一類超混沌系統的動力學研究及其仿真

張勇，張付臣，張光云，袁紅

1.河南工業職業技術學院，河南南陽 473009

2.重慶大學數學與統計學院，重慶 401331

3.西南石油大學外國語學院，成都 610500

4.臨沂大學理學院，山東臨沂 276005

一類超混沌系統的動力學研究及其仿真

張勇1，張付臣2，張光云3，袁紅4

1.河南工業職業技術學院，河南南陽 473009

2.重慶大學數學與統計學院，重慶 401331

3.西南石油大學外國語學院，成都 610500

4.臨沂大學理學院，山東臨沂 276005

1 引言

自從美國氣象學家Lorenz發現第一個混沌系統-Lorenz系統以來[1]，混沌已經在許多領域中取得了巨大而深遠的發展。尤其最近10多年來，混沌系統的控制和同步得到了廣泛而深入的研究[2]。其中的許多結果都直接用到了混沌系統的解最終有界的假設，而這些系統的有界性大多數是通過計算機數值模擬得到的。直到2002年，文獻[3]從數學上嚴格論證了Lorenz混沌系統吸引子的存在性以及最終有界性。對于著名的Lorenz系統，俄羅斯學者Leonov通過長期的研究，得到了Lorenz系統全局吸引集的一個圓柱形估計式和一個球形估計式。2005年，我國動力系統專家廖曉昕[4]等首次提出全局指數吸引集的概念，通過構造廣義正定、徑向無界Lyapunov函數族，結合其他數學方法，給出一個Lorenz系統全局吸引集和正向不變集的統一結果，并派生出其他一系列類似的公式，比Leonov的結果更精確。由于在全局指數吸引集Ω外一個混沌系統的平衡位置、周期解、概周期解、游蕩回復解和其他任何混沌吸引子都不復存在，因此大大簡化了對該混沌系統的分析工作。隨后，其他一些混沌系統的全局指數吸引集相繼被研究[5-15]。由于超混沌系統比一般的混沌系統的動力學行為更加復雜。因此，其動力學行為較一般混沌系統更加難以預測。據作者所知，對于超混沌系統的全局指數吸引集的問題研究的比較少，而且沒有統一的方法來構造李雅普諾夫函數。因此，有必要對新超混沌系統的全局指數吸引集進行研究。下面將研究一類新超混沌系統的全局指數吸引集。

一個新超混沌系統為[16]：

其中a,b,c,d,e,f,g,h均為系統（1）的正參數，并且當a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1時，系統的李雅普諾夫指數分別是LE1=10.732 7,LE2=3.850 3,LE3=-3.439 9,LE4=-26.347 6，其最大的李雅普諾夫指數比較大且大于零，說明系統（1）的運動比較復雜，并且具有兩個正的李雅普諾夫指數，因此系統（1）是超混沌的，其動力學行為較一般混沌系統（最大的李雅普諾夫指數為負）更加難以預測。此外該系統的李雅普諾夫指數維數是DL=3.422 9，由于該系統的李雅普諾夫指數維數是分數維，從而從另一方面驗證了系統（1）是混沌系統。當a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1時，系統（1）軌線相圖，見圖1。

系統（1）的平衡點、李雅普諾夫指數、同步等問題在文獻[16]中已經被研究過，但是超混沌系統（1）的全局指數吸引集問題至今沒有被研究，下面將研究當正參數a,b,c,d,e,f,g,h滿足a≥1,b＞1,c＞0,d＞0,e＞0,f＞0,g≥1,h≥1時，系統（1）的全局指數吸引集（在系統（1）中a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1)，有下面的定理。

圖1 系統（1）軌線的相圖(a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1)

2 系統的全局指數吸引集

為系統（1）的全局指數吸引集。

證明作廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數

沿著式（1）的正半軌線計算V(x,y,z)對時間t的導數，有

由定理1，系統（1）的正半軌線包含在下列所定義的四維橢球Ω之中。2所示。集合Ω1在xOy，xOw，yOw平面上的投影，如圖3所示。取a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1[16]，取時間t=50 s，系統（1）的各個狀態變量x(t),y(t),z(t),w(t)隨時間演化的圖形，如圖4所示。

為方便起見，僅給出四維橢球Ω在xOyw平面上的投影

圖2 系統（1）的正半軌線包含在三維橢球Ω1之內

圖4 系統（1）在上述參數下的各個變量隨時間演化的曲線

與文獻[16]中得到的該超混沌系統的界Ω2進行比較，可以看出本文中得到的該混沌的界范圍相對較小，從而結果更加準確。

3 結論

本文通過構造合適的李雅普諾夫函數研究了一類新的不拓撲等價于Lorenz系統，Rossler系統，Chen系統，Lü系統的非線性自治超混沌系統（1），得到了該超混沌系統的全局指數吸引集Ω={x,y,z,w|7.142 9x2+100y2+ 250(z-11)2+w2≤20 166.7=(142)2},而且通過數學軟件MATLAB給出了相應的數值模擬。仿真結果表明了該方案的有效性，同時也豐富了該混沌系統的混沌特性。由于全局指數吸引集的估計是通過廣義Lyapuov函數獲得的，正如Poincare地形線的作用一樣Lyapuov函數控制系統軌線的走向。并且可以斷定在全局指數吸引集Ω之外混沌系統（1）的平衡位置、周期解、概周期解、游蕩回復解和其他任何混沌吸引子都不復存在。但是該系統的控制、同步、和復雜分岔行為等其他一些問題還有待于進一步研究。

[1]Lorenz E N.Deterministic non-periods flows[J].J Atmos Sci，1963，20：130-141.

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[4]Liao Xiaoxin.On the new results of global attractive set and positive invariant set of the Lorenz chaotic system and the applications to chaos control and synchronization[J].Science in China Ser FInformSci，2005，48：304-321.

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[6]Li Damei，Lu Junan，Wu Xiaoqun.Estimating the ultimate bound and positively invariant set for the hyperchaotic Lorenz-Hakensystem[J].ChaosSolitonsFractals，2009，39：1290-1296.

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[12]舒永錄，張付臣，楊洪亮.一個多維混沌系統及其性質研究[J].四川大學學報:自然科學版，2011，48（4）：857-864.

[13]楊洪亮，張付臣，舒永錄，等.一個新三維類洛倫茲系統的最終有界集和正向不變集及其在同步中的應用[J].山東大學學報：理學版，2010，45（9）：83-89.

[14]袁紅，張付臣.新混沌系統的全局指數吸引集及其數值模[J].計算機工程與應用，2012，48（11）：37-39.

[15]袁紅，張付臣.多維混沌系統的全局指數吸引集及模擬[J].華中師范大學學報：自然科學版，2012，46（5）：518-521.

[16]張曉丹，崔麗娟.一類四維超混沌系統的界及同步的研究[J].物理學報，2011，60（11）：110511-1-110511-7.

ZHANG Yong1,ZHANG Fuchen2,ZHANG Guangyun3,YUAN Hong4

1.Henan Polytechnic Institute,Nanyang,Henan 473009,China
2.College of Mathematics and Statistics,Chongqing University,Chongqing 401331,China
3.School of Foreign Languages,Southwest Petroleum University,Chengdu 610500,China
4.School of Science of Linyi University,Linyi,Shandong 276005,China

Globally exponentially attractive set of a chaotic system plays an important role in chaos control and chaos synchronization.In this paper,the globally exponentially attractive set of a new hyper-chaotic system is studied via constructing a Lyapunov function and the function extreme value theory.It has been obtained that the globally exponentially attractive setΩfor this system.It can be concluded that the system cannot have equilibrium points,periodic solutions,quasiperiodic solutions,or other chaotic attractors outside the globally attractive setΩ.This simplifies the analysis of the properties of the hyper-chaotic system.Furthermore,it can be concluded that the rate of the trajectories of system going from the exterior of the setΩto the interior of the setΩis an exponential rate.The globally exponentially attractive setΩalso provides the theoretic foundation for the chaotic control and chaotic synchronization of the system.Numerical simulations are presented to show the effectiveness of the proposed scheme.Numerical simulation is consistent with the results of theoretical calculation.

hyper-chaotic system;globally exponentially attractive set;numerical simulations Lyapunov function

混沌系統的全局指數吸引集在混沌系統的控制與同步之中起著非常重要的作用。借助一個適當的Lyapunov函數和一元函數極值理論研究了一個新超混沌系統的全局指數吸引集，得到了該系統的全局指數吸引集表達式Ω。可以斷定在全局指數吸引集Ω之外混沌系統的平衡位置、周期解、概周期解、游蕩回復解和其他任何混沌吸引子都不復存在，這大大簡化了對該系統的分析工作。確定軌線從吸引集外走向吸引集的速度是指數速率。同時得到的全局指數吸引集表達式Ω為該系統的控制和同步提供了理論依據。通過計算機進行了模擬，數值模擬與理論計算的結果相吻合。

超混沌系統；全局指數吸引集；數值仿真；李雅普諾夫函數

A

O241.84；O29；O242.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0340

ZHANG Yong,ZHANG Fuchen,ZHANG Guangyun,et al.Dynamical analysis of hyper-chaotic system and its simulation.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：79-82.

重慶市自然科學基金（No.2009BB3185）.

張勇（1981—），男，講師，從事大學數學教學與研究；張付臣（1983—），主要研究領域為常微分方程穩定性與分岔；張光云（1983—），女，碩士研究生，研究方向：外國語言學與應用語言學。E-mail：zhangfuchen1983@163.com

2012-11-27

2013-01-05

1002-8331（2014）22-0079-04

CNKI網絡優先出版：2013-02-07,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130207.1420.020.html

◎網絡、通信、安全◎