微元法的應用及其教學啟示

陳 平

(江蘇第二師范學院數學與信息技術學院，江蘇南京 210013)

微元法的應用及其教學啟示

陳 平

(江蘇第二師范學院數學與信息技術學院，江蘇南京 210013)

微元法應用是高等數學教學中的重點部分.本文將結合具體的應用，說明微元法的原理和取法及其產生的教學啟示.

定積分；數學教學；應用

積分理論是高等數學教學中的重要部分，而借助積分理論解決實際問題的思想方法即為微元法.因此，微元法成為積分理論應用部分的教學重點，理解微元法是學生學習的難點.本文將結合幾何、物理以及經濟中的實際問題，引發對微元法的原理及取法的思考并探究其產生的教學啟示.

1 微元法的本質與例解

下面，我們將結合幾個具體的幾何問題來說明微元的選取準則與技巧.

1.1 弧長微元

從而，弧長微元為

圖1 弧長微元

1.2 平面面積微元

求曲線y=f(x)，y=g(x)以及直線x=a，x=b所圍成的平面圖形的面積微元ds(如圖2)，其中對任意x∈[a,b]，有f(x)g(x).利用微元法，在區間[a,b]上任取一小區間[x,x+dx]，并考慮它上面的圖形的面積，這塊面積可用f(x)-g(x)為高，以dx為底的矩形面積近似，于是ds=[f(x)-g(x)]dx.

圖2 平面面積微元

1.3 已知平行截面面積的幾何體的體積微元

現在看圖3中的一個空間立體，假設我們知道它在x處截面面積為S(x)，如果像切紅薯片一樣，把它切成薄片，則每個薄片可近似看作直柱體，其體積等于底面積乘以高.用微元法導出體積微元： 在[a,b]上任取一小區間[x,x+dx]，這樣就得到一個非常薄的薄片，并考慮其近似體積(柱體)，于是體積微元為：dV=S(x)dx.

圖3 已知截面面積的幾何體的體積微元

1.4 旋轉體的體積微元

設一平面圖形以x=a,x=b,y=0以及y=f(x)為邊界，求該圖形繞x軸旋轉一周的旋轉體體積(如圖4).我們用“微元法”的思想，來解決這一問題.在[a,b]上任取一小區間[x,x+dx]，得到一個細長條，該細長條我們可以把它看成矩形，該矩形的寬為dx，高為f(x)，那么這個小矩形繞x軸旋轉一周的旋轉體就是一個非常薄的圓柱體，其厚度就是dx，再由圓柱體體積計算公式，于是小圓柱體的體積微元是：dV=πf2(x)dx.

圖4 旋轉體的體積

1.5 旋轉體的側面積微元

設函數y=f(x)在[a,b]上連續，求其繞x軸旋轉所得的旋轉體的側面積.

2 微元法在物理學中的應用

微元法除了可以應用于上述具有幾何直觀的問題外，還可以解決一些經典的物理問題.

2.1 變速直線運動的路程

已知變速直線運動的質點的運行速度為v=v(t)，求質點在時間段T0到T1內的運動路程.

利用微元法，任取一個時間值t，再給一個時間增量Δt，在這個非常短暫的時間內質點作勻速直線運動，質點的速度為v(t)，其運行的路程為ds=v(t)Δt=v(t)dt，該量即為“路程微元”.

2.2 物質曲線的質量

已知物質曲線的曲線方程為y=f(x),x∈[a,b]，且該曲線在任一點(x,f(x))的線密度為ρ(x)，求該物質曲線的質量.

利用微元法.在曲線上任取一點(x,f(x))，在此點任意截取一小弧段ΔS，該弧段非常微小，小到這段物質弧可以近似看成是均勻分布的，于是該小弧段的質量為

dm=ρ(x)Δs=ρ(x)ds.

由之前的討論，弧長微元是

于是，所求物質曲線的質量是

2.3 變力做功問題

設一物體在外力F的作用下，沿力的方向由點a移到點b，已知物體處于點x∈[a,b]時外力F的大小為F(x)，求外力F對物體所做的功.

在點a到點b之間的任意處取定一值x∈[a,b]，并且任給自變量一個增量Δx，由于位移Δx非常小，因此，在這一移動過程中，可以認為作用在物體上的力是恒力，于是得到功微元為

dW=F(x)Δx=F(x)dx.

3 微元法的取元原則與換元技巧

通過上述的實例，可以歸納總結出選取微元時所遵從的基本原則.

3.1 可加性原則

由于微元法的本質是先“化整為零”然后“合零為整”，所以，對“微元”及相應的量的最基本的要求是：應該具備“可加性”原則.具體的，即當區間[a,b]被分割成小區間后，這些小區間通過集合的并運算仍可以整合成區間[a,b]，而對應的“微元”也可以進行“疊加”運算.

3.2 有序性原則

在保證上述可加性原則的基礎上，還需保證所選取的“微元”在疊加區域內能夠較為方便地獲得完整疊加，即做到“不遺漏”、“不重復”.因此在選取“微元”時，需按照關于所求量的某種“序”來選取相應的“微元”.

3.3 可積性原則

除滿足上述特征之外，還應要求“微元”可以表達成或者近似表達成某函數(被積函數)與積分變量的乘積，并且這一被積函數在積分變量的變化區間(積分區間)上是可積的.

就“微元法”的應用技巧而言，最為關鍵的是掌握好換“元”的技巧[2].因為通常的解題中直接選取的“微元”并不一定能使“被積函數”滿足可積、容易求積分的性質，這將會給接下來的定積分運算帶來困難，所以，必須應用換元的技巧來改變被積函數，來達到簡化積分的目的.最常用的換元技巧有如下幾種：

(1)“時間元”與“空間元”間的相互代換(表現時、空關系的運動問題中最為常見)，比如求曲線弧長可以利用參數方程形式；

(2)降維法：常見的體積元、面積元與線元間的相互代換；

(3)極坐標變換：常見的極坐標公式是連接“線元”與“角元”間的相互代換的橋梁；

(4)充分利用所求量的各種“對稱”特征進行換元.比如圖形的奇偶性、區間的對稱性、圖像的對稱軸等等.

4 微元法的教學啟示

微元法是高等數學中一個非常重要的思想方法和理論工具[3].它體現了以局部看整體，以微觀表宏觀，用近似值描述精確值的數學思想，展現了化整為零、積零為整的數學方法.充分體現了極限思想的實質，進而展示了數學上曲直、變與不變、有限與無限這三對矛盾統一體.

在實際教學中，可以將現代教育技術與傳統教學模式相結合，探討微元法思想的教學新模式，引導學生掌握新的思維方式與方法.具體地，可以從如下幾個方面著手.

4.1 創設情境

應借助多媒體手段，創設問題情境，即呈現學生熟悉以及感興趣的問題，激發學生的好奇心、發現欲、誘發質疑猜想從而使其分析和解決問題.

4.2 引入效果評價機制與小組交互型學習模式

教師通過觀察記錄學生在學習過程中的表現，并結合學生的研究報告，就可以對學生的學習進度進行監控.在小組獨立探索問題遇到困難時，教師需要適當給予提示，引發學生思考和討論.

4.3 倡導自主學習

教師可以在學生已基本掌握“微元法”的基礎上進一步提高要求.比如將一些現實原型劃歸為數學模型，嘗試構造微元以及所求量的積分表達式.引導他們在尋求解答的過程中養成獨立思考的習慣，懂得借助多媒體擴充知識面、尋找參考資料.

實踐表明，經過上述教學過程，學生在不同程度上能做到微元法思想的拓展與創新，并能鍛煉和提高數學建模的能力.

[1]鄧東皋，尹小玲.數學分析簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]歐陽光中，姚允龍.數學分析[M].上海：復旦大學出版社，1993.

[3]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

(責任編輯 張建軍)

2014-08-26

陳平，女，湖北荊州人，江蘇第二師范學院數學與信息技術學院講師，博士.

O172.2

A

1671-1696(2014)11-0024-03