培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)解題能力的一些做法

文/陳佛伙

摘 要：培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)解題能力要抓好基礎(chǔ)知識的教學(xué)，精選習(xí)題，講解舉一反三，使學(xué)生熟悉基本的解題和思維方法，養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；學(xué)生；解題能力

提高學(xué)生的解題能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)十分重要的任務(wù)，學(xué)生解題能力的強(qiáng)弱在很大程度上決定了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低。但是我們知道：提高數(shù)學(xué)解題能力是一項(xiàng)長期復(fù)雜的系統(tǒng)工程，它與學(xué)生的學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法密切相關(guān)，同時(shí)也與所任教教師的教學(xué)態(tài)度、教學(xué)能力、教學(xué)方法密切相關(guān)。那么， 如何才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力呢？從具體方法上講，筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面入手：

一、抓好概念、定義、定理、公式等基礎(chǔ)知識的教學(xué)

數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識和基本技能是解題思路的源泉，離開了它們，解題就成了無本之木，無源之水。例如，對于定義的講解，教師不僅要講清定義的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生弄清定義與定義之間的區(qū)別與聯(lián)系，還要鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，允許學(xué)生提出自己的不同意見。如，我在講解等腰梯形的定義時(shí)，有一位學(xué)生舉手提問：“老師，我想到了一個(gè)問題，可不可以說一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形就是等腰梯形。因?yàn)橐唤M對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形，而不平行的兩邊叫做腰。只要腰相等就能成為等腰梯形，所以我認(rèn)為另外一組對邊相等就可以成為等腰梯形。老師您說我這樣的理解，對嗎？”聽了學(xué)生的一番話后，我沒有直接說對與錯(cuò)，而是先表揚(yáng)他：“XX同學(xué)提出這個(gè)問題說明他獨(dú)立地思考了，老師感到很高興，希望全班的同學(xué)都要向他這種積極思考的精神學(xué)習(xí)！”然后又對全班同學(xué)說：“同學(xué)們，現(xiàn)在我們就來探討一下究竟怎樣的四邊形才是等腰梯形，大家先動(dòng)手畫一個(gè)四邊形，要求這個(gè)四邊形是一組對邊平行，另一組對邊相等，然后四人為一個(gè)小組，看一看你們畫的這個(gè)四邊形是否一定是等腰梯形？看看哪個(gè)小組最快有自己的意見出來。”全班同學(xué)都興致勃勃地動(dòng)手畫圖、討論，幾分鐘后不同小組的代表都紛紛發(fā)表自己小組的意見，有的說可以畫出的是等腰梯形，有的說可以畫出的是平行四邊形，有的說兩種都可以畫的到。通過代表們的發(fā)言，最后大家發(fā)現(xiàn)原來剛才那位提問的同學(xué)的理解還不夠全面，應(yīng)該這樣說才對：一組對邊平行，另一組不平行的對邊相等的四邊形才是等腰梯形。雖然討論多花費(fèi)了幾分鐘的教學(xué)時(shí)間，但是此舉在學(xué)生腦海中留下的印象會(huì)比教師直接講授深刻得多。

二、精選習(xí)題，講解舉一反三

初中生的解題模式仍較依賴教者平時(shí)上課講授的解題模式、思路和步驟。因此，我們要充分利用習(xí)題，力圖實(shí)現(xiàn)解題的類化。選題在精不在多，同時(shí)還應(yīng)考慮習(xí)題的典型性、探索性、多解性和拓展性。而教師在講解時(shí)可采用以下方法：

１.一題多問

同一道題，從不同的角度出發(fā)，可以提出不同的問題。如，“已知菱形的兩條對角線的長分別是4 cm、8 cm，求它的邊長？”這是一道較簡單的題目，教學(xué)中教師往往會(huì)因?qū)W生容易解答，而一晃而過，忽視了對學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練。對于這樣的題型，教師還應(yīng)變換出新的問題：（１）求它的周長？（２）求它的面積？這樣，可以起到“以一當(dāng)十”的教學(xué)效果。像同一道題，教師還可以從分析上多提問，從檢驗(yàn)上多提問，進(jìn)行多問啟思訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)習(xí)思維的靈活性。

２.一題多解

在解題時(shí)，要經(jīng)常注意引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面探求解題途徑，從而尋找出最佳解法。如，一道習(xí)題：如圖，AB=CD，且∠DCA=∠BAC，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？

解：方法1：∵AB=CD，∠DCA=∠BAC，AC=CA，

∴△ABC≌△CDA（SAS）

∴∠DAC=∠BCA

∴AD∥BC

∵∠DCA=∠BAC

∴AB∥CD

又∵AD∥BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

方法2：∵AB=CD，∠DCA=∠BAC，AC=CA

∴△ABC≌△CDA（SAS）

∴AD=BC

又∵AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

方法3：∵∠DCA=∠BAC

∴AB∥CD

又∵AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

方法4：還可以連接另一條對角線，通過三角形全等推出兩條對角線互相平分，再加以判斷。

上面四種解法充分顯示了學(xué)生思維的靈活性，針對這些解法，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生比較四種方法的異同點(diǎn)，通過對比使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，顯然是方法3更直接、更簡潔。通過解法的對比不僅使學(xué)生鞏固了所學(xué)的定義、定理，而且能使他們在今后的解題中選擇較簡便的方法，從而節(jié)省了時(shí)間，提高了解題的效率。

3.一題多變

初中生解題時(shí)，往往受解題動(dòng)機(jī)的影響，因局部感知而干擾整體的認(rèn)識。例如，“■的算術(shù)平方根是_____”往往由于“平方根”兩字與學(xué)生的解題動(dòng)機(jī)發(fā)生共鳴，忽視了■，而很容易得出“4”或者“±4”的錯(cuò)解。要消除類似的干擾，就必須進(jìn)行一些一題多變的訓(xùn)練。如此題可以變形為：①16的平方根是______，②16的算術(shù)平方根是_____，③■的平方根是_____。我在任教的兩個(gè)班做了一次實(shí)踐統(tǒng)計(jì)，學(xué)生剛做這道題的錯(cuò)誤率在７５％以上。經(jīng)過后面幾道變式題的訓(xùn)練后，再進(jìn)行同樣類型題目的小測驗(yàn)，錯(cuò)誤率下降到20%。

通過上面一題多問、一題多解、一題多變等變式訓(xùn)練，使學(xué)生達(dá)到鞏固與深化所學(xué)知識，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，并且增強(qiáng)了他們思維的靈活性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性。但是，變題訓(xùn)練要注意掌握一個(gè)原則，就是要在學(xué)生較牢固地掌握法則、公式的前提下來進(jìn)行訓(xùn)練。否則，將淡化思維定式的積極作用，不利于學(xué)生牢固地掌握知識。

三、掌握基本的解題及思維方法

再復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題也是由一些基本的解題方法組成的，只有熟練掌握基本的解題方法，才有可能提高解題能力。如，教師在講解因式分解的時(shí)候，只有使學(xué)生熟悉因式分解的基本解題方法，如提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，才能更好地解題。教師可以有針對性地出一些相應(yīng)的練習(xí)對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使他們經(jīng)歷模仿、運(yùn)用、活用幾個(gè)階段，從而對因式的分解做到游刃有余。

而在實(shí)施解題中，最困難的就是解題思路的發(fā)現(xiàn)。思路的發(fā)現(xiàn)，歸根到底是由“方法”引路的。教學(xué)中要注意基本思想方法的分析和評述，使學(xué)生掌握綜合法、分析法、比較法、反證法、窮舉法、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法等，在解特殊方程時(shí)，要掌握換元法、圖象法、綜合除法等。在運(yùn)用這些基本方法時(shí)，還有許多基本的規(guī)律。例如，在講解“相交線與平行線”中的“三線八角”教學(xué)中，由于圖形比較復(fù)雜，學(xué)生不易找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，可以總結(jié)出同位角找字母“F”，內(nèi)錯(cuò)角找字母“N”，同旁內(nèi)角找字母“U”。教師在教學(xué)中還要充分展示這些方法的運(yùn)用，使學(xué)生理解和熟練掌握，以便在今后解決習(xí)題時(shí)學(xué)生自己能獨(dú)立地去發(fā)現(xiàn)這些思路。

四、養(yǎng)成學(xué)生解題后的反思習(xí)慣

解題心理學(xué)的規(guī)律告訴我們，學(xué)生在解題過程中可能百思不解，而后又有可能突然頓悟。此時(shí)的思維具有很大的直覺性。往往這個(gè)時(shí)候?qū)W生有可能只顧解題而顧及不到對自己的思維過程進(jìn)行分析、整理。事實(shí)上，如果能在正確的解題后進(jìn)行反思，總結(jié)出解題的方法，對以后解決同類型的題目及拓寬思路、提高解題決策能力都是十分重要的。同時(shí)，我們還要對習(xí)題中的錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，這樣會(huì)對正確的解法認(rèn)識得更深刻。例如，在解方程2x2＝4時(shí)，學(xué)生時(shí)常會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：2x＝2→x＝1。通過教師評講，學(xué)生知道自己的答案有誤，此時(shí)教師還應(yīng)讓學(xué)生回憶一下當(dāng)時(shí)自己做題時(shí)是如何想的，分析自己出錯(cuò)的原因：（1）把2x2看作是（2x）2，認(rèn)為指數(shù)2的底數(shù)是2x，直接兩邊開方；（2）沒有深刻理解一個(gè)正數(shù)的平方根一定有兩個(gè)，一正一負(fù)，漏了負(fù)的平方根。實(shí)踐證明，解題后反思能讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識到在哪個(gè)知識點(diǎn)上掌握得不牢固及總結(jié)出自己思維受阻、解法錯(cuò)誤的原因所在，這比重復(fù)多做一次同樣類型的題目效果會(huì)更明顯。

綜上所述，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)解題能力，就要抓好基礎(chǔ)知識的教學(xué)，精選習(xí)題，講解舉一反三，使學(xué)生熟悉基本的解題和思維方法，養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣。此外，我們還要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)習(xí)慣等因素對提高解題能力的影響，注意課后與學(xué)生接觸和交流，根據(jù)具體情況做針對性的指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

［1］王建華.提高學(xué)生的運(yùn)算能力.科技資訊，2007（11）.

［2］山人．?dāng)?shù)學(xué)的探究與欣賞．信息技術(shù)教育，2004（02）.

［3］代普杰.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的方法探討.中國現(xiàn)代教育裝備，2010（14）.

編輯 謝尾合

endprint

摘 要：培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)解題能力要抓好基礎(chǔ)知識的教學(xué)，精選習(xí)題，講解舉一反三，使學(xué)生熟悉基本的解題和思維方法，養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；學(xué)生；解題能力

提高學(xué)生的解題能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)十分重要的任務(wù)，學(xué)生解題能力的強(qiáng)弱在很大程度上決定了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低。但是我們知道：提高數(shù)學(xué)解題能力是一項(xiàng)長期復(fù)雜的系統(tǒng)工程，它與學(xué)生的學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法密切相關(guān)，同時(shí)也與所任教教師的教學(xué)態(tài)度、教學(xué)能力、教學(xué)方法密切相關(guān)。那么， 如何才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力呢？從具體方法上講，筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面入手：

一、抓好概念、定義、定理、公式等基礎(chǔ)知識的教學(xué)

數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識和基本技能是解題思路的源泉，離開了它們，解題就成了無本之木，無源之水。例如，對于定義的講解，教師不僅要講清定義的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生弄清定義與定義之間的區(qū)別與聯(lián)系，還要鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，允許學(xué)生提出自己的不同意見。如，我在講解等腰梯形的定義時(shí)，有一位學(xué)生舉手提問：“老師，我想到了一個(gè)問題，可不可以說一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形就是等腰梯形。因?yàn)橐唤M對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形，而不平行的兩邊叫做腰。只要腰相等就能成為等腰梯形，所以我認(rèn)為另外一組對邊相等就可以成為等腰梯形。老師您說我這樣的理解，對嗎？”聽了學(xué)生的一番話后，我沒有直接說對與錯(cuò)，而是先表揚(yáng)他：“XX同學(xué)提出這個(gè)問題說明他獨(dú)立地思考了，老師感到很高興，希望全班的同學(xué)都要向他這種積極思考的精神學(xué)習(xí)！”然后又對全班同學(xué)說：“同學(xué)們，現(xiàn)在我們就來探討一下究竟怎樣的四邊形才是等腰梯形，大家先動(dòng)手畫一個(gè)四邊形，要求這個(gè)四邊形是一組對邊平行，另一組對邊相等，然后四人為一個(gè)小組，看一看你們畫的這個(gè)四邊形是否一定是等腰梯形？看看哪個(gè)小組最快有自己的意見出來。”全班同學(xué)都興致勃勃地動(dòng)手畫圖、討論，幾分鐘后不同小組的代表都紛紛發(fā)表自己小組的意見，有的說可以畫出的是等腰梯形，有的說可以畫出的是平行四邊形，有的說兩種都可以畫的到。通過代表們的發(fā)言，最后大家發(fā)現(xiàn)原來剛才那位提問的同學(xué)的理解還不夠全面，應(yīng)該這樣說才對：一組對邊平行，另一組不平行的對邊相等的四邊形才是等腰梯形。雖然討論多花費(fèi)了幾分鐘的教學(xué)時(shí)間，但是此舉在學(xué)生腦海中留下的印象會(huì)比教師直接講授深刻得多。

二、精選習(xí)題，講解舉一反三

初中生的解題模式仍較依賴教者平時(shí)上課講授的解題模式、思路和步驟。因此，我們要充分利用習(xí)題，力圖實(shí)現(xiàn)解題的類化。選題在精不在多，同時(shí)還應(yīng)考慮習(xí)題的典型性、探索性、多解性和拓展性。而教師在講解時(shí)可采用以下方法：

１.一題多問

同一道題，從不同的角度出發(fā)，可以提出不同的問題。如，“已知菱形的兩條對角線的長分別是4 cm、8 cm，求它的邊長？”這是一道較簡單的題目，教學(xué)中教師往往會(huì)因?qū)W生容易解答，而一晃而過，忽視了對學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練。對于這樣的題型，教師還應(yīng)變換出新的問題：（１）求它的周長？（２）求它的面積？這樣，可以起到“以一當(dāng)十”的教學(xué)效果。像同一道題，教師還可以從分析上多提問，從檢驗(yàn)上多提問，進(jìn)行多問啟思訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)習(xí)思維的靈活性。

２.一題多解

在解題時(shí)，要經(jīng)常注意引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面探求解題途徑，從而尋找出最佳解法。如，一道習(xí)題：如圖，AB=CD，且∠DCA=∠BAC，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？

解：方法1：∵AB=CD，∠DCA=∠BAC，AC=CA，

∴△ABC≌△CDA（SAS）

∴∠DAC=∠BCA

∴AD∥BC

∵∠DCA=∠BAC

∴AB∥CD

又∵AD∥BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

方法2：∵AB=CD，∠DCA=∠BAC，AC=CA

∴△ABC≌△CDA（SAS）

∴AD=BC

又∵AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

方法3：∵∠DCA=∠BAC

∴AB∥CD

又∵AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

方法4：還可以連接另一條對角線，通過三角形全等推出兩條對角線互相平分，再加以判斷。

上面四種解法充分顯示了學(xué)生思維的靈活性，針對這些解法，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生比較四種方法的異同點(diǎn)，通過對比使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，顯然是方法3更直接、更簡潔。通過解法的對比不僅使學(xué)生鞏固了所學(xué)的定義、定理，而且能使他們在今后的解題中選擇較簡便的方法，從而節(jié)省了時(shí)間，提高了解題的效率。

3.一題多變

初中生解題時(shí)，往往受解題動(dòng)機(jī)的影響，因局部感知而干擾整體的認(rèn)識。例如，“■的算術(shù)平方根是_____”往往由于“平方根”兩字與學(xué)生的解題動(dòng)機(jī)發(fā)生共鳴，忽視了■，而很容易得出“4”或者“±4”的錯(cuò)解。要消除類似的干擾，就必須進(jìn)行一些一題多變的訓(xùn)練。如此題可以變形為：①16的平方根是______，②16的算術(shù)平方根是_____，③■的平方根是_____。我在任教的兩個(gè)班做了一次實(shí)踐統(tǒng)計(jì)，學(xué)生剛做這道題的錯(cuò)誤率在７５％以上。經(jīng)過后面幾道變式題的訓(xùn)練后，再進(jìn)行同樣類型題目的小測驗(yàn)，錯(cuò)誤率下降到20%。

通過上面一題多問、一題多解、一題多變等變式訓(xùn)練，使學(xué)生達(dá)到鞏固與深化所學(xué)知識，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，并且增強(qiáng)了他們思維的靈活性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性。但是，變題訓(xùn)練要注意掌握一個(gè)原則，就是要在學(xué)生較牢固地掌握法則、公式的前提下來進(jìn)行訓(xùn)練。否則，將淡化思維定式的積極作用，不利于學(xué)生牢固地掌握知識。

三、掌握基本的解題及思維方法

再復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題也是由一些基本的解題方法組成的，只有熟練掌握基本的解題方法，才有可能提高解題能力。如，教師在講解因式分解的時(shí)候，只有使學(xué)生熟悉因式分解的基本解題方法，如提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，才能更好地解題。教師可以有針對性地出一些相應(yīng)的練習(xí)對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使他們經(jīng)歷模仿、運(yùn)用、活用幾個(gè)階段，從而對因式的分解做到游刃有余。

而在實(shí)施解題中，最困難的就是解題思路的發(fā)現(xiàn)。思路的發(fā)現(xiàn)，歸根到底是由“方法”引路的。教學(xué)中要注意基本思想方法的分析和評述，使學(xué)生掌握綜合法、分析法、比較法、反證法、窮舉法、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法等，在解特殊方程時(shí)，要掌握換元法、圖象法、綜合除法等。在運(yùn)用這些基本方法時(shí)，還有許多基本的規(guī)律。例如，在講解“相交線與平行線”中的“三線八角”教學(xué)中，由于圖形比較復(fù)雜，學(xué)生不易找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，可以總結(jié)出同位角找字母“F”，內(nèi)錯(cuò)角找字母“N”，同旁內(nèi)角找字母“U”。教師在教學(xué)中還要充分展示這些方法的運(yùn)用，使學(xué)生理解和熟練掌握，以便在今后解決習(xí)題時(shí)學(xué)生自己能獨(dú)立地去發(fā)現(xiàn)這些思路。

四、養(yǎng)成學(xué)生解題后的反思習(xí)慣

解題心理學(xué)的規(guī)律告訴我們，學(xué)生在解題過程中可能百思不解，而后又有可能突然頓悟。此時(shí)的思維具有很大的直覺性。往往這個(gè)時(shí)候?qū)W生有可能只顧解題而顧及不到對自己的思維過程進(jìn)行分析、整理。事實(shí)上，如果能在正確的解題后進(jìn)行反思，總結(jié)出解題的方法，對以后解決同類型的題目及拓寬思路、提高解題決策能力都是十分重要的。同時(shí)，我們還要對習(xí)題中的錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，這樣會(huì)對正確的解法認(rèn)識得更深刻。例如，在解方程2x2＝4時(shí)，學(xué)生時(shí)常會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：2x＝2→x＝1。通過教師評講，學(xué)生知道自己的答案有誤，此時(shí)教師還應(yīng)讓學(xué)生回憶一下當(dāng)時(shí)自己做題時(shí)是如何想的，分析自己出錯(cuò)的原因：（1）把2x2看作是（2x）2，認(rèn)為指數(shù)2的底數(shù)是2x，直接兩邊開方；（2）沒有深刻理解一個(gè)正數(shù)的平方根一定有兩個(gè)，一正一負(fù)，漏了負(fù)的平方根。實(shí)踐證明，解題后反思能讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識到在哪個(gè)知識點(diǎn)上掌握得不牢固及總結(jié)出自己思維受阻、解法錯(cuò)誤的原因所在，這比重復(fù)多做一次同樣類型的題目效果會(huì)更明顯。

綜上所述，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)解題能力，就要抓好基礎(chǔ)知識的教學(xué)，精選習(xí)題，講解舉一反三，使學(xué)生熟悉基本的解題和思維方法，養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣。此外，我們還要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)習(xí)慣等因素對提高解題能力的影響，注意課后與學(xué)生接觸和交流，根據(jù)具體情況做針對性的指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

［1］王建華.提高學(xué)生的運(yùn)算能力.科技資訊，2007（11）.

［2］山人．?dāng)?shù)學(xué)的探究與欣賞．信息技術(shù)教育，2004（02）.

［3］代普杰.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的方法探討.中國現(xiàn)代教育裝備，2010（14）.

編輯 謝尾合

endprint

摘 要：培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)解題能力要抓好基礎(chǔ)知識的教學(xué)，精選習(xí)題，講解舉一反三，使學(xué)生熟悉基本的解題和思維方法，養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；學(xué)生；解題能力

提高學(xué)生的解題能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)十分重要的任務(wù)，學(xué)生解題能力的強(qiáng)弱在很大程度上決定了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低。但是我們知道：提高數(shù)學(xué)解題能力是一項(xiàng)長期復(fù)雜的系統(tǒng)工程，它與學(xué)生的學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法密切相關(guān)，同時(shí)也與所任教教師的教學(xué)態(tài)度、教學(xué)能力、教學(xué)方法密切相關(guān)。那么， 如何才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力呢？從具體方法上講，筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面入手：

一、抓好概念、定義、定理、公式等基礎(chǔ)知識的教學(xué)

數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識和基本技能是解題思路的源泉，離開了它們，解題就成了無本之木，無源之水。例如，對于定義的講解，教師不僅要講清定義的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生弄清定義與定義之間的區(qū)別與聯(lián)系，還要鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，允許學(xué)生提出自己的不同意見。如，我在講解等腰梯形的定義時(shí)，有一位學(xué)生舉手提問：“老師，我想到了一個(gè)問題，可不可以說一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形就是等腰梯形。因?yàn)橐唤M對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形，而不平行的兩邊叫做腰。只要腰相等就能成為等腰梯形，所以我認(rèn)為另外一組對邊相等就可以成為等腰梯形。老師您說我這樣的理解，對嗎？”聽了學(xué)生的一番話后，我沒有直接說對與錯(cuò)，而是先表揚(yáng)他：“XX同學(xué)提出這個(gè)問題說明他獨(dú)立地思考了，老師感到很高興，希望全班的同學(xué)都要向他這種積極思考的精神學(xué)習(xí)！”然后又對全班同學(xué)說：“同學(xué)們，現(xiàn)在我們就來探討一下究竟怎樣的四邊形才是等腰梯形，大家先動(dòng)手畫一個(gè)四邊形，要求這個(gè)四邊形是一組對邊平行，另一組對邊相等，然后四人為一個(gè)小組，看一看你們畫的這個(gè)四邊形是否一定是等腰梯形？看看哪個(gè)小組最快有自己的意見出來。”全班同學(xué)都興致勃勃地動(dòng)手畫圖、討論，幾分鐘后不同小組的代表都紛紛發(fā)表自己小組的意見，有的說可以畫出的是等腰梯形，有的說可以畫出的是平行四邊形，有的說兩種都可以畫的到。通過代表們的發(fā)言，最后大家發(fā)現(xiàn)原來剛才那位提問的同學(xué)的理解還不夠全面，應(yīng)該這樣說才對：一組對邊平行，另一組不平行的對邊相等的四邊形才是等腰梯形。雖然討論多花費(fèi)了幾分鐘的教學(xué)時(shí)間，但是此舉在學(xué)生腦海中留下的印象會(huì)比教師直接講授深刻得多。

二、精選習(xí)題，講解舉一反三

初中生的解題模式仍較依賴教者平時(shí)上課講授的解題模式、思路和步驟。因此，我們要充分利用習(xí)題，力圖實(shí)現(xiàn)解題的類化。選題在精不在多，同時(shí)還應(yīng)考慮習(xí)題的典型性、探索性、多解性和拓展性。而教師在講解時(shí)可采用以下方法：

１.一題多問

同一道題，從不同的角度出發(fā)，可以提出不同的問題。如，“已知菱形的兩條對角線的長分別是4 cm、8 cm，求它的邊長？”這是一道較簡單的題目，教學(xué)中教師往往會(huì)因?qū)W生容易解答，而一晃而過，忽視了對學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練。對于這樣的題型，教師還應(yīng)變換出新的問題：（１）求它的周長？（２）求它的面積？這樣，可以起到“以一當(dāng)十”的教學(xué)效果。像同一道題，教師還可以從分析上多提問，從檢驗(yàn)上多提問，進(jìn)行多問啟思訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)習(xí)思維的靈活性。

２.一題多解

在解題時(shí)，要經(jīng)常注意引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面探求解題途徑，從而尋找出最佳解法。如，一道習(xí)題：如圖，AB=CD，且∠DCA=∠BAC，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？

解：方法1：∵AB=CD，∠DCA=∠BAC，AC=CA，

∴△ABC≌△CDA（SAS）

∴∠DAC=∠BCA

∴AD∥BC

∵∠DCA=∠BAC

∴AB∥CD

又∵AD∥BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

方法2：∵AB=CD，∠DCA=∠BAC，AC=CA

∴△ABC≌△CDA（SAS）

∴AD=BC

又∵AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

方法3：∵∠DCA=∠BAC

∴AB∥CD

又∵AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

方法4：還可以連接另一條對角線，通過三角形全等推出兩條對角線互相平分，再加以判斷。

上面四種解法充分顯示了學(xué)生思維的靈活性，針對這些解法，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生比較四種方法的異同點(diǎn)，通過對比使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，顯然是方法3更直接、更簡潔。通過解法的對比不僅使學(xué)生鞏固了所學(xué)的定義、定理，而且能使他們在今后的解題中選擇較簡便的方法，從而節(jié)省了時(shí)間，提高了解題的效率。

3.一題多變

初中生解題時(shí)，往往受解題動(dòng)機(jī)的影響，因局部感知而干擾整體的認(rèn)識。例如，“■的算術(shù)平方根是_____”往往由于“平方根”兩字與學(xué)生的解題動(dòng)機(jī)發(fā)生共鳴，忽視了■，而很容易得出“4”或者“±4”的錯(cuò)解。要消除類似的干擾，就必須進(jìn)行一些一題多變的訓(xùn)練。如此題可以變形為：①16的平方根是______，②16的算術(shù)平方根是_____，③■的平方根是_____。我在任教的兩個(gè)班做了一次實(shí)踐統(tǒng)計(jì)，學(xué)生剛做這道題的錯(cuò)誤率在７５％以上。經(jīng)過后面幾道變式題的訓(xùn)練后，再進(jìn)行同樣類型題目的小測驗(yàn)，錯(cuò)誤率下降到20%。

通過上面一題多問、一題多解、一題多變等變式訓(xùn)練，使學(xué)生達(dá)到鞏固與深化所學(xué)知識，提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力，并且增強(qiáng)了他們思維的靈活性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性。但是，變題訓(xùn)練要注意掌握一個(gè)原則，就是要在學(xué)生較牢固地掌握法則、公式的前提下來進(jìn)行訓(xùn)練。否則，將淡化思維定式的積極作用，不利于學(xué)生牢固地掌握知識。

三、掌握基本的解題及思維方法

再復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題也是由一些基本的解題方法組成的，只有熟練掌握基本的解題方法，才有可能提高解題能力。如，教師在講解因式分解的時(shí)候，只有使學(xué)生熟悉因式分解的基本解題方法，如提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，才能更好地解題。教師可以有針對性地出一些相應(yīng)的練習(xí)對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使他們經(jīng)歷模仿、運(yùn)用、活用幾個(gè)階段，從而對因式的分解做到游刃有余。

而在實(shí)施解題中，最困難的就是解題思路的發(fā)現(xiàn)。思路的發(fā)現(xiàn)，歸根到底是由“方法”引路的。教學(xué)中要注意基本思想方法的分析和評述，使學(xué)生掌握綜合法、分析法、比較法、反證法、窮舉法、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法等，在解特殊方程時(shí)，要掌握換元法、圖象法、綜合除法等。在運(yùn)用這些基本方法時(shí)，還有許多基本的規(guī)律。例如，在講解“相交線與平行線”中的“三線八角”教學(xué)中，由于圖形比較復(fù)雜，學(xué)生不易找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，可以總結(jié)出同位角找字母“F”，內(nèi)錯(cuò)角找字母“N”，同旁內(nèi)角找字母“U”。教師在教學(xué)中還要充分展示這些方法的運(yùn)用，使學(xué)生理解和熟練掌握，以便在今后解決習(xí)題時(shí)學(xué)生自己能獨(dú)立地去發(fā)現(xiàn)這些思路。

四、養(yǎng)成學(xué)生解題后的反思習(xí)慣

解題心理學(xué)的規(guī)律告訴我們，學(xué)生在解題過程中可能百思不解，而后又有可能突然頓悟。此時(shí)的思維具有很大的直覺性。往往這個(gè)時(shí)候?qū)W生有可能只顧解題而顧及不到對自己的思維過程進(jìn)行分析、整理。事實(shí)上，如果能在正確的解題后進(jìn)行反思，總結(jié)出解題的方法，對以后解決同類型的題目及拓寬思路、提高解題決策能力都是十分重要的。同時(shí)，我們還要對習(xí)題中的錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，這樣會(huì)對正確的解法認(rèn)識得更深刻。例如，在解方程2x2＝4時(shí)，學(xué)生時(shí)常會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：2x＝2→x＝1。通過教師評講，學(xué)生知道自己的答案有誤，此時(shí)教師還應(yīng)讓學(xué)生回憶一下當(dāng)時(shí)自己做題時(shí)是如何想的，分析自己出錯(cuò)的原因：（1）把2x2看作是（2x）2，認(rèn)為指數(shù)2的底數(shù)是2x，直接兩邊開方；（2）沒有深刻理解一個(gè)正數(shù)的平方根一定有兩個(gè)，一正一負(fù)，漏了負(fù)的平方根。實(shí)踐證明，解題后反思能讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識到在哪個(gè)知識點(diǎn)上掌握得不牢固及總結(jié)出自己思維受阻、解法錯(cuò)誤的原因所在，這比重復(fù)多做一次同樣類型的題目效果會(huì)更明顯。

綜上所述，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)解題能力，就要抓好基礎(chǔ)知識的教學(xué)，精選習(xí)題，講解舉一反三，使學(xué)生熟悉基本的解題和思維方法，養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣。此外，我們還要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)習(xí)慣等因素對提高解題能力的影響，注意課后與學(xué)生接觸和交流，根據(jù)具體情況做針對性的指導(dǎo)。

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編輯 謝尾合

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