運籌與優化課程中的案例式教學及數學建模教學探討

帥維成

帥維成/四川民族學院講師，碩士（四川甘孜626001）。

數學作為一門重要科學，是人類文明進步的產物，在工程技術、軍事等眾多領域中起著決定性作用，成為解決實際問題的重要工具。由于現代科學技術的不斷發展與進步，數學出現許多新的分支，比如控制理論、模糊數學、突變論、分形幾何、統籌學等。運籌學綜合科學課的知識、結合數學方法解決實際中的問題，對大工程的運行控制以及對未來世界的預測都有很大貢獻。為了適應經濟與科技的不斷發展，運籌與優化課程中的教學方式也應適應社會的進步，在運籌學課程教學中加入案例式教學和數學建模教學正是基于這樣的出發點。

數學建模是指通過對實際背景問題的分析，了解研究對象的內在規律，運用數學語言、方法把它體現出來，并對它進行運算、講解，為決策者提供量化決策依據的過程。現如今，隨著科技的發展，數學建模被廣泛應用，在當代數學中有突出地位。數學建模實際是人們通過數學來改造自然、征服自然的過程，是把數學當作工具解決問題的教學方法。運籌學是在實際應用中通過分析引入決策變量，構建目標函數和條件，建立數學模型，并對不同的數學模型進行不同的算法。運籌學最早起源于20世紀30年代末，圍繞著軍事領域的實際問題開展的，二戰后逐漸在工業中得以發展，現如今，運籌學在生產管理、工程技術、軍事作戰等方面也被廣泛運用[1]。運籌學是研究解決實際問題的數學方法的一門應用科學。運籌與優化課程提高了學生對數學知識和計算機技術的分析與運用，增強了學生通過數學來解決問題的能力，具有抽象性、準確性、演繹性行、預測性等特點。

一、運籌與優化課程教學改革是教育教學改革發展的必然

隨著經濟的發展、教育的不斷進步，傳統的運籌學中的“五規劃”“五論”已不再適應當前的學校教育。教學方法、理念陳舊，以教師為中心、以課本為中心的教學模式已經不能滿足教育的需要。課堂上，教師注重知識的傳播，卻忽視了方法的傳授；填鴨式的教學理念占教學的統治地位，學生難以理解抽象的理論，不能學以致用；教材和課程的滯后導致教學過程過于理論化，偏重于數學方法和技巧，實用性偏低。

運籌學不同于純數學，純數學的教學方式不適合運籌學，運籌學是運籌學與最優化兩部分相結合。與數學分析、高等代數、概率論等基礎課不同，它用定量的方法來解決實際當中出現的問題，涉及多門學科，表格多、圖形多、模型多、算法多、案例多、理論推導少、知識量比較大、難度大且不易理解。學習這門學科要學習比較抽象的理論基礎、算法原理以及算法框架，這讓學生缺乏主動性與積極性，特別是非本專業的學生對運籌與優化課程提不起興趣，無法將其與實踐相結合。

運籌學中每一個分支都有特殊的數學模式結構以及解法，比較靈活多變，要想充分理解就比較難，傳統的教學方式是以教師的“教”為主，課堂上教師對算法的介紹和理論的指導不能使學生對它們進行充分的理解。大部分學生采用死記硬背的方法。然而，這種不理解就導致在上機實踐中就不能有效的運用，學生面對問題時就比較盲目[2]。如果這樣下去，很多學生就會產生厭學心理，積極性無法得到提高，學術不精，不僅影響教學質量，而且學生畢業后無法適應工作要求，難以找到滿意的工作。這就要求在運籌與優化的課程中融入教學及建模教育，將數學建模思想融入運籌與優化課程中作為教學改革的突破口，進行案例式教學，通過“掌握概念、介紹原理、淡化原理、注重方法、突出實用”的指導思想，結合計算機和數學工具軟件的應用，通過運籌學的知識和方法來解決實際問題，以學生為主體來提高學生對學習的興趣，調動他們的學習積極性。

二、運籌與優化課程中案例式教學及數學建模教育的應用

案例式教學是比較適合運籌與優化課程算法多、模型多的教學方法，案例式教學具有趣味性以及實用性，可以把實際發生的問題延伸到課堂上，加強了師生間、生生之間的交流，通過探討發現自己的錯誤，并進行反思、改正，提高了教學質量，學生的自主學習意識得到提高。案例式教學具有目的性、代表性、實用性、時效性、趣味性等特點。目的明確，理解起來比較容易，學生容易對案例提起興趣。它是理論與實踐之間的橋梁。在課堂上，教師可以在對一些重點知識進行講解、指導之后讓學生小組討論，以此來體現學生的主體地位，增強創新意識。以學生為中心，教師做出相應的點評，也可以將整理、分析過的案例發給大家，分成若干小組，讓學生進行討論、評價，展示建立的數學模型和求解方法、分析結果，最后，教師來進行統一的講解、分析、評價。還可以給不同的組不同的案例，讓他們自己找相關案例，利用計算機將所學知識運用于案例中得出求解的方法。這些方法讓學生可以容易地理解并利用所學知識，增強了學生的理解能力，提高了課堂效率和學生綜合利用所學知識解決問題的能力，同時培養了學生的思維的廣闊性、嚴密性、創新性，培養了學生對學習的興趣和求知欲，完成了知識的擴展和延伸。

數學建模是一種運用數學思想、數學方法、數學知識來解決實際問題的過程，由于數學實際應用領域的專業性和復雜性使得學生在上學期間無法真正得到實踐的機會，導致學生在學習時感到學無所用。運籌學課程以往的教學內容偏于理論學習，實踐操作比較少，容易使學生覺得理論瑣碎、計算復雜，學習壓力大，產生厭學心理。運籌與優化課程是通過建立模型來解決實際問題的學科[3]，自20世紀70年代以來，隨著社會與科技的發展，數學建模成為大學課堂的一門數學應用的方法課程。數學建模需要數學實驗和數學軟件課程為支撐，與之相適應的理論為指導。運籌與優化課程是基于提出理論的基礎上，通過建模來解決問題的學科，而建立模型就是數學建模需要處理的問題，所以說，運籌優化課程與數學建模有著密切的聯系。據統計，1992-2009年本科組的36道題目中，涉及優化方法的題目是最多的，約有21道題目，占到總數的70%，也就是說每年至少有一道此類的題目。因此，數學建模思想融入運籌與優化課堂教學中是十分必要的，后者可以看作是前者的深入學習，為實踐性教學提供了素材，讓學生可以學以致用，激發他們的學習熱情。

要將數學建模思想更好地滲透到教學中，除了在教學目標、教學觀念、教學方式等方面進行改革外，更要以案例式教學為著手點，是學生們養成善于建模、堅持建模的意識和習慣。教師們選擇案例時，應以課堂內容和實際應用相結合為基礎，將運籌與優化的思想方法與數學建模的思想方法融合在一起，以形象的建模思想來闡述抽象的理論，這樣可以使學生們在學習理論的同時也學會如何實際運用。

三、在運籌與優化課程中實施案例式教學及數學建模教育應注意的問題

在運籌與優化課程中實施案例式教學要把握好實訓內容的選取，合適的案例是數學建模教育能否成功的主要因素。要遵從適用性、創新性以及趣味性的原則選取教學案例，再根據上課時的實際情況講解具體案例，通過課堂實踐來加深對理論知識的了解和應用，學生可以通過對案例的討論、求解來增強學習興趣。教師在授課中應以學生為主體，多提一些與實際相關聯、易于理解的案例，讓學生進行分組討論。也可以讓學生可以提出相關的其他案例，以此加強自主學習意識。

經濟和科技不斷發展與進步的同時，教育為了適應社會的需要也在不斷進行創新與改革，數學作為一門重要學科被廣泛運用，統籌與優化課程的教育模式改革是時代發展的必然。在教學過程中，將數學建模思想融入運籌與優化教學的同時，進行案例式教學能起到很好的教學效果?？梢宰寣W生認識數學與其他科學發展的聯系，把各個學科的知識聯系在一起，并綜合運用。培養學生良好的數學思維，真正體現學以致用。大學統籌與優化課程的教學改革促進了數學科學的可持續發展，是為國家、為社會培養數學人才的有效方法，也是高等教育適應社會發展的體現。

[1] 運籌學編寫組.運籌學（第二版）[M].北京：清華大學出版社，1990.

[2] 韓中庚.數學建模方法及應用[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3] 韓中庚.淺談數學建模與人才的培養[J].工程數學學報，2003，20（8）.