統計收斂與超濾子收斂的關系

林麗華,鮑玲鑫

(1.三明學院信息工程學院,福建 三明 365004;2.福建農林大學計算機與信息學院,福建 福州 350002)

1951年,Fast[1]和Steinhaus[2]分別獨立地引入了統計收斂的定義:稱實值序列(xn)統計收斂于a∈R,如果對?ε>0,都有

其中A#表示集合A的勢．顯然這是數列通常意義下收斂的推廣．

之后,統計收斂問題得到Connor[3]、Fridy[4-6]、Miller[7]、Bal-cerzak[8]、Das[9]等人的深入研究．值得注意的是,自20世紀90 年代以來對統計收斂的性質以及各種在統計收斂概念的基礎上,再次推廣的概念與性質的研究異常活躍,成為人們研究的熱點問題,在各個純數學和應用數學領域進行了廣泛的討論和深入的研究．其討論涉及矩陣求和、級數理論、傅里葉分析、三角級數論、Banach空間理論、局部凸空間以及模糊數學等等諸多領域．

2008年程立新等[10]建立了統計收斂的測度理論,并在此基礎上將每一類型的統計收斂都用統一的統計測度來刻畫[11]．最近程立新與鮑玲鑫[12]給出了統計測度與統計收斂中最為一般的收斂形式——理想收斂之間的關系．本文在此基礎上進一步討論統計測度收斂與超濾子收斂的關系．

為了讀者的閱讀方便,先將在本文中統計收斂理論中常用的記號簡述如下:

A(ε,x,xn)={n∈N:‖xn-x‖>ε}，

在不至于混淆情況下,簡記為A(ε)．

1 超濾子、端點與有限可加退化概率測度之間的關系

本節將給出超濾子、端點與有限可加退化概率測度的關系．為此首先回顧一些基本的概念．

設(Ω,Σ)為一測度空間,其中Ω為一非空集合,Σ?2Ω是一σ-代數．稱函數μ:Σ→R+為Σ上的有限可加概率測度,如果它滿足條件:(i)μ(φ)=0且μ(Ω)=1;(ii) 對任意的A,B∈Σ，當A∩B=φ時,有μ(A∪B)=μ(A)+μ(B)．

另外,μ若還滿足:1) 對?A∈Σ,μ(A)=0或者μ(A)=1,則稱μ為定義在Σ上的有限可加退化概率測度；2) 對于Σ中的單點集{x}有μ({x})=0,則稱μ為定義在Σ上的統計測度．

濾子與理想是一對互補的概念．設Ω是一個非空集合,2Ω是集合Ω的冪集,F?2Ω,若F滿足:(i)φ?F;(ii) 若A∈F,B∈F,則A∩B∈F;(iii) 若A?B?Ω,A∈F,則B∈F,則稱F為集合Ω上的濾子．顯然如果Ω是非空集,易得F={Ω}就是一個Ω上的濾子．所以對任何非空集Ω,都可談論Ω上的濾子．集合Ω上的一個濾子F若滿足:對于集合Ω上的其他濾子F1,當F?F1時,有F=F1,則稱F為集合Ω的一個超濾子．超濾子有一個很好的特征性質,即F是集合Ω上的一個超濾子的充分必要條件是對任何A?Ω,有下列條件之一且只有之一成立:A∈F,或ΩA∈F．

本文中考慮Ω=N,以及Σ=2N的情況．這里我們先給出l∞中兩元素乘積的形式表達式．

若記x={x1,x2,…xn,…}∈l∞,y={y1,y2,…yn,…}∈l∞,本文中的x·y是指x·y={x1y1,x2y2,…，xnyn,…},易知x·y∈l∞．

=·.(1)

==

·,

即式(1)成立．

接著考慮,當x,y中有一個范數小于1時的情形．

=-

·,

有

=+=

+-

·=+

(1-)≥0，

類似的有

=-=

-+

·=-

+·=

+·

y>≥0.

又由于

=+=

1+-·=1,

所以我們有x*±y*∈(B(l∞)*+),又x*∈ext(B(l∞)*+),故y*=θ．于是由y的任意性即得:當x,y∈l∞中有一個滿足范數小于1時式(1)成立．

s==

·=

s·,

μ(A)=,A∈2N，

(2)

則由于χA(i)≥0,i∈N,x*是正泛函,故有μ(A)≥0,且有μ(φ)==0．

另外,若A,B∈2N且A∩B=φ,則有

μ(A∪B)==+

=μ(A)+μ(B),

綜上所述知,由式(2)定義的測度是一個有限可加測度．

由引理1,?A∈2N,有

0===

χA>·=·

(1-)，

即與1-中至少有一個為零．這也就說明了由式(2)定義的測度是一個取值為{0,1}的有限可加概率測度．

下面證明,上述的有限可加退化概率測度μ可定義一個2N上的超濾子．

事實上,令U={A|A∈2N,μ(A)=1},則U就是一個由測度μ確定的超濾子．首先由1=μ(N)=μ(φ∪N)=μ(φ)+μ(N)=1+μ(φ),可得μ(φ)=0,即φ不屬于U;若設A∈U,B∈U,則由

μ(NA)+μ(NB)=0，

又若A∈U,由

1=μ(N)=μ(A∪(NA))=

μ(A)+μ(NA)=1+μ(NA),

有μ(NA)=0,即NA?U,這也就說明了A與NA有且僅有一個屬于U,于是由超濾子的性質知,此時的U={A|A∈2N,μ(A)=1}就是一個由測度μ確定的超濾子．

定理2 設U?2N為一個超濾子,若通過下式定義函數μ:2N→R,

(3)

證明由于U?2N是超濾子,故N∈U,φ?U,于是μ(N)=1,μ(φ)=0．

若A,B∈2N且A∩B=φ,則由φ?U知A,B至少有一個不屬于U,于是易得

μ(A∪B)=μ(A)+μ(B),

即滿足有限可加性,所以由式(3)定義的測度μ是定義在2N上的有限可加概率測度．

故由下式

2 統計測度收斂與超濾子收斂

有了以上的超濾子、端點和退化的有限可加概率測度的關系,下面可以給出統計測度收斂與超濾子收斂之間的等價關系．為此先給出一個定義．

定義1[12]設ω是定義在(N,2N)上的一個統計測度族,x∈X,A∈2N,(xn)?X．

(i) 若?μ∈ω,有μ(A)=0,則稱A為ω-零集;

(ii) 若?ε>0,A(ε)是一個ω-零測集,則稱(xn)ω-測度收斂于x．

μ(A)=,A∈2N,

則此時定義的測度是取值為{0,1}的統計型有限可加概率測度．

令U={A|A∈2N,μ(A)=1},則U是由測度μ確定的超濾子．于是若序列(xn)按x*所確定的測度收斂于x,即

μ({n∈N,‖xn-x‖≥ε})=0或μ({n∈N,

‖xn-x‖<ε})=1,

則{n∈N,‖xn-x‖<ε}∈U,于是序列(xn)超濾子收斂于x．

反之,若序列(xn)超濾子收斂于x,即{n∈N,‖xn-x‖<ε}∈U,則有

μ({n∈N,‖xn-x‖<ε})=1,

即μ({n∈N,‖xn-x‖≥ε})=0,于是序列(xn)按x*所確定的測度收斂于x.

由以上容易得出如下推論．

推論1 設X是一個Banach空間,ω={μ,μ(A)=,x*∈ext(B(l∞/c0)*)}是一個統計測度集,則存在一個超濾子U?2N,使得測度ω收斂等價于超濾子U收斂．

[1] Fast H.Sur le convergence statistical[J].Colloq Math,1951,2(1):241-244.

[2] Steinhaus H.Sur la convergence ordinaire et la convergence asymptotique[J].Colloq Math,1951,2(2):73-74.

[3] Connor J.Two valued measure and summability[J].Analysis,1990,10(4):373-385.

[4] Fridy J A.On statistical convergent[J].Analysis,1985,5(4):301-313.

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[6] Fridy J A,Orhan C.Lacunary statistical summability[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1993,173(2):497-504.

[7] Miller H I,Orhan C.On almost convergent and statistically convergent subsequences[J].Acta Mathematica Hungarica,2001,93(1/2):135-151.

[8] Balcerzak M,Dems K,Komisarski A.Statistical convergence and ideal convergence for sequences of functions[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,328(1):715-729.

[9] Das P,Savas E,Ghosal S K.On generalization of certain summability methods using ideals[J].Applied Mathematics Letters,2011,24(9):1509-1514.

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[11] Cheng L X,Lin G C,Shi H H.On real-valued measures of statistical type and their applications to statistical convergence[J].Mathematical and Computer Modelling,2009,50(1/2):116-122.

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[13] 俞鑫泰.Banach空間幾何理論[M].上海:華東師范大學出版社,1986.