廣義不完備直覺模糊信息系統的屬性約簡

楊柳嬌，舒 暢，莫智文*

(1.四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066； 2.成都理工大學管理科學學院數學教學系，四川成都610059)

模糊集理論［1］是美國學者Zadeh在1965年提出的一種處理不精確和不確定問題的強有力數學工具，隨著模糊集理論的發展，Zadeh模糊集只考慮隸屬度一個方面的信息已不能滿足實際需要.為此對Zadeh模糊集進行拓展，保加利亞學者Atanassov綜合考慮了隸屬度，非隸屬度和猶豫度3個方面的信息，于1983年提出了直覺模糊集［2］的概念，并被廣泛應用于決策，模式識別，數據挖掘等許多領域.

不完備信息系統是指信息系統中出現了未知屬性值［3-7］，不完備信息系統中的未知屬性值可以從兩種不同的語義來解釋.第一是所有的未知屬性值被認為是丟失的，是不允許被比較的:第二是所有的未知屬性值僅僅是被遺漏的，但又是確實存在的.目前為止，很多學者只考慮不完備信息系統中僅有一種可能的解釋而沒有考慮遺漏型和丟失型未知屬性值共存的情況，文獻［8］中將這種不完備系統稱為廣義不完備信息系統.

目前，對直覺模糊信息系統的研究甚少.文獻［9］對基于優勢關系對完備直覺模糊信息系統與決策信息表的屬性約簡問題進行了研究.謝海等［10］對文獻［9］中的優勢關系進行擴充進而討論了基于廣義優勢關系得到了不完備直覺模糊信息系統與決策信息表的屬性約簡和相對約簡［10］.但文獻［10］只討論了系統中未知屬性值丟失的情況并未討論系統中屬性值遺漏和某一屬性值中部分丟失共存的情況，故本文給出廣義不完備直覺模糊信息系統的定義，并對系統作完備化處理，引入特征關系再作研究.

1 廣義不完備直覺模糊信息系統

不完備直覺模糊信息系統中的基本概念如下:

定義1.1［1］論域U上的模糊集A定義為:A={〈x，μA(x)〉|x∈U}，其中 μA:U→［0，1］是A的隸屬函數，μA(x)∈［0，1］是x屬于A的隸屬度.

定義1.2［2］論域U上的直覺模糊集A定義為:A={〈x，μA(x)，νA(x)〉|x∈U}，其中 μA(x)稱為x屬于A的隸屬度，νA(x)稱為x不屬于A的隸屬度，并且滿足關系式0≤μA(x)+νA(x)≤1.稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為x屬于A的猶豫度或不確定度，顯然 πA(x)∈［0，1］，?x∈U.

定義 1.3［9］稱一個四元組S=(U，AT，V，f)為信息系統，其中U為有限非空對象集；AT為有限非空屬性集；V為屬性值值域；f為對象屬性值映射，即U={x1，x2，…，xn}，AT={a1，a2，…，an}，V=∪Va，a∈AT，Va為屬性a的值域，f:U×AT→V，且f(x，a)∈Va.若Va的每個元素均為直覺模糊對，即對?x∈U，a∈AT，都有f(x，a)=(μa(x)，νa(x))，則稱該信息系統為直覺模糊信息系統.若μa(x)=1-νa(x)，則該信息系統退化為一般的信息系統.

定義1.4［10］在定義3中，對某些對象而言，其所對應的一些屬性值可能會存在缺省的情況，將缺省的屬性值稱為空值，并用“*”表示空值.如果至少有一個屬性a∈AT，使得Va含有空值，則稱此系統為不完備直覺模糊信息系統.

為了使信息系統更接近現實的詳細情況，給出下面的定義:

定義1.5廣義不完備直覺模糊信息系統有4種情況:

1)f(x，a)=(*，νa(x))不知道x屬于A的隸屬度.

2)f(x，a)=(μa(x)，*)不知道x不屬于A的隸屬度.

3)f(x，a)=(*，*)不知道x屬于A的隸屬度，也不知道x不屬于A的隸屬度.

4)f(x，a)=?屬性值是丟失的，不允許被比較.

例1.1表1給出一個廣義不完備直覺模糊信息系統.

表1 廣義不完備直覺模糊信息系統Table 1 Generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

對于上面的不完備直覺模糊信息系統顯然不能用一般的關系來處理，需要建立針對缺失值“*”和遺漏值“?”的關系，這種關系稱為特征關系.設S=(U，AT，V，f)為廣義不完備直覺模糊信息系統，針對上面出現的4種情況作如下處理:

1)f(x，a)=(*，νa(x))，* =(1- νa(x))∧max(μa(xi)).

2)f(x，a)=(μa(x)，*)，* =(1- μa(x))∧min(νa(xi)).

3)f(x，a)=(*，*)，(*，*)=(max(μa(xi))，(1-max(μa(xi)))∧min(νa(xi))).

4)f(x，a)=?.

這樣表1就可以轉變為表2.

定義 1.6［11］記L={(x1，x2)∈［0，1］×［0，1］|0≤x1+x2≤1}，格(L，≤L)上的序關系≤L定義為(x1，x2)≤L(y1，y2)?x1≤y1，x2≥y2.

定義1.7［10］在直覺模糊信息系統中，如果f(x，a)≥Lf(y，a)，就說x關于a占優于y，記作x?ay.

表2 廣義不完備直覺模糊信息系統Table 2 Generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

結合以上情況給出廣義不完備直覺模糊信息系統中的特征關系如下:

定義1.8設S=(U，AT，V，f)為廣義不完備直覺模糊信息系統，對于A?AT，稱

為廣義不完備直覺模糊信息系統的特征關系.

此關系認為如果論域中的2個元素對應的屬性值除含有丟失值的外都滿足x?ay，那么就將這兩元素劃分為一類.

顯然，此特征關系滿足自反性，傳遞性，但不滿足對稱性.

2 廣義不完備直覺模糊信息系統基于特征關系的屬性約簡

定義2.1設S=(U，AT，V，f)為一個廣義不完備直覺模糊信息系統，若A?AT，LRA=LRAT，且LRB≠LRA，?B?A，則稱A是S的一個約簡.

定義2.2設S=(U，AT，V，f)為一個廣義不完備直覺模糊信息系統，稱

為在特征關系下可辨識x與y的屬性集，矩陣LDAT={LDAT(x，y)|x，y∈U}稱為該廣義不完備直覺模糊信息系統的辨識矩陣.

定理2.1設S=(U，AT，V，f)為一個廣義不完備直覺模糊信息系統，則A是約簡集??(x，y)?LRAT，則有A∩LDAT(x，y)≠?.顯然，由約簡的定義和辨識矩陣的定義易得此定理成立.

定義2.3設S=(U，AT，V，f)為一個廣義不完備直覺模糊信息系統，稱為該廣義不完備直覺模糊信息系統的辨識公式.

表3 廣義不完備直覺模糊信息系統的辨識矩陣Table 3 Discernibility matrix of generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

例2.1表1的辨識矩陣如表3所示.

由定義2.3可得上表的辨識公式△=a1∧a2∧a4.因此該廣義不完備直覺模糊信息系統約簡為a1，a2，a4.

3 廣義不完備直覺模糊決策信息系統基于特征關系的屬性約簡

定義3.1設S=(U，AT∪d，V，f)為一個廣義不完備直覺模糊信息系統，其中AT為條件屬性集，d為決策屬性，且AT∩d=?，f(x，d)為單值的有序實值.記LDd={(x，y)|f(x，d)≥f(y，d)}，如果LRAT?LDd，則稱該決策信息系統是協調的，否則是不協調的.

表4 協調廣義不完備直覺模糊決策信息系統Table 4 Coordinational generalized incomplete intuitionistic fuzzy decision information system

例3.1如表4 所示，設S=(U，AT∪d，V，f)為一個廣義不完備直覺模糊決策信息系統，且

顯然LRAT?LDd，所以該決策信息系統為一個協調的廣義不完備直覺模糊決策信息系統.

定義3.2設S=(U，AT∪d，V，f)為一個協調廣義不完備直覺模糊決策信息系統，若A?AT，LRA?LDd，且LRBLDd，?B?A，則稱A是決策信息系統S的一個相對約簡.

定義3.3設S=(U，AT∪d，V，f)為一個協調廣義不完備直覺模糊決策信息系統，稱

為可辨識x與y的屬性集，矩陣稱為該決策信息系統的辨識矩陣.

定理3.1設S=(U，AT∪d，V，f)為一個協調的廣義不完備直覺模糊決策信息系統，則A是約簡集??(x，y)?LDd，則有

顯然，由約簡的定義和辨識矩陣的定義易得此定理成立.

定義3.4設S=(U，AT∪d，V，f)為一個協調的廣義不完備直覺模糊決策信息系統，稱

為該決策信息系統的辨識公式.

例3.2計算表4的辨識矩陣如表5所示.

表5 協調廣義不完備直覺模糊決策信息系統的辨識矩陣Table 5 Discernibility matrix of coordinational generalized incomplete intuitionistic fuzzy decision information system

由定義3.4可得上表的可辨識公式△=a1，即該決策信息系統的相對約簡為a1.

4 結語

本文將文獻［10］中的不完備直覺模糊信息系統拓展為廣義不完備直覺模糊信息系統，它的未知屬性值有4種情況，因而更具有代表性.引入特征關系分別討論了廣義不完備直覺模糊信息系統和協調廣義不完備直覺模糊決策信息系統的屬性約簡和相對約簡.下一步的工作是對不協調廣義不完備直覺模糊決策信息系統的進一步研究.

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