一階線性微分方程的求解技巧

魏建剛

（平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院文化教育部，河南 平頂山 467001）

一階線性微分方程的求解技巧

魏建剛

（平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院文化教育部，河南 平頂山 467001）

本文主要介紹了一階線性微分方程的三種解法：常數(shù)變易法，積分因子法，變量替換法。通過這些方法的介紹，學(xué)生可根據(jù)自己的喜好選擇不同的解題方法，這樣既豐富了學(xué)生的解題思路，又培養(yǎng)了學(xué)生的鉆研能力。

常數(shù)變易法；積分因子法；變量替換法

一階線性微分方程在實際中有著廣泛的應(yīng)用，在很多領(lǐng)域內(nèi)都起著十分重要的作用。下面介紹一階線性微分方程的一些求解技巧。

的微分方程稱之為一階線性微分方程，其中P（x），Q（x）在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)。

稱之為一階齊次線性方程

若Q（x）≠0，方程（1）稱為一階非齊次線性方程

方程（2）是一個變量分離方程，它的通解為y=Ce?P（x）dx，這里C為任意常數(shù)。一階齊次線性方程的解法已經(jīng)成熟，這里就不再詳細(xì)贅述。接下來重點介紹一階非齊次線性方程的解法。

1 常數(shù)變易法

觀察方程（1）和（2），不難發(fā)現(xiàn)二者既有相似之處，又有不同。顯然方程（2）的通解不是方程（1）的解，不妨將方程（2）的解y=Ce?P（x）dx中的常數(shù)C變易為待定函數(shù)C（x），并使它滿足方程（1），從而求出C（x）。為此，

因為方程（3）滿足方程（1），那么有

將（4）代入（3）即得方程（1）的通解為

常數(shù)變易法是解一階非齊次線性微分方程的重要方法，在學(xué)多教材都有提到，但是該方法中把一階齊次線性方程的解中任意常數(shù)C變易成待定函數(shù)C（x），使之成為一階非齊次線性方程的解，令很多同學(xué)大感疑惑。接下來我們就通過介紹另外一種解法來規(guī)避這種疑惑。

2 積分因子法

將方程（1）改寫成

根據(jù)恰當(dāng)方程中的敘述，可令M=P（x）y+Q（x），N=-1

根據(jù)微分的性質(zhì)，可將上式寫成

積分因子法是建立在積分和微分知識基礎(chǔ)上的一種解法，借助積分因子將一個一階非齊次線性方程化成全微分的方程，進而利用積分求解。接下來看看能否從導(dǎo)數(shù)的知識中尋求解法。

3 變量替換法

此時y對x的導(dǎo)數(shù)就變?yōu)閡對x的導(dǎo)數(shù)和v對x的導(dǎo)數(shù)。將（6）代入方程（1），化簡得

變量替換法實際上是通過變量替換把一個不能直接分離變量的微分方程化成兩個可以直接分離變量的微分方程，簡單明了，學(xué)生也更容易掌握和理解。

[1]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程[M]，北京：高等教育出版社.

[2]鄭豐杰.論一階線性微分方程中的常數(shù)變易法[J]，理論廣角，2007.

[3]陳偉.解一階線性常微分方程的積分因子法[J]，高等數(shù)學(xué)研究，2008.

O175

A

1671-0037（2014）05-110-1

魏建剛（1984.9-），理學(xué)碩士，應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。