鐵路既有線縱斷面線形分段的優化算法

孟凡超，劉成龍，馬洪磊，張 強，秦 寧

(西南交通大學地球科學與環境工程學院，四川成都 610031)

鐵路既有線經過長期運營必然會產生變形，在縱斷面上一般表現為沉降變形。由于離心力的影響，鐵路豎曲線的沉降尤為嚴重。文獻[1]指出，鐵路提速后豎曲線地段軌道動態檢測時常出現超限值，影響旅客乘坐舒適度。為及時獲取既有線現狀的線形參數并對既有線進行整正，需定期對既有線進行復測。可采用全站儀結合軌檢小車對既有軌面進行三維坐標測量，依據復測數據對鐵路縱斷面參數進行優化。優化的首要步驟是要進行線形分段，傳統方法是依據測點正矢或曲率的變化規律，人工識別出線形分段點。

人工方法進行既有線鐵路線形分段靈活性較強，但在大量既有線線形外業觀測數據中，由于測量誤差的影響，分段精度較低。由于分段點的選擇偏差對于縱斷面圓曲線最小二乘法擬合結果敏感度較高[2]，較低的分段精度會影響后續工作。基于此，本文研究一種將正矢和最小二乘原理相結合的迭代算法。

1 縱斷面線形及其性質

鐵路縱斷面一般包括直線坡段和豎曲線兩種線形，二者是縱斷面線形的基本要素。兩縱坡線的交點稱為變坡點，為保證列車經過變坡點時軌道的平順性，當相鄰兩坡段坡度差大于一定限度時，需設置豎曲線連接。我國的鐵路縱斷面變坡點處一般設置圓曲線型豎曲線。

豎曲線按照凹凸性不同，可分為凹形、凸形兩種，如圖1，設變坡點相鄰兩縱坡的坡度分別為i1，i2，則坡度差w=i1－i2，w的正負與豎曲線的凹凸有關，w為正時稱為凸形豎曲線;反之，稱為凹形豎曲線。轉向角α=±(arctani1－arctani2)，豎曲線半徑R一般采用設計值或擬合值，由此可計算豎曲線諸要素，計算公式參見文獻[3]。

圖1 道路縱斷面線形示意

在鐵路縱斷面，分段點里程可通過變坡點里程按照公式(1)進行計算。

式中:LZY，LYZ為兩分段點(直圓點ZY、圓直點YZ)里程，LBP為變坡點的里程，T為圓曲線切線長。

2 線形參數的最小二乘法擬合

線路線形測點的高程觀測值是服從正態分布的隨機變量，依據最小二乘原理來擬合直線坡段和圓曲線，可以使各觀測點高程與擬合高程的偏差平方和達到最小。鐵路縱斷面上，觀測的離散點可用里程和高程表示出來，進而可以依據最小二乘準則，確定線形參數。

縱斷面線形參數主要包括直線坡段的斜率與截距和圓曲線的半徑與圓心。根據軌道實測點坐標和優化線形可計算出測點中線里程，結合測點的高程數據，對于相應線形的測點可依據最小二乘原理來計算其線形參數。考慮到縱斷面只需對高程進行平差計算，直線坡段的斜率與截距宜采用普通最小二乘法擬合，文獻[4]中有詳細的計算過程。圓曲線半徑與圓心的最小二乘法擬合可按照下面的步驟進行。

首先由位于圓曲線兩端和中部的3個點，求出圓曲線方程中的參數近似值X，Y，R0，這3點的里程和高程分別為 (X1，Y1)，(Xn/2，Yn/2)，(Xn，Yn)。設圓心坐標為(XO，YO)，半徑為R，可得如下關系式:

式(2)中，δX，δY，δR 為參數近似值改正數。依據最小二乘準則，若w為坡度差，則可得擬合圓曲線的誤差方程

將式(3)用泰勒級數展開并線性化，通過間接平差計算即可得到擬合圓曲線圓心坐標和半徑的最優解。

線形擬合完成后，可通過驗后單位權中誤差來對各線形的擬合效果進行分析，也可通過擬合殘差平方和對線形整體擬合效果進行分析。驗后單位權中誤差越小，相應線形擬合效果越好。驗后單位權中誤差為

式中，V為改正數向量，P為權陣，n為擬合點個數，t為參數的個數。

3 改進的基于正矢的分段方法

3.1 計算正矢

正矢計算簡圖如圖2所示，若以里程為橫軸、高程為縱軸建立直角坐標系，任取鐵路線上等間隔的3個測點，記為 j－ 1，j，j+1，則 3 點坐標為 (xj－1，yj－1)，(xj，yj)，(xj+1，yj+1)，x，y 分別表示測點的里程和高程。依據測點正矢的定義可得測點正矢fj的計算公式為

圖2 正矢計算簡圖

式中，αj為測點j對應弦長的傾角，也即轉向角。

若不考慮測量誤差和軌道變形的影響，理論上當正矢對應的弦線兩端點都處于同一種線形時，線形分段較為簡單，因為圓曲線上的測點在弦長一定時其正矢相等，直線坡段上的測點任何時候其正矢均為零;當計算正矢弦線的兩端處于不同線形時，直線坡段和圓曲線連接處附近測點一定弦長的正矢呈線性變化，并且直圓點、圓直點位于測點時其正矢為圓曲線正矢(記為f)的1/2。縱斷面線形一般為直線坡段—圓曲線—直線坡段的復合曲線，其測點正矢變化規律如圖3所示。

圖3 正矢變化規律

3.2 閾值與弦長的確定

實測數據由于受測量誤差的影響波動較大，線形分段閾值應易于與測點高程中誤差所引起的計算測點正矢誤差相區分。為便于分段，線形分段閾值又分為直線坡段上測點正矢閾值fl和圓曲線上測點正矢閾值fO。由于不考慮里程誤差的影響，且豎曲線轉向角一般為一較小值，依據誤差傳播定律，測點正矢的中誤差約為測點高程中誤差的倍。為便于線形分段閾值與其誤差進行區分，fl可取3倍的測點高程中誤差;又因為圓直點、直圓點位于測點時其正矢為圓曲線正矢f的1/2，所以fO可取圓曲線正矢的一半。為與直線坡段測點進行區分，可設置fO為fl的2倍。閾值確定后，測點所屬區段和閾值有如下關系:測點正矢＞fO時，測點位于圓曲線段上;測點正矢＜fl時，測點位于直線坡段上;其余測點位于分段點附近。fO確定后，進而大致確定圓曲線正矢f=2fO，再由式(7)確定弦長Lxc。

式中:R為圓曲線半徑設計值，應根據設計文件或線路設備臺賬來確定。

計算每個測點以Lxc為弦長的正矢，進而可得測點正矢變化規律圖。經試驗得出:弦長適中(如圖4中后兩段豎曲線附近)，測點正矢呈梯形變化;弦長過大(如圖4中前兩段豎曲線附近)，測點正矢呈三角形變化;弦長過小時(如圖5)，正矢變化雜亂無章。弦長適中或過大均可依據正矢實現分段，相比第一種情況分段效果更好，弦長過小時不能依據正矢進行分段。據此原則調整弦長，以便能夠通過正矢正確分離出屬于不同線形的測點。

圖4 易于分段的測點正矢圖像

圖5 不易分段的測點正矢圖像

3.3 線形分段算法

鐵路既有線經平面優化設計，根據軌道實測點坐標和優化線形可計算測點的中線里程，結合從外業觀測數據中提取的測點高程，建立里程、高程直角坐標系，依據二者的函數關系即可進行縱斷面的分段計算。算法步驟如下:

1)首先依據測量高程中誤差推算閾值，再計算圓曲線正矢，由圓曲線正矢按公式(7)計算弦長，進而搜索每個測點所對應弦長兩端的臨近測點，按照公式(5)計算復測曲線上該測點的正矢(兩端默認為直線坡段，測點正矢為0)，依據測點正矢圖像通過改變弦長來對測點正矢進行調整，直到利用該弦長下的測點正矢易于實現分段為止。

2)考慮到測點中可能存在由于測量粗差而引起的測點正矢與相鄰測點正矢相差較大的點，可通過比較差值是否超過了一定限值來判斷該點觀測值是否是粗差，并予以剔除。

3)依據測點正矢與線形的關系，分離出直線坡段上的測點，近似統計圓曲線上測點個數q，對直線坡段的測點進行最小二乘法擬合，由擬合出的線形參數計算變坡點和轉向角。

4)搜索曲線上距離變坡點最近的點，易知該點一定位于圓曲線上。選出該測點大里程方向和小里程方向各p個測點，用這些測點來擬合圓曲線參數，進而計算圓曲線要素。

5)按照公式(1)計算分段點里程，依據分段點里程區分出屬于直線坡段的測點和屬于圓曲線的測點，再次擬合直線坡段和圓曲線，重新計算變坡點、切線長和分段點，直到分段點坐標穩定為止。

6)分段后，運用相應線形的參數對直線坡段、圓曲線測點進行重新計算，可得到擬合后的任一測點里程對應的高程，依據公式(4)計算驗后單位權中誤差，進而對擬合效果進行分析。由于圓曲線線形參數對參與最小二乘法擬合的測點個數比較敏感，初值p對擬合效果影響較大。可依次增加p的個數，重復步驟(4)，(5)，(6)，計算每一次擬合的殘差平方和，取殘差平方和最小時的分段點坐標作為最終結果。

縱斷面分段計算流程如圖6所示。

圖6 縱斷面分段計算流程

4 算例

按照上述算法，應用Visual C#語言編制鐵路縱斷面豎曲線分段擬合計算程序，以石武線的一段設計數據及其加上隨機誤差(±2，±3，±4 mm)后的3組仿真數據對算法進行驗證，這段鐵路縱斷面是由5段直線坡段和4段圓曲線組成。基于以上算法，導入里程、高程數據后，輸出分段點的里程和高程。表1為不同仿真誤差下分段點里程設計值與計算值比較。可見，仿真誤差為±2 mm時，分段誤差絕對值最大為0.446 m，最小為0.033 m;仿真誤差為±3 mm時，分段誤差絕對值最大為0.453 m，最小為0.09 m;仿真誤差為±4 mm時，分段誤差絕對值最大為0.734 m，最小為0.025 m。而人工識別出的分段點誤差一般在10 m左右且不易控制。表2是各線形擬合后的驗后單位權中誤差。可見，仿真誤差為±2 mm時，驗后單位權中誤差最大值為1.212 mm;仿真誤差為 ±3 mm時，驗后單位權中誤差最大值為1.81 mm;仿真誤差為±4 mm時，驗后單位權中誤差最大值為2.352 mm。驗后單位權中誤差均小于仿真誤差，表明各線形擬合達到了較好的效果。

表1 不同仿真誤差下分段點里程設計值與計算值的比較

表2 各線形擬合驗后單位權中誤差 mm

5 結論

1)基于既有線的仿真數據，分析了縱斷面線形的特點和測點正矢的變化規律，建立了依據最小二乘原理對線形參數進行擬合的模型。

2)根據所建立的計算模型，按照起落道量平方和最小的原則，實現了線形分段點的自動識別。鐵路既有線縱斷面線形分段采用正矢與最小二乘擬合相結合的方法，提高了分段點的精度，易于計算機編程實現。該方法克服了傳統的基于曲率、正矢人工識別方法存在的分段點誤差不能控制的缺點，為既有線縱斷面的整正計算奠定了基礎。

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