含二極管非線性介觀電路的量子化求解

馬金英，閻占元，丁振君

(1. 華北電力大學 數理學院，河北 保定 071003； 2. 河北大學 質量技術監督學院, 河北 保定 071002)

隨著微電子技術的發展，集成電路中器件數目一直按照摩爾定律增加.目前，集成芯片中電路和器件的尺度已經趨近于原子的大小，與電子的相干干涉長度接近，通常人們將其稱之為介觀電路.介觀尺度的電路及器件的量子效應凸顯，逐漸成為集成技術的瓶頸，在實驗和生產實踐中，急需建立關于介觀電路的量子理論.1973年，Louisell首先討論了最基本的LC電路在真空態下的量子效應，并給出了電路中電荷和電流的量子漲落[1].然而，之后的近20年時間里，人們對于介觀電路量子理論的研究幾乎無多少進展.從20世紀90年代開始，一批物理學工作者圍繞RLC及其耦合電路做了大量研究工作，在介觀電路的量化方法、電路的量子力學效應等多方面取得了有意義的研究成果[2-5]，在國內外掀起了研究介觀電路量子理論的熱潮.

二極管是電路中的基本器件，含二極管的電路是典型的非線性電路，在實際的介觀系統中經常出現.本文利用微擾理論來求解含二極管介觀電容電感耦合電路系統的能級和波函數，進而討論了系統的量子效應.研究含二極管的非線性電路的量子化，對介觀電路量子理論的建立和應用有重要意義.

1 含二極管介觀電路實例

含二極管介觀電容電感耦合電路是從實際介觀系統中抽取出的模型[6-7]，如圖1 所示.

圖1 含二極管的非線性介觀電路Fig.1 Diodes included nonlinear mesoscopic inductive-capacitance circuit

運用基爾霍夫定律，可以得到電路中電荷滿足的方程

(1)

其中q代表2電容電荷總量，UC是2電容的電壓降之和，UC的取值將隨著q的變化而變化.當q值較小，二極管兩端電壓小于其導通電壓時，此電路中的Ce等效為2個電容串聯

(2)

當電容兩端電荷q增加到臨界值qb及以上時，使二極管導通，C1被短接，這時電路中的等效電容為C2，其函數關系表達式如下：

(3)

將以上分段函數擬合成連續函數，可近似為

(4)

其中μ和ν為擬合系數[7].

由此可得此介觀電路的拉氏量

(5)

圖1所示的電路，實際上是2個LC諧振電路的銜接，為了與簡諧振子的哈密頓量對比，作如下系數變換：

(6)

則體系的哈密頓量可以寫為

.

(7)

理論上，已知了體系的哈密頓，可以通過求解薛定諤方程的方法對介觀電路進行量子化求解.但是，由于勢能項中含有電荷的四次方項，使得微分方程不能嚴格解析求解.文獻[7]和[8]分別利用二次量子化方法和路徑積分的方法研究了該系統，由于計算的復雜，也只得到了體系的基態能量.事實上，根據實際電路中ν的取值，λ可以為小參量[6]，因此本文所討論的含二極管介觀電容電感耦合系統可以用微擾理論求解.

2 含二極管介觀電容電感電路量子化求解

體系的哈密頓分為2部分之和

(8)

H0的表達式與線性諧振子的表達式完全相同，其本征方程為

(9)

(10)

按照微擾理論，二級修正的能級和一級修正的波函數為

(11)

(12)

這就是含二極管介觀電容電感電路二級修正的能級和一級修正的波函數.

上式中，令n=0，可以得到體系二級修正的基態能級和一級修正的基態波函數

(13)

所得到的基態能級的表達式與文獻[7]和[8]中的結果一致.

3 電荷的量子漲落

能級和波函數是描述量子體系重要的物理量，利用上面所得到的結果，可以進一步研究含二極管介觀電容電感電路的量子力學效應.下面用前面的結果來計算體系電荷的量子漲落.

在體系的第n個本征態中，電荷和電荷的平方的平均值為

〈n|q|n〉=0；

(14)

從計算結果發現：電荷的平均值不為零，可以計算出電荷的不確定性，根據不確定性原理，就可以得到電流的不確定性大小，電流的不確定性稱為量子漲落，它對應電路中的量子噪聲，量子噪聲的大小由參量L，μ和ν共同決定.

4 結論

利用微擾法，對含二極管介觀電容電感耦合電路進行了量子化求解，得到了體系二級修正的能級和一級修正的波函數.利用得到的波函數，計算了體系中電荷的量子漲落.與相關的研究工作相比較，本文的計算方法簡單，而得到了一個比較精確的解，可以用來研究含二極管介觀電容電感電路的其他量子力學效應，同時也是介觀電路量子理論應用的推廣.

參 考 文 獻:

[1] LOUISELL W H. Quantum Statistical Properties of Radiation[M]. New York: John Wiley,1973:271-275．

[2] LI Youquan, CHEN Bin. Quantum theory for mesoscopic electric circuits[J]. Phys Rev,1996, B(53):4027-4032.

[3] JI Yinghua, LUO haimei, WU Yunyi. Behaviors of mesoscopic LC circuit in the external magnetic field[J]. Phys Lett , 2003, A(318):141-145.

[4] FAN Hongyi, LIANG Xianting. Quantum fluctuation in thermal vacuum state for mesoscopic LC electric circuit[J]. Chin Phys Lett，2000, 17(3):174-176.

[5] WANG Jisuo, SUN Changyong. Quantum effects of mesoscopic RLC circuit in squeezed vacuum state[J].Int J Theor Phys,1998,37:1213-1216.

[6] FLERACHERS E L M, JANSSEN H J, BEERDEN L. Piecewise linear anharmonic LRC circuit for demonstratingsoftandhardspring nonlinear resonant behavior[J]. Am J Phys , 1985, 53(6):574-577.

[7] ZHANG S, UM C I, YEON K H．Zero-point energy in a mesoscopic nonlinear inductance-capacitance circuit[J]. Chin Phys Lett，2002, 19(7):985-987．

[8] 侯伯元，云國宏，楊戰營.路徑積分與量子物理導引[M].北京：科學出版社，2008:61-69.