能使學生學到知識，會解決問題，而且能使學生掌握在新問題出現時該如何應對的思想方法。對于老師，研究合情推理教學能提高自己的業務水平，增加課堂教學的趣味性，使教學更加有條理。

【參考文獻】

[1]G·波利亞.數學與猜想[M].北京：科學出版社，2001.

[2]G·波利亞.怎樣解題——數學教學法的新面貌[M].上海：上海科技教育出版社，2002.

[3]教育部.數學課程標準（全日制義務教育實驗稿）[M] .北京：北京師范大出版社，2001.

（作者單位：浙江省寧波市明樓中學）