關于二項指數和的均值

鄭家兵，廖群英

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

1 引言及主要結果

1993 年，F.Smararadche［1］提出了許多數論問題，引起了國內外相關學者的關注.迄今為止，針對Smararadche問題，有很多有趣的均值及相應的漸近公式［1-4］，利用這些函數的均值及漸進公式可以為工程或其它方面的需要進行估值.指數和的均值計算是其中很重要的問題之一.

早在1976年，著名數論專家華羅庚給出了經典指數和的定義［5］，即:對任意正整數q以及整系數多項式f(x)∈Z［x］{0}，關于q和f(x)的指數和定義如下

給定奇素數p和整數b、m以及n，滿足m≥2，n≥2 且(n(n-1)b，p)=(n-1，p-1)=1，則對任意整數a，文獻［6］給出了f(x)=axn+bx，q=pm時s(f，q)的一個上界，即

定義1［7］設m、n為整數且q及k為正整數，χ為模q的狄利克雷特征，則復合指數和定義為

其中，e(y)=e2πyi，為對所有滿足(a，q)=1的正整數a求和.

定義 2［8］設m、n為整數且q、k、h為正整數，則二項指數和定義如下

其中e(y)=e2πyi.

文獻［9］曾對特殊的指數和，即廣義k次高斯和

的均值進行了研究.進而，對任意給定正整數q及k，滿足(k，q)=1，則對任意正整數n，文獻［7］證明了當(n，q)=1 時有

其中，φ(q)為歐拉函數，表示對q的所有滿足pα|q而pα+1q的素因子p求積.

關于二項指數和的討論及應用可參見文獻［10-15］，其中涉及到的一個主要問題是計算

定理1設正整數，其中pi為不同素數，αi≥1，則有

由定理1，(*)式的計算問題轉化為計算二項指數和C(m，n，h，k；q)在q為素數p的方冪pα情形下的均值.最近，文獻［2］給出了:當q為奇素數p且k=h-2，α=1時，(*)式的如下漸進公式

本文進一步研究(*)式的均值，給出了當q=pα(α≥1)時不同情形下(*)式均值的準確計算公式.

定理2給定奇素數p以及正整數k和h，且(hk，p)=1，則有

其中，d1=(h，p-1)，d2=(k，p-1)，d3=(d1，d2).

推論1給定奇素數p及正整數h和k，當k|h及(h，p)=1 時有

定理3若素數p≡5，11(mod 12)，正整數k≥2 且(k，p)=1，d=(k，p-1)，則有

定理4設p為奇素數，h和α為正整數且h≥α，則有

注1本文的定理2～4考慮的是q為素數方冪的情形，其中，定理1討論了q為奇素數p時的均值，而文獻［2］中的結果加了k=h-2的限制，定理1是文獻［2］的推廣.在定理1的基礎上，要計算(*)式的均值，還存在很大的難度.于是，考慮縮小范圍，得出一些更為逼近的結論:限制q的范圍以及h=3k，利用同余方程知識求其均值，即定理3；取k=1利用解析方法得到定理4.定理3與定理4的方法不一樣，可以為學者們提供解決(*)均值的思路.

2 主要結果的證明

引理 1設素數p≡5，11(mod 12)，則f(x)=x3-1-kp≡0(modp2)有整數解當且僅當有整數解.

即f(x)≡(modp2)有整數解x.

又因為滿足pα-1|(a-1)的a只能取1，pα-1+1，2pα-1+1，…，(p-1)pα-1+1.把a=ipα-1+1，i=0，1，2，…，p-1，代入ah-1 可知要使pα|(ah-1)成立，只需滿足pα|hipα-1.當(h，p)=1 時，只能a=1；否則，a=1，pα-1+1，2pα-1+1，…，(p-1)pα-1+1均可，即

于是由(8)式及(12)和(13)式可知，當(h，p)=1時有

注2在定理4中取p≡5，11(mod 12)，h=3且α=2，還可以仿照定理3的證明得到

［1］Smararadche F.Only Problems，Not Solutions［M］.Chicago:Xiquan Publishing House，1993.

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