對數學思想方法的歸納與概括

高飛

數學思想、方法作為數學學科的“一般原理”，在數學學習中是至關重要的。記得一位教育家這樣說：“學生所學到的數學知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那些銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法卻長期地在他們的生活和工作中發揮著作用，使他們受益終生。”作為一線數學教師，我們應在教學中有意識地加強數學思想方法的滲透與運用，提高學生的數學素養。下面就數學思想方法做小結。

一、函數方程思想

函數方程思想就是用函數、方程的觀點和方法處理變化或未知數之間的關系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數學思想。

函數思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數關系表達出來，并研究這些量間的相互制約關系，最后解決問題，這就是函數思想。應用函數思想解題，確立變量之間的函數關系是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據題意建立變量之間的函數關系式，把問題轉化為相應的函數問題；（2）根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題。

方程思想：從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）使問題獲解。

函數與方程是兩個有密切聯系的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數的知識和方法解決，很多函數問題也需要用方程的方法支援，函數與方程之間的辯證關系，形成了函數方程思想。

二、數形結合思想

數形結合是中學數學中重要思想方法之一，對于所研究的代數問題，有時可研究其對應幾何的性質使問題得以解決（以形助數）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應圖形的數量關系使問題得以解決（以數助形），這種解決問題的方法稱之為數形結合。

數學研究的對象是數量關系和空間形式，即數與形兩個方面。在一維空間，實數與數軸上的點建立一一對應關系；在二維空間，實數與坐標平面上的點建立一一對應關系。

我們要抓住以下幾點數形結合的解題要領：

（1）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可。

（2）對于研究函數、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數的圖像求解（函數的零點，頂點是關鍵點），做好知識的遷移與綜合運用。

（3）對于以下類型的問題需要注意：可分別通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓上的點及余弦定理進行轉化，達到解題目的。

華羅庚先生指出：“數缺性時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事非。”數形結合作為一種數學思想方法的應用大致分為兩種情形：或借助于數的精確性闡明形的某些屬性，或借助于形的幾何直觀性闡明數之間的某種關系。

三、分類討論思想

分類討論是一種重要的數學思想方法，當問題的對象不能進行統一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結果，最終綜合各類結果得到整個問題的解答。

有關分類討論的數學問題需要運用分類討論思想解決，引起分類討論的原因大致可歸納如下幾種：

（1）涉及的數學概念是分類討論的；

（2）運用的數學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；

（3）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性的；

（4）數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導致不同的結果的；

（5）較復雜或非常規的數學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。

分類討論是一種邏輯方法，在中學數學中有極廣泛的應用。分類討論題覆蓋知識點較多，利于考查學生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較強的邏輯性和綜合性。根據不同標準可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標準出發，做到不重復，不遺漏，包含各種情況，同時要有利于問題研究。

四、化歸與轉化思想

將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉化的思想。化歸與轉化思想的實質是提示聯系，實現轉化。除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知問題實現的。從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，如：未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，高次向低次轉化，超越式向代數式轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現。

五、或然與必然的思想

概率所研究的隨機現象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”規律解決“偶然”的問題，這其中所體現的數學思想就是或然與必然的思想。

隨著新教材的實施，高考中對概率內容的考查已經被放在了重要位置，通過對等可能性事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、獨立重復試驗、隨機事件的分布列、數學期望等重點內容的考查，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解決實際問題中能否運用或然與必然的辯證關系，從而體現或然與必然的思想。

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