關于可逼近性和弱緊性的一個注記

羅正華,周 巍,陳麗珍

(華僑大學數學科學學院,福建 泉州 362021)

1 主要結果

設(X,‖·‖)是Banach空間.對于x∈X,C?X,d(x,C)=inf{‖x-y‖:y∈C}表示x到C的距離;PC(x)={z∈C:‖x-z‖=d(x,C)}表示C在x處的度量投影.如果對每個x∈X,PC(x)≠?,就稱C是可逼近的(proximinal).顯然可逼近集是閉的.

定理1 設X是Banach空間,C?X是有界閉凸集,則C是弱緊的當且僅當對于X上的每個等價范數|·|,C在(X,|·|)中均是可逼近的.

2 定理的證明

下述引理1可見文獻[8],為了完整起見,我們給出證明.

引理1 設(X,‖·‖)是賦范線性空間,C為X的非空子集,則C是可逼近的當且僅當對每個r≥0,C+rBX均是閉的.

證明必要性.設C是可逼近的，當r=0時,C+0·BX=C是閉的.

當r>0時,設cn+bn→x,其中{cn}?C,{bn}?rBX，則d(cn+bn,C)→d(x,C),并且

d(cn+bn,C)≤‖cn+bn-cn‖=

‖bn‖≤r,?n∈N.

因此d(x,C)≤r.取y∈PC(x)，則‖x-y‖=d(x,C)≤r,即x-y∈rBX，因而x=y+(x-y)∈C+rBX，所以C+rBX是閉的.

充分性.設每個r≥0,C+rBX均是閉的.特別地,取r=0時可知,C是閉的.

令x∈XC,記r=d(x,C)>0.取{xn}?C,使得

對每個n,令

則{yn}?rBX,并且

因此存在y∈C,z∈rBX,使得x=y+z.注意到

r=d(x,C)≤‖x-y‖=‖z‖≤r,

即‖x-y‖=d(x,C)，因而y∈PC(x)，所以C是可逼近的.引理證畢.

我們還需下述引理.

引理2 設X是Banach空間,C?X為有界閉凸集,則C是弱緊的當且僅當對每個內點非空的有界閉凸均衡集D?X,都有C+D是閉集.

證明必要性.設C是弱緊的,D是X的有界閉凸均衡子集,滿足int(D)≠?，則C+D是弱閉的.再由C+D的凸性可知,C+D是閉的.

H-1={x∈X:f(x)=-1},H[-1,1]=

{x∈X:-1≤f(x)≤1}.

容易看到,C∩H[-1,1]=?.取{xn}?C,滿足:f(xn)→-1.令

則

{yn}?H-1?H[-1,1],

并且

接下來,我們取一個開球U?H[-1,1],同時令

則D是有界閉凸均衡集,并且int(D)≠?.由

{xn}?C,{yn}?D,‖xn-yn‖→0，

可知

注意到

D?H[-1,1],C∩D=?,

則0?C-D=C+D.這意味著,C+D不是閉的.產生矛盾.引理證畢.

利用引理1,2,下面我們完成定理1的證明.

定理1的證明必要性.設C是弱緊的,|·|是X上的等價范數，則C在(X,|·|)中也是弱緊的,因而在(X,|·|)中是可逼近的.

充分性.設D是X的有界閉凸均衡子集,滿足int(D)≠?.設|·|為D所生成的Minkowski泛函,則|·|是X上的等價范數,并且D是(X,|·|) 的閉單位球.由充分性假設,C在(X,|·|)中是可逼近的.因此由引理1可知,C+D是閉的.進而由引理2,我們有:C是弱緊的.定理證畢.

最后,我們再來看一個例子.

例1 考慮有界序列空間(l∞,‖·‖∞),設C是(c0,‖·‖∞)的閉單位球.定義

xn))2)1/2>1,

所以d|·|(e,C)≥1.這里,d|·|(e,C)表示在|·|意義下,e到C的距離.

|e-(e1+e2+…+ei)|=1+

因此d|·|(e,C)=1.所以在|·|的意義下,l∞在e處的度量投影為空,即C在(l∞,|·|)中不是可逼近的.

定理1中，當C是無界閉凸集時，我們可相應地考察C的局部弱緊性．閉凸集C稱為是局部弱緊的，如果對于?x∈C，都存在r>0，使得

C∩B(x,r)={y∈C:‖x-y‖≤r}

是弱緊的．顯然，對于有界閉凸集，弱緊性與局部弱緊性是等價的；而對于整個空間X而言，X的局部弱緊性等價于X的自反性．容易驗證，局部弱緊性意味著可逼近性，并且局部弱緊性在等價范數下是不變的．因此，如果C是X中的局部弱緊集，則對于X上的每個等價范數|·|，C在(X，|·|)中均是可逼近的．自然地，我們要問，反之是否成立？特別地，當C=X時，答案是否定的，因為在每個等價范數下，X在其自身中都是可逼近的，但X不一定是局部弱緊的(即自反的)．而當C≠X時，上述逆命題是否成立尚不可知．

[1] 周巍,羅正華.弱緊集的一個新特征[J].廈門大學學報:自然科學版,2013,52(3):309-311.

[2] Floret K.Weakly compact sets[M].Baffalo,USA:Springer-Verlag,1978.

[3] Diestel J.Sequences and series in Banach spaces[M].New York:Springer-Verlag,1984.

[4] Davis W J,Figiel T,Johnson W B,et al.Factoring weakly compact operators[J].J Funct Anal,1974,17:311-327.

[5] Cheng L X,Cheng Q J,Luo Z H.On some new characterizations of weakly compact sets in Banach spaces[J].Studia Math,2010,201(2):155-166.

[6] Cheng L X,Cheng Q J,Luo Z H,et al.Every weakly compact set can be uniformly embedded into a reflexive Banach space[J].Acta Math Sin(Engl Ser),2009,25(7):1109-1112.

[7] Singer I.The theory of best approximation and functional analysis[M].Philadelphia:SIAM,1974.

[8] Barbu V,Precupanu T.Convexity and optimization in Banach spaces[M].4th ed.Berlin,Germany:Springer-Verlag,2012.