從氣旋和反氣旋談?wù)?、負阻?/h1>
2014-08-04 08:50:44劉式達劉式適付遵濤
大氣科學 2014年6期
劉式達 劉式適 付遵濤
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從氣旋和反氣旋談?wù)⒇撟枘?/p>
劉式達 劉式適 付遵濤
北京大學物理學院大氣與海洋科學系氣候與?！獨鈱嶒炇?，北京100871
在定常條件下，利用簡化的大氣運動控制方程，分析了氣旋與反氣旋的基本特征。在此基礎(chǔ)上，利用常微分方程的定性分析與求解，獲得了氣旋和反氣旋軌道的解析解。接合氣旋與反氣旋的基本特征，論證了正負阻尼在氣旋和反氣旋運動中具體體現(xiàn)，并從物理機理上說明產(chǎn)生氣旋和反氣旋運動中正負阻尼的差異在于水平輻合在低層的不同。
正阻尼 負阻尼 氣旋 反氣旋 軌道
1 引言
很多人往往把阻尼、耗散的概念和摩擦力聯(lián)系在一起，實際上，這是兩個不同的概念。力學上是說，當相互接觸的物體做相對運動時，它們之間就有摩擦力，它的大小和速度成正比，但方向相反（趙凱華，羅蔚茵，1995），即
其中＞0稱為摩擦系數(shù)，是速度向量。
而阻尼和耗散這兩個概念通常是與系統(tǒng)聯(lián)系在一起的。例如流體力學中的不可壓縮流體的質(zhì)量守恒定律（也稱作連續(xù)方程）可以表示為（Milne- Thomson，1960）
速度散度div的物理意義是單位體積的體積流量。方程（1）就表示單位時間流出去的體積等于流進來的體積，因而就說該系統(tǒng)是守恒系統(tǒng)。
但是若單位時間內(nèi)流出去的少流進來的多，那么該系統(tǒng)中間就要有一部分流體被耗散掉了，此時
div＜0, （3）
那么就稱該系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)或阻尼系統(tǒng)（Ott，1993，Arnold et al., 1983）。
但是，若流出去的多，流進來的少，此時速度散度
div＞0. （4）
那么該系統(tǒng)稱為什么呢？至少局部若有（4）式成立，就稱為負阻尼或負耗散的系統(tǒng)。正如D.Y. Hsieh在他的著作“wave and stability in fluids”所述，負阻尼是動力系統(tǒng)三種不穩(wěn)定的機制之一（Hsieh，1994）。
大氣科學中的氣旋和反氣旋是渦旋，正是論述正負阻尼的范例。在氣壓梯度力、科氏力和摩擦力三力平衡時，氣旋、反氣旋的斑圖均是螺旋（劉式達，劉式適，2011）。螺旋的中心均是速度場為零的焦點。氣旋的中心是穩(wěn)定焦點，在北半球，軌道由外向內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)。而反氣旋的中心為不穩(wěn)定焦點，軌道由內(nèi)向外順時針旋轉(zhuǎn)。因此氣旋是正阻尼系統(tǒng)，反氣旋是負阻尼系統(tǒng)。下面我們來論證這一點。
2 氣旋、反氣旋的特征
在定常情況下，在氣壓梯度力、科氏力和摩擦力相互平衡的大氣運動方程為（劉式適，劉式達，2011）
將（5）式的第一式對求導，第二式對求 導，然后相加得到
其中
, （7）
是垂直渦度。
將（5）式的第一式對求導，第二式對求導，然后相減得到
（6）式是Poisson方程，若假設(shè)氣旋或反氣旋的垂直渦度是常數(shù)，水平散度也是常數(shù)，那么方程（6）的解是
, （9）
將（9）式代入（5）求得
其中
（11）
從（8）式看出，因為和都是正常數(shù)，因而垂直渦度和水平散度符號相反。這正符合氣旋、反氣旋的特征。在北半球，氣旋是正渦度＞0，地面的水平散度＜0；反氣旋是負渦度＜0，地面的水平散度＞0。
由（9）式看出，等壓線是一個圓形，這也符合氣旋、反氣旋的實際情況。
由（6）式看出，對于氣旋
這表示周圍的氣壓值大于中心的氣壓值，因而中心為低壓。類似，對于反氣旋
＜0, （13）
這表示周圍的氣壓值小于中心的氣壓值，因而中心為高壓。
由（11）式看出，對于氣旋＞0，＞0；對于反氣旋＜0，＜0。
所以歸納講，北半球氣旋、反氣旋的特征如表1。
表1 北半球氣旋、反氣旋的特征
3 正、負阻尼
上節(jié)說明，用三力平衡方程（5）描述的氣旋與反氣旋正好確切地反映了氣旋和反氣旋的主要特征。
我們將（10）式的第一式對時間求導并用第二式代入得到
即
, （14）
（14）的解為
從（15）式看出，常數(shù)表示振蕩頻率，阻尼系數(shù)＞0時，隨著時間的增加，振幅衰減；而阻尼系數(shù)＜0時，隨著時間的增加，振幅增大。
所以對于氣旋（＞0）而言，它的軌道是振幅隨時間衰減的振蕩，那當然是阻尼振蕩；而對于反氣旋（＜0）而言，它的軌道是振幅隨時間增大的振蕩，那當然是負阻尼振蕩（Starr，1968）。
氣旋與反氣旋的特征性行為見圖1a和b。在圖1中實線表示軌道，箭頭表示時間增加的方向。在軌道上取一小面積元，那么對于氣旋的正阻尼系統(tǒng)，小面積元隨時間不斷收縮；而對于反氣旋，小面積元隨時間不斷擴展。這正是正、負阻尼振蕩的區(qū)別所在。
圖1 （a）氣旋和（b）反氣旋的軌道示意圖
這種正、負阻尼的差別的物理因素是什么呢？從物理上講，由（11）式看出，主要是水平散度的差別。對于氣旋＞0，地面的水平散度＜0，它意味著流進來的多，流出去的少，見圖1a，那當然是耗散系統(tǒng)或正阻尼系統(tǒng)。此時若無外源提供能量，那么它的軌道就要收縮到焦點吸引子。實際上大氣運動是三維的，它滿足的是三維連續(xù)方程（2）式。當＜0時，由（2）式得到＞0，由于地面= 0處= 0，因而必然引起上升運動。所以盡管從水平面上看流進的多，流出去的少。但是這種“外源”使得水平方向的耗散由垂直方向的上升運動來“補充”，從而使得流出的量增多，它不會停留在焦點“不動”。而由上升運動補充流出，最后達到流進來與流出去的平衡。
對于負阻尼的反氣旋，由圖1b看出，由于地面水平散度＞0，即水平輻散。軌道上的小面積元隨時間增大，即流進來的少，流出去的多。哪里多出來的“大氣”流出呢？原來連續(xù)性方程（2）也告訴了我們。當＞0時必然有＜0，也就是產(chǎn)生下沉運動，它補充了“流進來”的不足。也就是說，“大氣的下沉運動”使得空氣團體積壓縮，外界對內(nèi)做功，使得下沉的空氣團內(nèi)能增加轉(zhuǎn)變成動能，這就是負阻尼的一種“力”。所以，反氣旋在水平方向上負阻尼的驅(qū)動力是下沉運動，它驅(qū)使大氣螺旋向外。
Arnold V I, Levi M, Szücs J. 1983. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equation [M]. New York: Springer-Verlag.
Hsieh D Y. 1994. Wave and Stability in Fluids [M]. Singapore: World Scientific.
劉式達, 劉式適. 2011. 大氣渦旋動力學 [M]. 北京: 氣象出版社. Liu Shida, Liu Shikuo. 2011. Dynamics of Atmospheric Eddy (in Chinese) [M]. Beijing: China Meteorological Press.
劉式適, 劉式達. 2011. 大氣動力學 [M]. 北京: 北京大學出版社. Liu Shikuo, Liu Shida. 2011. Atmospheric Dynamics (in Chinese) [M]. Beijing: Peking University Press.
Milne-Thomson L M. 1960. Theoretical Hydrodynamics [M]. London: Macmillan.
Ott E. 1993. Chaos in Dynamical Systems [M]. Cambridge: Cambridge University Press.
Starr V P. 1968. Physics of Negative Viscosity Phenomena [M]. New York: McGraw-Hill.
趙凱華, 羅蔚茵. 1995. 力學 [M]. 北京: 高等教育出版社. Zhao Kaihua, Luo Weiyin. 1995. Mechanics (in Chinese) [M]. Beijing: Higher Education Press.
劉式達, 劉式適, 付遵濤. 2014. 從氣旋和反氣旋談?wù)⒇撟枘醄J]. 大氣科學, 38 (6): 1041?1043, doi:10.3878/j.issn.1006-9895.2013.13259. Liu Shida, Liu Shikuo, Fu Zuntao. 2014. Positive and negative damping in cyclones and anticyclones. [J]. Chinese Journal of Atmospheric Sciences (in Chinese), 38 (6): 1041?1043.
Positive and Negative Damping in Cyclones and Anticyclones
LIU Shida, LIU Shikuo, and FU Zuntao
,,,100871
Under steady conditions, simplified control equations of atmospheric motion are used to analyze the basic characteristics of cyclones and anticyclones. On this basis, analytic solutions of cyclonic and anti-cyclonic trajectories are derived by qualitatively analyzing and solving ordinary differential equations. By combining the basic characteristics of cyclones and anticyclones, it is demonstrated that positive and negative damping behaviors are present in cyclonic and anti-cyclonic motions and that the physical mechanism of the negative damping in these motions results from various types of horizontal convergence at low levels.
Positive damping, Negative damping, Cyclone, Anticyclone, Trajectory
1006?9895(2014)06?1041?03
P432
A
10.3878/j.issn.1006-9895.2013.13259
2013?09?06，2013?11?08收修定稿
國家自然科學基金項目40975027
劉式達，男，1938年出生，教授，主要從事大氣湍流與非線性大氣動力學研究。E-mail: liusd@pku.edu.cn
付遵濤，E-mail: fuzt@pku.edu.cn
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從氣旋和反氣旋談?wù)⒇撟枘?/p>
劉式達 劉式適 付遵濤
北京大學物理學院大氣與海洋科學系氣候與?！獨鈱嶒炇?，北京100871
在定常條件下，利用簡化的大氣運動控制方程，分析了氣旋與反氣旋的基本特征。在此基礎(chǔ)上，利用常微分方程的定性分析與求解，獲得了氣旋和反氣旋軌道的解析解。接合氣旋與反氣旋的基本特征，論證了正負阻尼在氣旋和反氣旋運動中具體體現(xiàn)，并從物理機理上說明產(chǎn)生氣旋和反氣旋運動中正負阻尼的差異在于水平輻合在低層的不同。
正阻尼 負阻尼 氣旋 反氣旋 軌道
1 引言
很多人往往把阻尼、耗散的概念和摩擦力聯(lián)系在一起，實際上，這是兩個不同的概念。力學上是說，當相互接觸的物體做相對運動時，它們之間就有摩擦力，它的大小和速度成正比，但方向相反（趙凱華，羅蔚茵，1995），即
其中＞0稱為摩擦系數(shù)，是速度向量。
而阻尼和耗散這兩個概念通常是與系統(tǒng)聯(lián)系在一起的。例如流體力學中的不可壓縮流體的質(zhì)量守恒定律（也稱作連續(xù)方程）可以表示為（Milne- Thomson，1960）
速度散度div的物理意義是單位體積的體積流量。方程（1）就表示單位時間流出去的體積等于流進來的體積，因而就說該系統(tǒng)是守恒系統(tǒng)。
但是若單位時間內(nèi)流出去的少流進來的多，那么該系統(tǒng)中間就要有一部分流體被耗散掉了，此時
div＜0, （3）
那么就稱該系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)或阻尼系統(tǒng)（Ott，1993，Arnold et al., 1983）。
但是，若流出去的多，流進來的少，此時速度散度
div＞0. （4）
那么該系統(tǒng)稱為什么呢？至少局部若有（4）式成立，就稱為負阻尼或負耗散的系統(tǒng)。正如D.Y. Hsieh在他的著作“wave and stability in fluids”所述，負阻尼是動力系統(tǒng)三種不穩(wěn)定的機制之一（Hsieh，1994）。
大氣科學中的氣旋和反氣旋是渦旋，正是論述正負阻尼的范例。在氣壓梯度力、科氏力和摩擦力三力平衡時，氣旋、反氣旋的斑圖均是螺旋（劉式達，劉式適，2011）。螺旋的中心均是速度場為零的焦點。氣旋的中心是穩(wěn)定焦點，在北半球，軌道由外向內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)。而反氣旋的中心為不穩(wěn)定焦點，軌道由內(nèi)向外順時針旋轉(zhuǎn)。因此氣旋是正阻尼系統(tǒng)，反氣旋是負阻尼系統(tǒng)。下面我們來論證這一點。
2 氣旋、反氣旋的特征
在定常情況下，在氣壓梯度力、科氏力和摩擦力相互平衡的大氣運動方程為（劉式適，劉式達，2011）
將（5）式的第一式對求導，第二式對求 導，然后相加得到
其中
, （7）
是垂直渦度。
將（5）式的第一式對求導，第二式對求導，然后相減得到
（6）式是Poisson方程，若假設(shè)氣旋或反氣旋的垂直渦度是常數(shù)，水平散度也是常數(shù)，那么方程（6）的解是
, （9）
將（9）式代入（5）求得
其中
（11）
從（8）式看出，因為和都是正常數(shù)，因而垂直渦度和水平散度符號相反。這正符合氣旋、反氣旋的特征。在北半球，氣旋是正渦度＞0，地面的水平散度＜0；反氣旋是負渦度＜0，地面的水平散度＞0。
由（9）式看出，等壓線是一個圓形，這也符合氣旋、反氣旋的實際情況。
由（6）式看出，對于氣旋
這表示周圍的氣壓值大于中心的氣壓值，因而中心為低壓。類似，對于反氣旋
＜0, （13）
這表示周圍的氣壓值小于中心的氣壓值，因而中心為高壓。
由（11）式看出，對于氣旋＞0，＞0；對于反氣旋＜0，＜0。
所以歸納講，北半球氣旋、反氣旋的特征如表1。
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3 正、負阻尼
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即
, （14）
（14）的解為
從（15）式看出，常數(shù)表示振蕩頻率，阻尼系數(shù)＞0時，隨著時間的增加，振幅衰減；而阻尼系數(shù)＜0時，隨著時間的增加，振幅增大。
所以對于氣旋（＞0）而言，它的軌道是振幅隨時間衰減的振蕩，那當然是阻尼振蕩；而對于反氣旋（＜0）而言，它的軌道是振幅隨時間增大的振蕩，那當然是負阻尼振蕩（Starr，1968）。
氣旋與反氣旋的特征性行為見圖1a和b。在圖1中實線表示軌道，箭頭表示時間增加的方向。在軌道上取一小面積元，那么對于氣旋的正阻尼系統(tǒng)，小面積元隨時間不斷收縮；而對于反氣旋，小面積元隨時間不斷擴展。這正是正、負阻尼振蕩的區(qū)別所在。
圖1 （a）氣旋和（b）反氣旋的軌道示意圖
這種正、負阻尼的差別的物理因素是什么呢？從物理上講，由（11）式看出，主要是水平散度的差別。對于氣旋＞0，地面的水平散度＜0，它意味著流進來的多，流出去的少，見圖1a，那當然是耗散系統(tǒng)或正阻尼系統(tǒng)。此時若無外源提供能量，那么它的軌道就要收縮到焦點吸引子。實際上大氣運動是三維的，它滿足的是三維連續(xù)方程（2）式。當＜0時，由（2）式得到＞0，由于地面= 0處= 0，因而必然引起上升運動。所以盡管從水平面上看流進的多，流出去的少。但是這種“外源”使得水平方向的耗散由垂直方向的上升運動來“補充”，從而使得流出的量增多，它不會停留在焦點“不動”。而由上升運動補充流出，最后達到流進來與流出去的平衡。
對于負阻尼的反氣旋，由圖1b看出，由于地面水平散度＞0，即水平輻散。軌道上的小面積元隨時間增大，即流進來的少，流出去的多。哪里多出來的“大氣”流出呢？原來連續(xù)性方程（2）也告訴了我們。當＞0時必然有＜0，也就是產(chǎn)生下沉運動，它補充了“流進來”的不足。也就是說，“大氣的下沉運動”使得空氣團體積壓縮，外界對內(nèi)做功，使得下沉的空氣團內(nèi)能增加轉(zhuǎn)變成動能，這就是負阻尼的一種“力”。所以，反氣旋在水平方向上負阻尼的驅(qū)動力是下沉運動，它驅(qū)使大氣螺旋向外。
Arnold V I, Levi M, Szücs J. 1983. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equation [M]. New York: Springer-Verlag.
Hsieh D Y. 1994. Wave and Stability in Fluids [M]. Singapore: World Scientific.
劉式達, 劉式適. 2011. 大氣渦旋動力學 [M]. 北京: 氣象出版社. Liu Shida, Liu Shikuo. 2011. Dynamics of Atmospheric Eddy (in Chinese) [M]. Beijing: China Meteorological Press.
劉式適, 劉式達. 2011. 大氣動力學 [M]. 北京: 北京大學出版社. Liu Shikuo, Liu Shida. 2011. Atmospheric Dynamics (in Chinese) [M]. Beijing: Peking University Press.
Milne-Thomson L M. 1960. Theoretical Hydrodynamics [M]. London: Macmillan.
Ott E. 1993. Chaos in Dynamical Systems [M]. Cambridge: Cambridge University Press.
Starr V P. 1968. Physics of Negative Viscosity Phenomena [M]. New York: McGraw-Hill.
趙凱華, 羅蔚茵. 1995. 力學 [M]. 北京: 高等教育出版社. Zhao Kaihua, Luo Weiyin. 1995. Mechanics (in Chinese) [M]. Beijing: Higher Education Press.
劉式達, 劉式適, 付遵濤. 2014. 從氣旋和反氣旋談?wù)⒇撟枘醄J]. 大氣科學, 38 (6): 1041?1043, doi:10.3878/j.issn.1006-9895.2013.13259. Liu Shida, Liu Shikuo, Fu Zuntao. 2014. Positive and negative damping in cyclones and anticyclones. [J]. Chinese Journal of Atmospheric Sciences (in Chinese), 38 (6): 1041?1043.
Positive and Negative Damping in Cyclones and Anticyclones
LIU Shida, LIU Shikuo, and FU Zuntao
,,,100871
Under steady conditions, simplified control equations of atmospheric motion are used to analyze the basic characteristics of cyclones and anticyclones. On this basis, analytic solutions of cyclonic and anti-cyclonic trajectories are derived by qualitatively analyzing and solving ordinary differential equations. By combining the basic characteristics of cyclones and anticyclones, it is demonstrated that positive and negative damping behaviors are present in cyclonic and anti-cyclonic motions and that the physical mechanism of the negative damping in these motions results from various types of horizontal convergence at low levels.
Positive damping, Negative damping, Cyclone, Anticyclone, Trajectory
1006?9895(2014)06?1041?03
P432
A
10.3878/j.issn.1006-9895.2013.13259
2013?09?06，2013?11?08收修定稿
國家自然科學基金項目40975027
劉式達，男，1938年出生，教授，主要從事大氣湍流與非線性大氣動力學研究。E-mail: liusd@pku.edu.cn
付遵濤，E-mail: fuzt@pku.edu.cn
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