Monte Carlo法與Rosenblueth 法對(duì)邊坡可靠度分析的應(yīng)用與比較

李 珂 姜夢(mèng)林

(1．西安公路研究院，陜西 西安 710054; 2．機(jī)械工業(yè)勘察設(shè)計(jì)研究院，陜西 西安 710043)

安全系數(shù)是由確定的方法得到的一個(gè)定值，它沒有考慮設(shè)計(jì)參數(shù)可能發(fā)生的內(nèi)在的變異性，所以其大小并不能完全代表一個(gè)邊坡的安全程度。因此，邊坡工程的可靠度分析被引入巖土工程領(lǐng)域，經(jīng)過多年的發(fā)展，邊坡工程可靠性研究已經(jīng)有了許多研究成果，并逐步用于設(shè)計(jì)實(shí)踐［1］。目前常用的可靠度分析計(jì)算方法有蒙特卡羅法(Monte Carlo法)、一次二階矩法(FOSM法)、點(diǎn)估計(jì)法。蒙特卡羅法適用于隨機(jī)變量的概率密度分布形式已知或符合假定的情況，在目前可靠度計(jì)算中，是一種相對(duì)精確的方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，蒙特卡羅法在工程中廣為流行。點(diǎn)估計(jì)法中應(yīng)用最廣的為Rosenblueth法，當(dāng)各狀態(tài)變量的概率分布為未知時(shí)，利用其均值和方差，便可以求得狀態(tài)函數(shù)(安全系數(shù)或安全儲(chǔ)備)的一階矩(均值)、二階矩(方差)及三、四階矩，從而求得邊坡的可靠指標(biāo)，因而應(yīng)用廣泛。蒙特卡羅模擬法是理論比較成熟、精度比較高的一種數(shù)值計(jì)算方法，由于其模型和程序簡(jiǎn)單，且不受狀態(tài)變量分布類型以及變量間關(guān)系的限制，所以在多個(gè)狀態(tài)變量概率分布已知時(shí)，對(duì)于陜縣1號(hào)點(diǎn)，臨猗縣北景鄉(xiāng)2號(hào)點(diǎn)、臨猗縣北景鄉(xiāng)3號(hào)點(diǎn)、萬榮縣4號(hào)點(diǎn)，借助GeoStudio軟件可以較快實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果。而在狀態(tài)變量概率分布數(shù)據(jù)缺乏時(shí)，為了保證可靠度的精度，優(yōu)先選用Rosenblueth法進(jìn)行計(jì)算。

1 蒙特卡羅法計(jì)算原理

一般情況下，我們把邊坡安全系數(shù)定義為一個(gè)狀態(tài)函數(shù):

其中，F(xiàn)為穩(wěn)定系數(shù);X1，X2，…，Xm為m個(gè)有一定分布規(guī)律、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量。可以是容重、內(nèi)摩擦角、粘聚力等隨機(jī)變量。隨機(jī)地從樣本Xi中抽取n個(gè)同分布變量 x1，x2，…，xn，將每一個(gè)變量代入式(1)，便能得到一個(gè)隨機(jī)的安全系數(shù) Fi，經(jīng)過N次重復(fù)計(jì)算后達(dá)到預(yù)期的精度要求，可得到N個(gè)安全系數(shù)樣本觀測(cè)值F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，其計(jì)算結(jié)果相互獨(dú)立。因邊坡失穩(wěn)的極限狀態(tài)為F=1，所以設(shè)在N次抽樣計(jì)算過程中F≤1的次數(shù)為N，則

李萍等［2］對(duì)黃土地區(qū)公路路塹高邊坡進(jìn)行了大量研究，本文參考其調(diào)查結(jié)果，選取4個(gè)邊坡進(jìn)行可靠度分析計(jì)算。本次所研究的4個(gè)邊坡工點(diǎn)位于黃土地區(qū)的三門峽—河津亞區(qū)，其上覆土層主要為馬蘭黃土Q3，下層屬于離石黃土Q2，其中Q3黃土厚度在10 m左右，根據(jù)已有數(shù)據(jù)建立地質(zhì)模型(見表1)。

表1 黃土邊坡地質(zhì)模型

根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)合三門峽—河津亞區(qū)的黃土特性(見表2)［2］，建立概率模型。用GeoStudio軟件中的Slope計(jì)算模塊，采用蒙特卡羅法對(duì)每一個(gè)工點(diǎn)進(jìn)行10 000次的抽樣計(jì)算，得到每一處邊坡的可靠度和失效概率(見表3)，以及安全系數(shù)的概率分布圖(見圖1)。

表2 三門峽—河津亞區(qū)黃土物理特性

表3 蒙特卡羅法對(duì)邊坡的計(jì)算結(jié)果

圖1 四個(gè)邊坡的安全系數(shù)概率分布圖

2 Rosenblueth法

Rosenblueth法是由Rosenblueth于1975年提出的一種矩估計(jì)的近似方法，其原理簡(jiǎn)單，可快速地對(duì)邊坡可靠度進(jìn)行分析。它要求在某幾個(gè)點(diǎn)上估計(jì)功能函數(shù)的值，根據(jù)這些數(shù)據(jù)即可通過簡(jiǎn)單的計(jì)算公式確定可靠度指標(biāo)［3］。

在缺少狀態(tài)變量x1，x2，…，xn的分布函數(shù)的情況下，不需要考慮它們變化形態(tài)，僅需在(xmin，xmax)區(qū)間內(nèi)對(duì)稱地選擇2個(gè)取值點(diǎn)，一般取均值μx的正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差σx，即:

對(duì)于n個(gè)狀態(tài)變量，可得到2n個(gè)取值點(diǎn)，全部取值點(diǎn)組合后可以得到2n個(gè)。在2n個(gè)狀態(tài)變量組合下，可根據(jù)狀態(tài)方程得到2n個(gè)狀態(tài)函數(shù)Z，即2n個(gè)安全系數(shù)。若n個(gè)狀態(tài)變量相互獨(dú)立，各個(gè)組合的出現(xiàn)概率相等，則Z的均值為:

在黃土邊坡可靠度分析中，粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ是影響邊坡穩(wěn)定性的重要指標(biāo)，利用式(8)，式(9)對(duì)邊坡進(jìn)行可靠度計(jì)算。

當(dāng)黃土邊坡只有一種土層時(shí)，粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ有4種組合，進(jìn)而可以得到4個(gè)不同的穩(wěn)定系數(shù)，如式(10):

此次所選用的4個(gè)工點(diǎn)為涇陽(yáng)地區(qū)黃土邊坡，屬于三門峽—河津亞區(qū)［2］黃土，上部覆蓋有大約10 m厚的Q3馬蘭黃土，下部為Q2離石黃土。根據(jù)表2可知，上下土層的粘聚力c、內(nèi)摩擦角φ和標(biāo)準(zhǔn)差，可以得到16種組合(見表4)，其計(jì)算結(jié)果見表5。

表4 上下土層組合后得到的穩(wěn)定系數(shù)F

表5 Rosenblueth法對(duì)邊坡的計(jì)算結(jié)果

3 計(jì)算比較

Rosenblueth法是基于隨機(jī)變量在有限的對(duì)稱點(diǎn)處取值的點(diǎn)估計(jì)，所以計(jì)算精度沒有蒙特卡羅法方法高［4］。以蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果作為參照值，將Rosenblueth法的結(jié)果代入式(11)計(jì)算其相對(duì)誤差。

其中，X為相對(duì)誤差;YM為蒙特卡羅法計(jì)算值;YR為Rosenblueth法計(jì)算值。其計(jì)算結(jié)果見表6。由表6可以看出，較蒙特卡羅法，Rosenblueth法計(jì)算得到的穩(wěn)定系數(shù)偏高，但相對(duì)誤差均不超過1%，可靠度相對(duì)誤差約為5%，標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差約為2%，與蒙特卡羅法結(jié)果非常接近，能夠滿足工程精度要求，但是失效概率的相對(duì)誤差達(dá)到了25%，且普遍偏低。

表6 相對(duì)誤差計(jì)算值

4 結(jié)語(yǔ)

1)Rosenblueth法計(jì)算次數(shù)少、效率高，不需要了解各種狀態(tài)變量的概率分布，只要利用它的均值和方差，就可以求出狀態(tài)函數(shù)的一階、二階矩。在邊坡工程需要應(yīng)用數(shù)值計(jì)算的情況下可以方便地進(jìn)行可靠度分析，但其可靠性需要得到進(jìn)一步驗(yàn)證。2)蒙特卡羅法原理簡(jiǎn)單，計(jì)算量大，但借助Geoslope軟件可以快速實(shí)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果精度高，誤差與樣本容量有關(guān)，所以在條件允許的情況下盡可能地進(jìn)行多次計(jì)算，對(duì)于給定的誤差限，可求出所需模擬的次數(shù)。3)考慮受現(xiàn)場(chǎng)條件的限制，在無相關(guān)軟件進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)自動(dòng)分析而計(jì)算樣本不是很多的情況下，可以優(yōu)先考慮選用Rosenblueth法進(jìn)行初步計(jì)算，蒙特卡羅模擬法可作為一種校驗(yàn)方法，對(duì)其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校驗(yàn)和對(duì)比。4)在一般情況下，土體邊坡受力情況較為復(fù)雜，尤其在土質(zhì)為非均質(zhì)土質(zhì)邊坡中，選取大量的狀態(tài)變量發(fā)現(xiàn)其變化差值很大，由此得出的極限狀態(tài)方程大多是非線性的。

蒙特卡羅模擬法不受分析條件的限制，可以忽略其極限狀態(tài)方程的線性關(guān)系，是否屬正態(tài)分布，通過大量的模擬結(jié)果對(duì)此類土質(zhì)邊坡進(jìn)行精確的可靠度分析。Rosenblueth法則不宜應(yīng)用于此類非均質(zhì)邊坡中，由于其選取的狀態(tài)變量較少，土體的復(fù)雜分布會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果與實(shí)際差異較大，不能對(duì)土質(zhì)邊坡進(jìn)行準(zhǔn)確地判斷。

［1］祝玉學(xué)．邊坡可靠性分析［M］．北京:冶金工業(yè)出版社，1993．

［2］李 萍，王秉綱，李同錄，等．陜西地區(qū)黃土路塹高邊坡可靠度研究［J］．中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2009，22(6):18-25．

［3］王劉洋．Rosenblueth法在土坡穩(wěn)定可靠度分析中的應(yīng)用［J］．巖土工程技術(shù)，2005，19(2):72-74．

［4］唐亞明．基于可靠度的黃土斜坡穩(wěn)定性分析［J］．地質(zhì)通報(bào)，2008，27(8):1217-1222．