關(guān)于Fermat型函數(shù)方程的整函數(shù)解

段江梅，韓 艷，楊惠娟

（昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南昭通 657000）

1 引言及主要結(jié)果

在整函數(shù)環(huán)，或是亞純函數(shù)域上的非平凡解。Hayman〔1〕證明了：

定理A當(dāng)n≥9時，方程（1）不存在非常數(shù)亞純解。

定理B當(dāng)n≥7時，方程（1）不存在非常數(shù)整函數(shù)解。

此外，當(dāng)2≤n≤5 時，G.G.Gundersen等〔2-3〕找到了滿足方程（1）的非常數(shù)整函數(shù)解；當(dāng)n=6時，G.G.Gundersen〔4〕構(gòu)造了滿足方程（1）的非常數(shù)亞純解〔5-6〕。

對于n=7,8,是否存在非常數(shù)亞純函數(shù)f(zg),(zh),(z)滿足方程（1），以及對于n=6是否存在非常數(shù)整函數(shù)f(zg),(zh),(z)滿足方程（1）的問題，目前還沒有完全解決。

本文主要研究函數(shù)方程

1985年，Hayman研究了Fermat型函數(shù)方程

整函數(shù)解的存在性問題。對于n≥13，仇惠玲〔7〕證明了：

定理C當(dāng)n≥13時，方程（2）不存在非常數(shù)整函數(shù)解。

本文對于n=12，方程（2）整函數(shù)解的存在性問題進行探究，得到結(jié)論：

定理設(shè)f1(z),f2(z),f和3(zf)4(z均)為非常數(shù)整函數(shù)，它們滿足：

則存在非零常數(shù)c，使得

其中L1(fm)

2 幾個引理

引理1若f(z)是C上的亞純函數(shù)，那么對?k∈N，f(k)(z)與f(z)的級相同〔8〕。

引理2若φj(z)(j=1,2,…,k)為區(qū)域D內(nèi)k個亞純函數(shù)，且φ1,φ2,…,φk線性無關(guān)，那么φ1,…,φk的Wronskian行列式〔9〕

引理3若f(z是)非常數(shù)亞純函數(shù)，其級ρf＜+∞，那么對于?ε＞0，存在E?(1,+∞，)使得E的對數(shù)測度有窮（即，且〔10-11〕

3 定理的證明

由于f1,f2,f3,f4是方程（3）的非常數(shù)整函數(shù)解，則一定線性無關(guān)。事實上，若線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)c1,c2,c3,c4,使得不失一般性，假設(shè)c4≠0，結(jié)合（3）式得

由（3）式可得方程組

由于

其中L1(fm)=

從而

另一方面，由克萊姆法則得

記ρ=max，由引理1知

又由（10）式及引理3知，對于?ε＞0，存在E?(1,+∞)，使得且

又由（5）式知，必存在非零常數(shù)c，使得τ≡c，證畢。