含模糊修復速率的生產庫存模型

趙雙雙，郭嗣琮

遼寧工程技術大學理學院，遼寧阜新 123000

含模糊修復速率的生產庫存模型

趙雙雙，郭嗣琮

遼寧工程技術大學理學院，遼寧阜新 123000

1 引言

經典的EPQ模型，通過確定最優的生產批量來實現降低總成本的目的，它通常假設生產產品完好無損。但現實生產過程中，往往由于機器故障、人員失誤等原因，使得生產的過程中含有缺陷產品。而缺陷產品的存在會對最佳生產批量產生一定的影響，因此研究含有缺陷產品的生產庫存問題對于企業的成功發展至關重要。

目前在含有缺陷產品的生產庫存問題中，已有很多學者做出了研究。文獻[1]在假設缺陷率為常數的情況下，研究了允許缺貨和不允許缺貨兩種情況下的單周期生產庫存模型；文獻[2]基于檢驗速度的不同，建立了兩種含模糊缺陷率的經濟生產批量問題；文獻[3]在考慮缺貨的情況下，給出了含有模糊缺陷率的生產庫存模型的優化求解方法，并探討了缺陷率對生產批量的影響；文獻[4]建立了庫存有限且含隨機缺陷率的兩種EPQ模型；文獻[5]研究了含有均勻分布的缺陷率且缺陷產品可全部修復為合格品的EPQ模型；文獻[6]在假設缺陷率服從正態分布情況下，研究了缺陷產品可重新生產為合格產品的EPQ模型；文獻[7]在假設生產過程中出現缺陷產品和廢品，而缺陷產品可以全部修復的EPQ模型；文獻[8]研究了庫存有限且缺陷產品可修復的模糊生產庫存模型；文獻[9]分析了缺陷率隨機且缺陷產品可修復的EPQ模型；文獻[10]研究了含有一定比例的缺陷產品和一定比例的廢品且缺陷產品可全部修復的EPQ模型；文獻[11]在文獻[2]的基礎上進行了擴充，研究了缺陷產品可修復的EPQ模型；文獻[12]討論了缺陷產品可修復的模糊生產庫存模型。

文獻[1-4]所研究的EPQ問題雖然均考慮了缺陷產品的存在，但沒有考慮對缺陷產品的重新生產問題；文獻[5-12]研究了對缺陷產品進行修復的生產庫存模型，但修復速率均為常數。然而，在實際生產過程中，由于生產過程中的人為失誤、機器故障等因素，會產生缺陷產品，而往往缺陷產品的損壞程度是具有不確定性的，進而直接導致修復速率的不確定性，因此修復速率應為一個模糊變量；在以往諸多的模糊EPQ模型求解過程中，均涉及到了形如A～+B～X=0方程的求解，但在通常的模糊數運算過程中，此類方程是沒有意義的，因為等式左端為一些模糊數的四則運算，其結果應仍為模糊數，而等式右端是一個精確數。因此，它不是普通意義下的模糊線性方程，而是在限定運算[13]意義下的一種新的模糊方程，即一種模糊限定線性方程。

綜上所述，考慮到修復速度的不確定性，本文對已有的含有缺陷產品的EPQ模型進行了修改，建立了含有模糊修復速率且允許缺貨的EPQ模型，為實現總成本的最小化，在求解過程中，運用模糊結構元[14]對模糊限定線性方程進行求解，進而確定模型的最優生產批量。

2 預備知識

2.1 限定運算

設Aλ為模糊數A～的λ截集，對于二元算子*，相應的限定算子*R被定義為：

2.2 模糊結構元

定義2.2.1對模糊集E而言，若它的隸屬函數E(x)有下列性質：

（1）E(0)=1；

（2）在[-1,0)上E(x)單增右連續函數，在(0,1]上是單降左連續函數；

（3）當-∞＜x＜-1或者1＜x＜+∞時，E(x)=0。則將E稱作模糊結構元。

若模糊結構元E滿足：①?x∈(-1,1)，E(x)＞0；②在[-1,0)上E(x)是連續且嚴格單調增的，在(0,1]上是連續且嚴格單調降的，則稱E為正則模糊結構元。若E(-x)=E(x)，則稱E為對稱的。

定理2.2.1對于給定的正則模糊結構元E和任意有界閉模糊數A～，總存在一個在[-1,1]上單調有界的函數f，使得=f(E)。

2.3 模糊限定線性方程及結構元表示

3 含模糊修復速率的EPQ模型的建立

3.1 模型假設與符號說明

模型假設：（1）允許缺貨，缺貨量在下一生產周期補充；（2）產品檢驗周期內不會發生缺貨；（3）整個生產周期的所有產品都需要檢驗，檢驗合格品在滿足需求的同時，對上期缺貨進行最大可能地補充；（4）僅考慮單一產品，需求連續；（5）缺陷產品經修復后，將廢品一次性低價處理。

表1 各變量及其含義

3.2 模型建立

在實際生產過程中，鑒于生產速率與檢驗速率存在兩種大小關系，本文將按生產速率與檢驗速率的兩種大小關系對模型進行分類討論。

模型1當檢驗速率小于生產速率時，即V＜p，庫存量狀態圖如圖1所示。在[0,t1]時間內，為缺貨期，缺貨量以速率D增加，在t1時刻形成最大缺貨量S0，并以速率p開始生產，且對所生產的產品以速率V進行檢驗，檢驗合格的產品不僅要滿足需求，而且要最大限度地補充缺貨；[t1,t2]時間內，庫存量以速率p-V(1-m)增加，缺貨量以速率V(1-m)-D減少，在t2時刻缺貨量補充完畢；[t2,t3]時間內，庫存量以速率p-D增加，且在t3時刻，停止生產，達到最大庫存量S；[t3,t4]時間內，庫存量以需求速率D減少，在t4時刻，全部產品檢驗完畢，此時立即將缺陷品mQ以速率p*進行修復，并以速率V對修復后的產品進行檢驗；[t4,t5]時間內，庫存量以速率p*-D增加，在t5時刻，缺陷產品修復完畢；[t5,t6]時間內，庫存以需求速率D減少，在t6時刻，修復產品檢驗完畢，立即將廢品mxQ以低價一次性處理；[t6,t]時間內，庫存量繼續以速率D減少，在t時刻庫存量降為0，直到再次形成最大缺貨量S0，開始下一周期的生產。

圖1 V＜p時庫存量狀態

由以上模型分析有：

周期t內的總成本由生產成本、訂貨成本、修復成本、檢驗成本、缺貨成本及庫存持有成本組成，故單位時間的總成本函數：

當修復速率p*為模糊變量時，單位時間的模糊總成本函數：

模型2當檢驗速率不小于生產速率時，即V≥p。由于V≥p，所以，產品與缺陷品的生產停止時刻等于其檢驗完畢時刻，即t3=t4,t5=t6。

4 基于結構元理論的模糊EPQ模型求解

4.1 模型求解

采用模糊結構元方法進行求解，并應用Hessian矩陣的正定性來確定最小總成本的存在性。

具體求解步驟如下：

步驟1求單位時間模糊總成本函數的偏導數

由式（8），得：

步驟2給出各模糊參數的結構元表示

由定理2.2.1可知，給定任意的正則模糊結構元E，則存在[-1,1]上的單調函數f(x)有

步驟3應用極值原理求最優生產批量

利用極值原理，令式（10）、（11）等于零，求得：

步驟4驗證最小模糊生產成本的存在性

單位時間模糊總成本的Hessian矩陣可表示為：

4.2 結果分析

5 實例

某生產加工廠單位產品生產成本20元，單位產品修復成本4元，單位產品檢驗成本1元，單位產品的缺貨費10元，單位產品的日庫存持有成本5元，每周期的訂貨成本100元，市場的日需求量200件，日生產量400件，缺陷率為0.1，廢品率為0.3，缺陷產品的日修復量（480，500，520）件。試求產品的日檢驗量V=300時，求該加工廠的最優生產批量。

算例分析：

由圖2所示，隨著修復速率的模糊度的減小，最優生產批量的模糊度也減小。這是由于當訂貨到達時，如果修復速率的模糊度越大，那么相應的不合格品被修復的越慢，即合格品越少，則在該訂貨周期內不能被滿足的需求數量越大，即該周期內的缺貨量越大，而該周期內的缺貨量將會在下一周期內進行填補，所以會導致下一周期的生產批量增大。

圖2 修復速率對最佳生產批量的影響

由圖3所示，單位時間總成本的模糊度隨著修復速率的模糊度的減小而減小。這是由于修復速率的模糊度越大，那么相應的不合格品被修復的越慢，即不合格產品越多，則在該訂貨周期內的不合格產品大量被持有，使得持有成本增加，進而導致該周期的生產總成本增加。

圖3 修復速率對單位時間總成本的影響

6 結論

（1）在以往的缺陷品可進行修復的模糊EPQ模型基礎上，鑒于缺陷產品的損壞程度的不確定性，對模型中的修復速度進行了模糊化。

（2）探討了基于兩種檢驗速度的含模糊修復速率的模糊生產庫存問題，并給出了基于模糊結構元理論進行模糊生產總成本最小化的求解方法，同時，通過模糊生產總成本的Hessian矩陣的正定性驗證了模糊生產成本最小值的存在性。

（3）通過具體的實例，證明了本文提出的EPQ問題模型的結構元解法具有較強的現實意義，且方法行之有效。結果表明，在一定的修復速率內，最佳生產批量的模糊度隨著修復速率的模糊度的減小而減小。因此，在實際生產過程中，需要認真對企業生產庫存條件進行分析，合理地確定修復速率的模糊度，以便獲得盡可能準確的預測值。

（4）在今后的工作中，將進一步針對缺陷率及修復速率均為模糊數的生產庫存模型進行研究。

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ZHAO Shuangshuang,GUO Sicong

College of Science,Liaoning Technical University,Fuxin,Liaoning 123000,China

This paper studies the problem of the Economic Production Quantity（EPQ）with repairable imperfect items and fuzzy repairable rate;The optimal production policies are determined using fuzzy structured element theory to solve the fuzzy models;The optimal production quantity with fuzzy structured element is obtained;The positive definite characteristic of Hessian matrix shows that the objective function has the minamal production inventory cost at the optimal production quantity point;The relationship between model and classical EPQ is revealed through theoretical analysis;A numerical example is given to illustrate the feasibility of using the fuzzy mathematics to solve the inventory problem.

Economic Production Quantity（EPQ）;fuzzy structuring element;fuzzy defective rate;rework;shortage

研究了缺陷產品可修復且修復速率為模糊變量情況下的生產庫存模型；給出了基于模糊結構元理論的求解模糊庫存總成本最小化的方法步驟；得到了含有模糊結構元的最佳生產批量的表達式；應用Hessian矩陣的正定性驗證了最小成本的存在性；分析了其與經典EPQ公式之間的聯系；最后通過具體算例，證明了模型求解方法的可行性。

生產庫存模型；模糊結構元；缺陷率；修復；缺貨

A

O159；O227

10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0231

ZHAO Shuangshuang,GUO Sicong.Economic Production Quantity（EPQ）with fuzzy repairable rate.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：233-237.

教育部高校博士學科點專項科研基金（No.20102121110002）。

趙雙雙（1990—），女，碩士研究生，研究領域為模糊庫存；郭嗣琮（1951—），男，教授，研究領域為模糊分析學、模糊預算與決策等。E-mail：460519959@qq.com

2014-02-21

2014-06-12

1002-8331（2014）22-0233-05

CNKI網絡優先出版：2014-06-24,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0231.html