基于內外部表征的數學高考應用題分析

葉 晶，陳清華

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基于內外部表征的數學高考應用題分析

葉 晶，陳清華

（福建師范大學數學與計算機科學學院，福建福州 350007）

在數學應用題的解決過程中，學生對問題表征方式的不同將影響學生對解題策略的選擇．表征分為內部表征與外部表征，外部表征對應用題解決的影響因素包括文字表征、符號表征、圖表表征、背景表征等；內部表征對應用題解決的影響因素包括概念表征、命題表征、概念圖表征以及圖式表征等．兩種表征具有不同的結構及特征，對應用題的解決具有不同的機制，通過內外部表征兩個方面對高考數學應用題的分析，認識內外部表征對應用題解決的具體作用．

數學高考應用題；內部表征；外部表征

《普通高中數學課程標準（實驗）》中提到：“高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其它學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力．”應用題以實際生活為背景，將數學知識生活化與實際問題數學化結合在一起．為體現這一課程基本理念，體現數學的應用性，高考試題中經常以應用題的形式考查學生的數學應用意識．

Mayer曾經提出數學問題解決的兩個重要成分：問題表征和解決計劃的執行．問題的表征方式以及問題的正確表征對解決計劃的選取產生影響．由于應用題的普遍特點是題干較長、信息量大，而且需要學生建模，因此在數學應用題的解決過程中，學生需要將問題進行表征以簡化問題并找到適當的解題策略，故表征在數學應用題解決過程中發揮重要作用．

美國現代認知心理學家西蒙認為：“表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦中是如何表現出來的．”

王兄提出：“在數學的發展史中，大部分工作是創建和完善表征系統，而數學教學的目的則大多是關注學生學習運用這些表征及以此為工具來解決數學問題．”

一般地，表征指的是用一種形式（物理的或心理的），將一種事、物、想法、知識重新表現出來，是學習者對信息的加工、建構以及儲存的方式．Zhang將表征分為內部表征和外部表征，傳統理論認為表征指的就是內部表征，或者很少將外部表征從內部表征中區分出來．通過Tic-Tac-Toe游戲，他認為外部表征不僅僅是對內部意識的輸入和刺激，也不僅僅是記憶助手；對于很多任務來說，外部表征是固有的元素，問題的外部表征方式對問題的解決產生影響，這種影響并不一定要通過內部表征實現．

下面將從外部表征與內部表征兩個方面對高考數學應用題進行分析．

1 外部表征對數學應用題的影響

Zhang提出外部表征的定義，他認為外部表征是情境的知識和結構，包括物理符號、物體、維度、外部規則、限制條件以及根植于物理結構中的關系．

1.1 文字表征對數學應用題的影響

Mayer曾經提出解決數學應用題的4個一般性認知過程，其中第一個過程是問題轉譯．問題轉譯指的是將問題的陳述性描述轉化為數學命題．研究者認為這是解決數學應用題最關鍵的一步，因為對試題所給信息進行理解、翻譯及外部表征是制定計劃的基礎，表征的正確與否決定采取策略的正確與否．

例1 （2012年高考江蘇卷理·17）如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．

（Ⅰ）求炮的最大射程；

（Ⅱ）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

【解析】本題已給出炮彈發射后的曲線方程及對應的函數圖象，第（Ⅰ）問求炮的最大射程，學生可以表征為曲線與軸相交的兩個交點之間的距離；第（Ⅱ）問中，學生根據題目要求將飛行物的運動軌跡表征為一條的直線；還需對“不超過”以及“可以擊中”進行重點表征：“不超過”即“最大值”，“可以擊中”就是“有交點”，在這樣文字的理解與表征下，該題的文本轉化為求

與

恰好有一個交點且該點在第一象限時橫坐標的值．在閱讀題目材料時，學生應先理解題目提供的信息，理解并表征題目中的重要字詞，在文字表征的作用下為解題策略的選擇提供依據．

1.2 符號表征對數學應用題的影響

數學語言一般由文字語言、圖表語言以及符號語言構成．符號語言相較于其它兩種語言的優點是避免羅嗦的文字敘述，拓展直觀圖形的想象空間．數學解題離不開數學符號，只有理解了符號所要表達的意義，以及該符號在題目中的特定含義才能為接下來的解題提供方向導航．因為符號語言高度的簡潔性、抽象性、概括性，邢強等認為學生在遇到含有大量符號或符號組合的應用題時符號表征出現障礙，難以將符號所代表的意思與文本內容進行一一對應，最終導致畏難情緒．

1.3 圖表表征對數學應用題的影響

圖表表征指的是用幾何圖形或表格的形式來表示具體的問題．在應用題的解決過程中，圖表表征的作用主要表現在將題目中的條件進行整理，以簡潔明了的方式表示出來，以視覺直觀的方式作用于學生，便于學生找到解決問題關鍵的數量關系，達到簡化問題的效果．

例2 （2012年高考四川卷理·9）某公司生產甲、乙兩種桶裝產品．已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克．每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元．公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克．通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）

A. 1?800元 B. 2?400元 C. 2?800元 D. 3?100元

【解析】本題求利潤的最大值，考查的是簡單線性規劃問題．文本中涉及到甲、乙兩種產品，、兩種原料以及兩種產品的利潤．在學生閱讀完文本內容后，發現關于甲、乙兩種產品所告知的信息是相似的，可將文本內容用表格形式表征出來，如下表所示：

產品原料A（千克）原料B（千克）利潤（元） 甲12300 乙21400

由于表格能直觀、形象、簡潔明了地表達數據間的關系，因此在表格的外部表征下，學生能輕松地根據表格中的數據列出解決問題的關系式，達到解決問題的目的．在圖表表征中經常用到的還有文氏圖、線段圖等．

1.4 背景表征對數學應用題的影響

弗賴登塔爾曾經提出“數學現實”的原則，他強調數學的應用性，“應該從數學與它所依附的學生親身體驗的現實之間去尋找聯系”．他認為數學來源于現實，也必須扎根于現實，并且應用于現實．數學教育如果脫離了那些豐富多彩而又錯綜復雜的背景材料，將成為“無源之水，無本之木”．同樣的道理，如果數學應用題脫離了現實生活，僅僅將“課本上的定理”與“應用題”結合，這樣的應用是狹隘的應用，有悖于《普通高中數學課程標準（實驗）》中十大理念之一“發展學生的數學應用意識”．因此在高考數學應用題的編制中，需要考慮背景的選用．

鮑建生提出具有實際背景的問題要求學生用數學的眼光看待現實生活中的問題．在解決帶有“現實”氣息的數學應用題中，學生應將現實問題“數學化”，這樣的解題有利于學生改變對數學的態度，認識到數學在現實生活中的重要作用，在現實生活中有效提高運用數學知識的能力．賦予現實問題數學的味道，將數學問題加以現實背景的加工，都符合學生日常數學認識觀．

2 內部表征對數學應用題的影響

內部表征指的是學習者記憶系統中自己建構的關于概念、命題、圖式以及其它類型的知識和結構．這樣的結構以及表征對于解題有什么作用呢？

波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本．良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要．”因為在某些情況下，過多的知識反而會成為學生的一種負擔，學生不能在眾多雜亂無章的知識點中找出有效的知識來解決問題．因此，學生大腦中建構的有序的、有條理的、有聯系的知識結構能作為向導為學生的解題提供幫助．

以下將從概念表征、命題表征、概念圖表征和圖式表征4個方面來說明內部表征對解決數學應用題的影響．

2.1 概念表征對數學應用題的影響

數學概念表征一般指的是數學概念的表達方式．通過對數學概念多角度、多層面的認識形成概念域．喻平對“概念域”進行細致地描述，他指出一個概念C的所有等價定義的圖式，叫做概念C的概念域．研究表明，學生對概念的表征過度依賴于表象表征，即過度借助對目標的知覺表象去了解或記憶某概念；學生對概念的表征往往通過“原型”或“樣例”方式表示．

例3 （2010年高考湖南卷理·19）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8 km的，兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過，兩點的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系（如圖）在直線的右側，考察范圍為到點的距離不超過km的區域；在直線的左側，考察范圍為到，兩點的距離之和不超過km的區域．

（Ⅰ）求考察區域邊界曲線的方程；

（Ⅱ）略．

【解析】本題的第（Ⅰ）問，學生可根據題目所給的信息和數據分別列出距離方程，及，兩個根式對學生的計算能力提出一定的考驗．學生若對橢圓的概念有較清晰的印象，即可判斷得出“在直線的左側，考察范圍為到、兩點的距離之和不超過km區域”是對橢圓定義的描述．

認知心理學的原型理論認為，概念是以實例來表征的，這種實例具有代表性特征，并“把那些具有表征數學本質屬性的最典型的標準實例稱為數學概念的原型．原型分為：實例原型、圖象原型、表達式原型”．學生對概念的表征方式具有“層次”性，一項研究表明，學生在表征概念時多采用概念意象，常常忽略概念的標準定義，即在學習橢圓的概念后，學生掌握比較牢固的是能根據橢圓的標準方程、圖形，或者利用橢圓的幾何性質來解題（圖象原型、表達式原型）．而對橢圓概念的第一定義，即本質定義（平面內與兩個定點、的距離之和為常數()的動點的軌跡）表征掌握不是很牢固．由于學生對概念的表象過度依賴，因此在本題中學生不能在沒有橢圓圖象的情況下根據橢圓的定義進行判斷并解題．若學生只能由概念的語言表征過度到概念的圖形表征，而不能逆推將難以判斷、是橢圓的兩個焦點進而影響本道題目的解決．由此可見，學生能否建立概念表征中的語言表征、圖形表征及形式化定義表征的聯系，會影響學生對概念的理解．

2.2 命題表征對數學應用題的影響

喻平曾提出命題域的概念，他認為若某個命題組中所有的命題都是等價的，那么這個等價命題網絡的圖式就稱為該命題的命題域．心理學研究表明，學生在學習與練習的基礎上，將知識編碼后以表象代碼及命題代碼的形式儲存在大腦中．學生在解決新問題的過程中，需要對大腦中儲存的知識進行提取和激活．命題網絡指的是由若干個有共同成分的命題彼此聯系組成．學生在學習不同知識模塊時可能涉及到同一個命題，學生若能在大腦中很好地建構這些知識點，構成命題表征的網絡，則能增強知識點之間的聯系并能提供多種解題策略，鍛煉開放性思維以及選擇最優解決策略的能力．

2.3 概念圖表征對數學應用題的影響

概念圖是由美國康奈爾大學的心理學家諾瓦克等人提出來的，它是一種用來組織和表征知識的工具，具體指的是將某一主題的相關概念或命題置于方框或圓圈中，再用連線連接，形成該主題的知識網絡．正是由于概念圖是利用節點代表概念、用連線和箭頭代表概念關系的知識結構圖，因此形象地呈現了各知識點之間的聯系．它可使學生利用自己的空間組織能力，建立概念之間的連接，將一種隱性的知識顯化，并且不僅能反應某一領域知識的系統性和完整性，也能反應不同領域知識的內在聯系，在數學學習中具有現實意義．通過知識的概念圖表征，學生能從系統上、整體上把握知識的結構，增進對概念的理解及增加解題的策略．

例5 （2009年高考福建卷理·19）如圖，某市擬在長為8 km的道路的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數

（I）略；

【解析】第（Ⅱ）問中已知三角形的一個角及角所對的邊，求另外兩個邊的最大值，涉及知識點較多．學生通過對三角形的邊、角、邊與角關系的回憶與提取，可得到如圖所示的概念圖表征：

本題已知三角形中的一個角及該角所對應的邊，如何將兩個已知量與剩余的4個未知量產生聯系，這就需要用到上圖中的三角關系、正弦定理和余弦定理，將與都轉化為與的關系，利用正弦函數的性質，求得的最大值．或者由余弦定理得出與的關系，利用均值不等式將其變形求得的最大值．

2.4 圖式表征對數學應用題的影響

康德最早提出“圖式”概念，現代圖式理論認為圖式指的是圍繞某一主題所組織起來的知識點的表征和貯存的方式．圖式在應用題的解決過程中，對問題情境的理解、對問題解決方法的獲取都產生一定的作用．Jitendra對學習不良兒童的應用題解決運用圖式教學法進行了有效的干預，并產生了良好的效果．研究表明，圖式在理解中有預測、選擇、記憶的作用；圖式還具有遷移的作用．

由于圖式將知識有條不紊的貯存在長時記憶中，有利于將知識濃縮成框架并組成大腦中的知識網絡，因此學生能迅速且正確地將問題進行內部表征，使問題清晰化．學生將知識圖式化后，根據圖式能推測出題目中未知或隱含的條件，圖式中的聯結詞還可能包含一定的解題策略和方法，有利于問題的解決．學生的圖式結構越完善，即知識間的連接越強、包攝性越廣，越有利于問題的內部表征，也就越有利于問題的解決，因此圖式在問題的解決中具有獨到的意義．張夏雨選用6個模板上的勾股定理問題為材料進行研究，得出學生在模板上的成績與學業水平相當，說明圖式在問題解決中不可忽視的作用．

因此，在應用題的教學過程中，教師應注重訓練學生對于應用題的外部表征以及內部表征，重視學生對知識的自我建構和組織．研究表明，內部表征與外部表征可以相互轉化．表征不是單一的起作用，特別是在應用題的解決過程中，需要將問題先進行外部表征，然后在內部表征的完善下解決應用題．由于表征形式的多樣性以及學生知識結構的差異性導致了表征的差異性，因此在教學過程中，教師應引導學生的表征取向，突出問題的本質特征，從多角度對應用題進行表征的訓練，進而增加學生解決問題的策略途徑．

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[責任編校：周學智]

Analysis of Mathematics Word Problems of College Entrance Examination Based on External Representations and Internal Representations

YE Jing, CHEN Qing-hua

(School of Mathematics and Computer Science, Fujian Normal University, Fujian Fuzhou 350007, China)

In the progress of answering mathematics word problems, the representations of question for each student will affect the choice of solution strategy they make. Representations are divided into internal representations and external representations. The effect factors from external representations are literal representation, symbolic representation, diagrammatic representation and background representation. The effect factors from internal expressions are concept representation, proposition representation, concept mapping representation, and schema representation. Two types of representations have different structures and features. Also, they have different mechanisms for mathematics word problems. By analysis mathematics word problems in the paper of college entrance examination from internal and external representations parts, we will have a solid understanding of the effect on word problems from internal and external representations.

mathematics word problems of college entrance examination; internal representations; external representations

G420

A

1004–9894（2014）04–0092–04

2014–03–09

國家自然科學基金項目——導出范疇的若干問題及應用研究（11071040）；福建省自然科學基金項目——Abel范疇的若干問題研究（2010J01001）；福建省教育廳資助項目——新課程背景下的高考命題改革研究（JA07031）；福建省財政廳資助項目——基于課標的數學科高考命題改革與評價研究（閩財指（2013）564號）

葉晶（1989—），女，福建福州人，碩士研究生，主要從事考試命題研究、教師專業發展研究和高觀中數研究．陳清華為本文通訊作者．