改進的時延丟包網絡控制系統的分析和控制

屈百達，陳龍，徐保國

江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇無錫 214122

改進的時延丟包網絡控制系統的分析和控制

屈百達，陳龍，徐保國

江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇無錫 214122

1 引言

在傳統點對點控制模式下，成本較高、布線復雜、信息封閉等一系列缺點日益突出。網絡控制系統（Networked Control Systems，NCSs）的出現，適應了控制系統逐漸向網絡化、分布化和智能化方向發展的趨勢[1-2]。NCSs具有總體成本較低、故障診斷容易、高效率、高可靠性等優點。但是各節點在通過網絡進行數據交換時，不可避免地出現網絡誘導時延、數據丟包等非理想網絡狀況。網絡誘導時延可能是定常、時變或是隨機的。同時，網絡時延也會因為不同的調度策略和網絡故障等因素而發生變化。另一方面，數據包在傳輸過程中，如果存在連接中斷或是網絡阻塞，有可能導致數據包的丟失。網絡時延和數據丟包的存在會降低整個NCSs的性能，甚至引起系統的不穩定[3-6]。因此，設計一個合理的控制器來保證NCSs在時延和丟包問題下的穩定性是很有必要的。這是NCSs的重要研究內容之一。

近年來，利用時滯系統理論的時滯相關條件對NCSs進行分析和設計得到學者廣泛的關注[7-11]。文獻[7]采用了模型變換方法，研究了時滯NCSs的穩定性。然而，模型變換方法需要對交叉項進行界定，具有一定的局限性。文獻[8]將網絡時延和丟包問題表述為具有時延界的NCSs綜合模型，通過引入松弛變量，研究了NCSs的無記憶反饋控制器設計，但是證明中忽略了一些有用項，不可避免地帶來了保守性。文獻[9]采用積分不等式方法，提出了一種新的NCSs的H∞穩定準則，降低了模型變換和松弛變量帶來的保守性，然而，中間的一些有效項仍然被丟棄。文獻[10]運用自由權矩陣和函數的凸性，研究了具有時變或隨機時延的NCSs的H∞反饋控制器設計問題，但由于引入了太多自由變量，大大地增加了計算量。

針對以上文獻的不足，本文參考了文獻[8]的模型，引入了具有邏輯判斷功能的零階保持器，對NCSs建立網絡閉環時滯系統模型，充分考慮網絡時延和數據丟包的問題。為了分析NCSs穩定性，將時滯區間分成兩個不同的子區間，采用了包含網絡時延上下界的分段Lyapunov-Krasovskii泛函，基于一個更緊的有限和不等式，得到了具有較少變量的穩定性條件。此外，本文通過采用改進的錐補線性化迭代方法，給出了一種保守性更小的狀態反饋控制器的求解算法。

2 問題描述

考慮如下的線性系統：

其中，x(t)∈Rn，u(t)∈Rm分別為狀態向量和控制輸入向量，A，B為具有適當維數的常數矩陣。

為了便于系統的描述，給出如下合理的假設：

假設1 NCSs的傳感器是時間驅動的，控制器和執行器是事件驅動的，數據采用單包傳輸。

假設2網絡的實際輸入u(t)是一個分段連續函數，可通過具有邏輯判斷功能零階保持器來實現。

假設3控制器和執行器總是選擇最新到達的控制數據包而丟棄舊的數據包，當一個舊的數據包到達時，會被當作一個丟失的數據包來處理。

基于以上的假設，并考慮網絡延遲、數據包丟失等不確定網絡狀況影響，采用文獻[8]的建模方法，則控制系統可以描述為：

其中h為采樣周期ik+1h+τk+1之間變化的時刻，即相應控制信號作用在系統（1）上的時刻；ik(k=1,2,…)是一些整數且{ik,k=1,2,…}?{0,1,…}；τk為網絡誘導時延。

假設全部狀態變量都是可測量的，因此式（2）可以改寫為如下閉環采樣系統：

注2由于采用零階保持器，實現了執行器選擇新到達的數據包而丟棄舊數據包的策略。所以假設ik+1＞ik總是成立，當ik+1=ik+1，表示傳輸中沒有數據丟包，當α=ik+1-ik＞1，表示傳輸中有數據丟包，且丟包數為α-1。

借助文獻[12]的思想將采樣控制輸入轉化為輸入時滯，式（3）可轉化為閉環時滯系統。

基于式（4）～（6）的定義，則式（3）可改寫為：

式（7）中，?(t)為系統的初始函數。

文中定理證明將用到如下引理：

更進一步，下面式（10）成立的充分條件是式（11）成立：

可以得到式（10），證畢。

注3引理2可以看作文獻[14]中引理1的連續形式，它在證明推導中起到了重要的作用。

注4式（9）的有限和不等式未運用任何自由矩陣，變量個數較少，具有較低的保守性和較高的求解效率，雖然式（10）中的ε1和ε2是時變的，不能直接利用MATLAB中的LMI工具箱求解，但是式（11）解決了這一問題，它可以直接利用LMI求解。

3 主要結論

本章考慮系統（7），并定義τa=(τ1+τ2)/2，給出系統（7）漸進穩定的充分條件并設計相應的狀態反饋控制器。

3.1 NCSs穩定性分析

定理1對于給定標量τ2≥τ1≥0，矩陣K，假如存在具有適當維數的對稱正定矩陣P＞0，Qi＞0(i=1,2,3)，Zi＞0(i=1,2,3)，滿足以下LMI：

那么系統（7）是漸近穩定的。

注5*是由矩陣對稱性得到的矩陣塊。

證明：構造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函

對V(xt)沿著系統（7）的軌線求導，可得：

情形2當τa≤τ(t)≤τ2，構造式（16）的Lyapunov-Krasovskii泛函并對V(xt)求導得到式（17），繼續利用引理1和引理2來處理式（18）～（20）代入式（17），可得

情形2的證明過程與情形1的類似，式（15）也保證了式（23）的(xt)＜0。因此式（14）和式（15）保證了τ1≤τ(t)≤τ2的時候，(xt)＜0，根據Lyapunov穩定性理論，系統式（7）是漸近穩定的。

注6在Lyapunov-Krasovskii泛函設計中，充分考慮了時延上下界的關系，在證明過程中，既沒有運用模型變換也沒有引入自由矩陣，只是有效地利用了有限和不等式進行處理。另外，證明中沒有忽略任何有用項且具有較少的變量。相比較于文獻[9，11]，定理1具有較小的保守性和計算量。在隨后的實例中將加以說明。

3.2 NCSs控制器設計

那么系統（7）是漸近穩定的且控制器增益為K=YX-1。

步驟4對于步驟3所得的K=YX-1，如果不等式（24）和（25）有可行解，則令τmax=τ2，適當的增加τ2并返回步驟2；如果步驟3所得的K=YX-1使得不等式（24）和（25）沒有可行解，且k大于最大的迭代次數，則退出程序。否則，令k=k+1，返回步驟3。

4 仿真實例

例1考慮具有如下參數的系統

若給定控制器K=[-3.75-11.5]，利用定理1和LMI工具箱可以求得在不同下界τ1時的最大允許網絡時延τ2，如表1所示，本文與相關文獻比較結果具有較少的保守性和矩陣變量。

表1 不同下界τ1下最大允許網絡時延的比較

對給定初始狀態x0=[2,-1.5]T，控制器K=[-3.75-11.5]和求得的τ2=1.062 2，得到系統狀態響應如圖1所示，可看出系統是漸進穩定的。

圖1 τ2=1.062 2的系統狀態響應

例2考慮具有如下參數的系統[8]

給定下界τ1=0，利用文獻[8]的算法得到網絡時延上界τ2=0.97。利用文獻[15]的算法得到網絡時延上界τ2=0.996，其中文獻[15]經313次迭代得到控制器K=[-1.005 0-1.004 9]，而應用本文改進的錐補線性化迭代算法，在τ2=0.998時，系統仍然是穩定的，經98次迭代得到控制器K=[-1.041???9-1.041 4]。

本文改進的錐補線性化迭代算法相比于文獻[15]的算法區別在于：文獻[15]算法的終止條件是相當嚴格的，需要同時滿足多個LMI的成立，造成迭代時間很長，而本文算法的終止條件只需滿足式（24）～（25），所以終止條件更加寬松，與文獻[15]的算法相比減少了迭代次數，減少了大量的計算時間。

假設初始狀態x0=[2,-1.5]T，h=0.02 s，存在連續丟包數α-1∈[0,40]，在本節所獲得的控制器K和最大允許時延上界τ2下，所考慮的系統狀態響應如圖2所示。由圖可見，閉環NCSs是漸進穩定的。

圖2 系統狀態響應

5 結束語

本文研究了一種同時包含有界時延和數據丟包問題的時變時滯網絡控制系統，為了得到穩定性判據，一個分段Lyapunov-Krasovskii泛函和改進的有限和不等式方法被利用，有效地減少了結果的保守性和計算量，提高了求解效率，仿真結果表明，在閉環系統漸進穩定的條件下得到了最大允許時延上界，并在此基礎上提出了一種改進的錐補線性化迭代算法求解反饋控制器，算例仿真表明了該算法的有效性和先進性。值得注意的是，目前大多數的研究主要針對線性的網絡控制系統，下一步主要工作是研究非線性的網絡控制系統的建模與控制問題。

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QU Baida,CHEN Long,XU Baoguo

Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry Ministry of Education,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

This paper is concerned with the problem of the stability analysis and controller design for networked control systems（NCSs）with bounded,time-varying network delays and data dropout by modeling the time-varying delay systems. Construct a new Lyapunov-Krasovskii functional and make full use of the information on the upper and lower bounds of the delay.A tighter finite sum inequality is presented to deal with delay interval.A less conservative stability criteria is derived.The state feedback controller design is obtained with an improved cone complementarity linearization algorithm. Since neither model transformation nor free-weighting matrices is employed in the derivation of these results,the proposed approach will reduce calculation.Numerical examples are given to illustract the effectiveness of the proposed method.

Networked Control Systems（NCSs）;finite sum inequality;Linear Matrix Inequality（LMI）;cone complementarity linearization algorithm

將網絡控制系統建模為時變時滯系統模型，考慮有界、時變時延和丟包的網絡控制系統的穩定性分析和控制器設計問題。首先構造一個新的分段Lyapunov-Krasovskii泛函，充分利用時延上下界信息，然后結合更緊的有限和不等式處理時滯區間，得到具有較小保守性的穩定性準則，基于一種改進的錐補線性化迭代算法給出狀態反饋器設計方法，證明中沒有引進模型變換和自由矩陣，減少了計算上的復雜性。通過實例表明上述方法的有效性。

網絡控制系統；有限和不等式；線性矩陣不等式；錐補線性化迭代算法

A

TP273

10.3778/j.issn.1002-8331.1212-0325

QU Baida,CHEN Long,XU Baoguo.Improved analysis and control for networked control systems with network-induced delay and data dropout.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：130-135.

國家自然科學基金（No.30971689）；高等學校學科創新引智計劃資助（No.B12018）；江蘇省產學研聯合創新資金項目（No.120767）。

屈百達（1956—），男，教授，博導，主要研究方向：時滯系統，魯棒控制，模式識別與數據處理；陳龍（1988—），男，碩士研究生，主要研究方向：網絡控制系統，魯棒控制；徐保國（1950—），男，教授，博導，主要研究方向：過程控制與優化，無線傳感網絡。E-mail：chenlongc428@163.com

2012-12-27

2013-04-07

1002-8331（2014）22-0130-06

CNKI網絡優先出版：2013-04-18,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130418.1618.020.html