衛星姿態確定系統的故障可診斷性分析方法*

李文博 王大軼 劉成瑞

1. 北京控制工程研究所, 北京 100190 2. 空間智能控制技術重點實驗室, 北京 100190

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衛星姿態確定系統的故障可診斷性分析方法*

李文博1,2王大軼1,2劉成瑞1,2

1. 北京控制工程研究所, 北京 100190 2. 空間智能控制技術重點實驗室, 北京 100190

提出一種適用于線性系統的故障可診斷性分析方法，并將其應用于衛星姿態確定系統，從而實現在地面設計階段提高系統故障診斷能力的目標。為有效解決K-L散度應用于衛星姿態確定系統故障可診斷性分析中存在的問題，基于方向相似度原理設計新的可檢測性和可隔離性量化分析方法。通過數學仿真，驗證了該方法的正確性和有效性。

衛星姿態確定系統；可檢測性分析；可隔離性分析

由于結構和工作模式復雜，以及惡劣空間環境因素的干擾和影響，衛星在軌發生故障的概率越來越高[1]。為降低故障風險、提高系統可靠性和使用壽命，近二十年來，在理論和工程方面對于衛星系統故障診斷與容錯控制的研究取得大量有價值的研究成果[2-10]。到目前為止，主要成果集中于診斷算法的設計，而對于故障可診斷性方面的研究較少；同時，現有文獻在設計診斷算法時，通常默認故障是可診斷的。

文獻[11]闡述了故障可診斷性與診斷算法之間的關系：可診斷性是診斷算法的前提和基礎；只有保證系統的故障可診斷性得到滿足，設計診斷算法才具有實際意義；同時，較好的可診斷性是快速、準確進行故障檢測和隔離的關鍵。因此，在設計階段進行衛星系統可診斷性的研究，對于工程人員而言顯得尤為重要。對于可診斷性的研究主要包括可診斷性分析與設計兩方面[11]。其中，可診斷性分析是進行可診斷性設計的關鍵和依據。然而，由于現階段缺乏具體的分析指標，并沒有將可診斷性納入到衛星系統的設計體系中。往往是在系統設計完成之后，根據工程經驗，通過硬件冗余的方式提高可診斷性，這種作法大大增加衛星的復雜性和成本[5]。基于此，本文提出一種適用于線性系統的故障可診斷性分析方法，并將其應用于衛星姿態確定系統。

文獻[2]將衛星動量輪故障和外部干擾當作線性系統狀態觀測的未知輸入項，設計了一種新的姿態跟蹤控制策略，能夠在動量輪發生故障時有效提升姿態跟蹤精度；文獻[3]在對故障進行估計的前提下，考慮控制輸入的約束，以近空間飛行器的執行機構故障為研究對象，提出一種基于模型預測控制思想的容錯控制策略；文獻[6]采用自適應觀測器，提出一種適用于中立時滯系統的故障估計方法，能夠快速、準確分析故障的可估計性能；文獻[10]通過設計雙觀測器對紅外地球敏感器和陀螺組成的姿態確定系統的故障，然后進行檢測和隔離。但是，上述研究均是通過設計相應觀測器實現故障估計，從而達到可診斷性分析的目的。事實上，不設計復雜的觀測器/診斷算法，直接通過系統本身特性，快速給出可診斷性分析結果具有更加重要的實際工程意義。

對于一般控制系統，現有關于可診斷性分析的文獻主要分為固有和實際可診斷性分析2種。其中，固有可診斷性分析是指：在不依賴于診斷算法的前提下，通過系統模型、輸入/輸出信息，對能否被檢測和隔離或被檢測和隔離的難易程度進行分析；但在分析過程中不考慮模型不確定性(主要包括：未建模動態、過程噪聲和觀測噪聲等)的影響。具有代表性的成果包括：根據故障到輸出傳遞函數的存在性以及不同故障對輸出傳遞函數的不同響應，分析可檢測性和可隔離性[12-13]；通過輸入和輸出構造殘差的方式，給出可檢測性和強可檢測性的存在條件[14]；基于狀態的可觀性分析故障可診斷性[15]；利用關聯矩陣進行故障可檢測性和可隔離性的分析[16]。實際可診斷性分析，就是在固有可診斷性分析的基礎上，考慮模型不確定性的影響。由于問題的復雜性，該領域的研究成果相對較少，文獻[17]利用K-L散度對隨機線性系統進行可診斷性的量化分析。然而，將K-L散度應用于衛星姿態確定系統時存在以下問題：1) 對于一類本身可被檢測的故障模式，無法分析其可檢測性；2) 當系統測量輸出的個數等于1時，無法實現可隔離性分析。

鑒于K-L散度在具體應用中存在的上述問題，本文在不依賴于任何診斷算法的前提下，提出一種適用于線性系統的故障可診斷性量化分析方法，并將其應用于衛星姿態確定系統。為彌補該不足，利用方向相似度原理，基于矩陣的誘導范數和余弦相似度設計新的可診斷性量化指標。通過數學仿真，驗證本文所提方法的正確性和有效性。

1 衛星姿態確定系統

衛星姿態確定系統是衛星進行姿態控制的重要組成部分，其主要任務是通過敏感器測量信息，精確估計衛星的姿態角與角速度，并為姿態控制系統提供反饋信息。衛星姿態確定系統主要由敏感器和姿態確定算法組成，其精度水平對衛星姿態的控制精度和穩定度起到決定性作用。通常采用的敏感器包括：星敏感器、紅外地球敏感器、太陽敏感器和陀螺儀等。

(1)

式中：ω0為衛星的軌道角速度。

紅外地球敏感器可描述成：

(2)

式中：nhi(t),i=φ,θ為高斯白噪聲；fhi(t),i=φ,θ為紅外地球敏感器的故障向量。

三軸正交安裝陀螺的數學表達式為：

(3)

式中：gx，gy和gz表示陀螺的測量輸出；bx，by和bz表示陀螺的常值漂移項；dx，dy和dz表示陀螺的指數相關漂移項；nx，ny和nz表示零均值的高斯白噪聲；fgx，fgy和fgz表示陀螺的故障矢量。

陀螺的常值和指數相關漂移項可以寫成：

(4)

式中：αi為時間常數；nbi和ndi為虛擬白噪聲。

將式(1)至(4)進行合并，并按如下所示離散狀態空間模型對衛星姿態確定系統進行表述：

(5)

式中：

Δt表示采樣時間間隔，取值為Δt=0.01s；0和I分別為相應階數的零矩陣和單位矩陣。

2 故障可診斷性的量化分析方法

2.1 K-L 散度的分析原理

按照時間序列對式(5)所示衛星姿態確定系統進行迭代，得到[17]：

Lzs=Hxs+Ffs+Ees

(6)

式中：s=n+1表示時間窗口的長度；L，H，F和E分別表示相應維數的系數矩陣，具體形式詳見文獻[17]；zs，xs，fs和es分別表示觀測、狀態、故障和模型不確定性的時間堆棧向量，具體如下所示：

在式(2)的等號兩邊同時左乘矩陣NH，得到：

NHLzs=NHFfs+NHEes

(7)

式中：NHH=0；NHLzs表示觀測得到的系統動態行為；NHFfs表示故障矢量，fs為故障模式的時間序列矢量；NHEes表示模型不確定性，根據式(5)的具體形式可知：NHEes是均值為0，方差為Σ的正態分布，即NHEes～N(0,Σ)。

從式(7)中可以看出：式(5)所示衛星姿態確定系統的動態行為是故障矢量和模型不確定性的線性組合，并服從以下概率分布：當無故障發生(fs=0)時，NHLzs～N(0,Σ)；而當發生故障(fs≠0)時，NHLzs～N(NHFfs,Σ)。因此，可以將式(5)所示衛星姿態確定系統的可診斷性分析問題轉化為概率分布中的假設檢驗問題。

利用K-L散度對上述假設檢驗問題進行分析，其數學表達式為：

(8)

式中：pi和pj分別為分布zi和zj的概率密度函數。

考慮到2個概率分布之間的最小K-L散度滿足這2者的最大似然估計，采用最小K-L散度來定量分析故障fi的可檢測性以及故障fi與fj之間的可隔離性，具體計算公式分別如式(9)和(10)所示[18-19]：

(9)

式中：fsi表示fi對應的故障模式；Fi表示fi在F中對應的位置矩陣。當FD(fi)=0時，表示故障fi不可被檢測；FD(fi)數值越大，表示故障fi越容易被檢測，即fi的可檢測性越高。

(10)

2.2 K-L散度在衛星姿態確定系統中存在的問題

上一小節介紹了K-L散度進行可檢測性和可隔離性分析的基本原理。但是，該方法在應用于式(5)所示衛星姿態確定系統時存在以下問題：1) 對于一類本身可被檢測的故障模式，無法分析其可檢測性；2) 當系統測量輸出的個數等于1時，無法分析其可隔離性。

下面將對上述2個問題進行詳細闡述。從式(7)中可以看出，K-L散度對故障fi進行可檢測性分析的前提是：NHFifsi≠0；而當fsi≠0且NHFifsi=0時，K-L散度無法分析其可檢測性。

在此，首先給出K-L散度進行可檢測性分析的充要條件：針對式(5)所示衛星姿態確定系統，在矩陣NHFi的行最簡階梯形中，當每個非零行的非零元素個數等于1時，可以采用K-L散度對本身可被檢測的故障模式(fsi≠0)進行可檢測性分析。

證明.

不失一般性，設矩陣NHFi的維數為m×n，秩為r。對于非零故障模式fsi≠0，使得NHFifsi=0成立的充要條件為[20]：r

(11)

(充分性)令T為充分大的正數，且fr+1=Tn-r,…,fn=T，得到：

fsi=-Tn-rai,r+1-…-Tai,n,i=1,…,r

由于fsi非零，則至少有一個系數ai,j是非零的。不失一般性，設ai,r+k(1≤k≤n-r)，則：

換言之，在式(11)中，當每個非零行中只有1個非零元素時，即ai,r+1=…=ai,n=0, 1≤i≤r，必有：NHFifsi≠0。

(必要性)若ai,r+1=…=ai,n=0, 1≤i≤r，則fsi=0，這與fsi是非零的前提相矛盾。

因此，當NHFifsi=0時，在第i個非零行中至少有一個元素ai,j≠0。也就是說，當NHFifsi≠0時，在式(11)中，每個非零行的非零元素個數等于1。

證畢.

針對式(5)所示衛星姿態確定系統，K-L散度進行可隔離性分析的前提條件是：測量輸出的個數大于1。

證明.

設式(5)中狀態和輸出的維數分別為l和t，則矩陣H和[HFj]的維數分別為(l+t)s×l(s+1)和(l+t)s×[l(s+1)+s]。為保證NH和N(H Fj)存在，必須使得下式成立：

由于t為大于等于1的正整數，且s=l+1，則l

因此，當系統測量輸出的個數等于1時，K-L散度僅能給出可檢測性分析結果，而無法分析可隔離性。

當t≠1時，即t≥2，由l

l

考慮到s=l+1，則上式恒成立。

因此，只有當系統測量輸出的個數大于1時，才能使用K-L散度進行可隔離性分析。

證畢。

2.3 衛星姿態確定系統的可診斷性分析

為解決K-L散度在應用于衛星姿態確定系統中存在的上述問題，分別基于矩陣誘導范數和余弦相似度，提出新的故障可診斷性分析方法。

從式(9)中可以明顯看出：NHFifsi是由矩陣NHFi和故障模式fsi兩部分組成。其中，NHFi表示故障矢量在殘差空間中的指向；fsi表示故障矢量的幅值。本小節通過引入矩陣誘導范數，解除K-L散度對故障模式fsi的約束。

基于矩陣誘導范數的定義，得到：

(12)

由此，得到故障fi的可檢測性量化指標為：

(13)

文獻[21]指出，基于解析模型的故障隔離原理主要包括：結構化殘差集和固定方向性殘差兩種。

根據式(10)所示可隔離性指標，可知：該指標的數學本質與結構化殘差集是一致的，即使得故障矢量僅對fi敏感而對fj不敏感。

為消除對于測量輸出個數的限制，本小節基于固定方向性殘差的故障隔離原理[22]，采用余弦相似度對故障fi與fj之間的可隔離性進行分析，即在殘差空間內某一固定方向上僅響應指定故障，具體計算公式為：

(14)

其中：下角標k表示矩陣的第k列。

上式表明：在s個時間序列內，找出故障fi與fj之間空間指向夾角的最小值。在此需要說明的是，由于式(5)所示衛星姿態確定系統屬于控制理論中的動態系統，在每個時刻fi/fj的空間指向均不相同，因此需要找出其中的最小夾角值。

考慮到cosβij的取值范圍為[-1, 1]，為便于對比分析將其轉換為正的角度值；且當夾角值超過π/2時作如下處理，得到如下可隔離性分析指標：

(15)

式(15)表明：當其等于0時，故障fi與fj之間不可被隔離；當其越接近π/2時，故障fi與fj之間的可隔離性越高；反之，可隔離性越低。

3 仿真驗證

由于不受上述約束影響，本文所提可診斷性分析方法可以應用于衛星姿態確定系統，所得可檢測性和可隔離性的量化分析結果如表1所示。本文所得結果與文獻[24]所得結論相一致，從而驗證了該方法的正確性和有效性。

4 結論

為實現在地面設計階段提高衛星姿態確定系統故障診斷能力的目標，本文對其故障的可診斷性分析問題開展深入研究，并得到如下結論：

1) 將衛星姿態確定系統描述成離散形式的狀態空間模型，并闡述了K-L散度對該系統進行可診斷性分析的原理和存在的問題；

2) 為有效解決上述問題，基于方向相似度原理，分別采用矩陣的誘導范數和余弦相似度，設計適用于衛星姿態確定系統的可診斷性分析方法；并通過數學仿真，驗證了該方法的正確性和有效性。

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AnApproachtoFaultDiagnosabilityAnalysisofSatelliteAttitudeDeterminationSystems

LI Wenbo1,2WANG Dayi1,2LIU Chengrui1,2
1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Thispaperproposesamethodforfaultdiagnosabilityanalysisoflinearsystems.ThemethodisappliedtosatelliteattitudedeterminationsystemsandcanimprovetheFDI (FaultDetectionandIsolation)performanceduringthesystemdesignprocess.InordertosolvetheproblemsinquantifyingfaultdiagnosabilityofsatelliteattitudedeterminationsystemsbasedonK-Ldivergence,theprincipleofdirectionalsimilarityareadoptedtodesignanewapproachtoanalyzequantitativelyfaultdetectabilityandisolability.Finally,thecorrectnessandeffectivenessoftheproposedmethodisverifiedthroughamathematicalsimulation.

SatelliteAttitudeDeterminationSystems；DirectionalSimilarity；DetectabilityEvaluation；IsolabilityEvaluation

*國家自然科學基金資助項目(61203093，61004073)和重點實驗室基金資助項目(9140C590304130C59016)

2013- 03- 12

宋征宇(1970-),男，江蘇靖江人，院士，研究方向為運載火箭控制系統設計。

TP206+3；V448.22

： A

1006- 3242(2014)06- 0050- 07