關于分式線性變換的一點思考*

張 杰 康 海 燕 任 新 安

(中國礦業大學理學院數學系，江蘇徐州 221116)

關于分式線性變換的一點思考*

張 杰 康 海 燕 任 新 安

(中國礦業大學理學院數學系，江蘇徐州 221116)

分式線性變換是復變函數中最簡單的一類解析函數，但卻有著許多重要的性質.本文細化了一些已有的結論，還考慮了更廣一些的解析函數，以及分式線性變換的其它一些新的性質.

分式線性變換； 解析函數；差分變換

1 分式線性變換簡介

2 分式線性變換的類型

分式線性變換也是解析函數中最簡單的一類函數，卻具有很好的性質，起著很大的作用，可以作為解析函數研究的重要工具.我們知道每一個分式線性變換都可以分解為以下四種基本分式線性變換：

(1)旋轉L(z)=eiθz,其中θ是實數；

(2)伸縮L(z)=rz,r>0；

(3)平移L(z)=z+a,其中a是實數；

3 分式線性變換的性質

我們知道分式線性變換具有保圓、保角、保交比、保對稱性等性質，即有下面的定理.

定理1[2，3]線性變換具有保圓周性.

我們對該定理作如下一些詳細的說明，即上面四種基本分式線性變換具體保圓性質：

我們分以下兩大類考慮：

綜上所述，我們可以得到如下結論：

例1 求將上半平面變為單位圓盤的所有分式線性變換.

4 分式線性變換間的運算

4.1 分式線性變換間的差分運算

差分方程理論和求解方法在數學建模和解決實際問題的過程中起著重要作用.已知L(z)是分式線性變換，那么L(z+1)也是一個分式線性變換，它可以看成L和平移的復合，定義L(z+1)-L(z)為L的差分運算.對于線性變換與差分方程，我們容易有下面這個定理.

定理 2 設L(z)是分式線性變換，那么L的差分運算L(z+1)-L(z)不再是分式線性變換.

當c≠0時，L(z+1)-L(z)是一個2次有理函數.所以L(z+1)-L(z)不是分式線性變換.

4.2 分式線性變換間的乘積運算

顯然，分式線性變換之間的乘積運算不再是分式線性變換，但有限個分式線性變換之間的乘積也有很好的性質和作用.

結論：對于分式線性變換L(z)，經過四種基本分式線性變換復合后是分式線性變換，但是僅限于復合運算，不能推廣到四則運算(特別地，差分運算).

最后我們把保圓、保角定理結合起來作如下一些說明，分式線性變換把圓Γ1映射為圓Γ2，那么如何判別把圓的內部映射為圓的內部還是圓的外部.我們只要在Γ1上按照Γ1圍的圓γ1的正向依次取3個點z1，z2，z3，即z1→z2→z3，保持區域γ1在左手邊，然后找出它們的像w1，w2，w3，繞Γ2走時，左手邊的區域就是γ1的像.

解：設L(z)是將邊界R映射為邊界R的分式線性變換，那么產生的結果就是：

[1]Tristan N. Visual, Complex Analysis[M]. Oxford: Oxford University Press, 1997.

[2]譚小江，伍勝健.復變函數簡明教程[M].北京：北京大學出版社，2006.

[3]廖良文.復分析基礎[M].北京：科學出版社，2014.

(責任編輯 張建軍)

] 校級項目“關于《復變函數》課程教學改革的一些研究”(項目編號：2014QN34).

2014-8-23

張 杰，男，江蘇常州人，中國礦業大學理學院講師，博士.

0174.5

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1671-1696(2014)11-0004-03

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