《數值計算方法》課程中樣條理論教學的深層探究

文/楊愛民+劉春鳳+崔玉環+張煥成

摘 要：首先介紹了樣條的起源和基本的樣條理論，隨后討論了樣條理論在數值計算方法中的應用。在應用中教師主要從樣條的插擬合、數值微積分、微分方程數值解和積分方程數值解四個方面論述了樣條理論在數值計算中的應用，從而突出了樣條理論在數值計算中的重要性。

關鍵詞：樣條；插值；擬合；數值方法；微分方程解法

樣條函數作為計算幾何中表示和逼近幾何對象的基本工具，幾十年來有了長足的發展。1946年，I.J.Schoenberg ［1］在做數據的平滑處理時提出了B樣條，并系統地研究了一元樣條函數，并指出一元三次樣條函數的力學觀點，即彈性細梁在集中載荷作用下小撓度彎曲變形曲線的數學模型，這也是“樣條函數”命名的由來。時至今日，樣條函數的應用越來越廣泛，樣條函數和有限元有著密切的聯系。

一、樣條理論的簡介

樣條函數（Spline Function）最早來源于美國數學家舍恩伯格（I.J.Schocnberg），他在1946年的文章中以研究無窮區間上等距結點的平滑問題（即數據光滑插值問題）為背景引入了樣條函數，但是I.J.Schocnberg的工作剛開始時并未受到重視，從60年代開始，隨著計算機技術的飛速發展，研究樣條函數的熱潮才漸漸興起，當時它與計算機輔助設計相結合，應用在外形設計方面。到70年代得到迅速發展，經過半個多世紀的發展，樣條函數作為一類靈巧而有效的數學工具已被廣泛應用于計算幾何、數值插值、逼近，數值微分、積分等數學與工程的各個領域。數十年的理論和實踐表明，樣條是一類特別有效的逼近工具。

二、樣條函數在數值計算中的應用

1.三次樣條插值與擬合

在數值計算中許多實際問題都存在某些特定的數量關系y=f（x），其中相當一部分函數是通過實驗觀測得到的，雖然f（x）在某個區間上是存在的甚至是連續的，但通過實驗只能得到一些散亂的數據點。有的函數雖然有函數解析式，但由于解析式的形式復雜使使用不方便。為此需要構造一些滿足給定條件且表達式簡單的插值函數 ［2］。

2.數值微分與積分

當函數f（x）為類表函數或圖示函數時，尋找函數某點的微商，只能借助數值方法。根據樣條函數誤差估計公式，可以知道用f（x）的插值三次樣條公式s（x）的微商s′（x）來替f ′（x）時，其誤差為°（h3），其中h表示劃分區間段中長度最大者，所以用s′（x）來替f′（x）很合適。特別當劃分是等距的，h為相鄰兩結點間的距離時，各結點xi處有f′（xi）=s′（xi）=■

3.常微分方程的樣條函數解法

W. G. Bickley提出求解兩點邊值問題的數值方法 ［3］。E. A. Al-Said利用一元三次樣條給出求解一類二階邊值問題（一階導項缺失） 的數值方法［4］，以及Arshad Khan利用參數三次樣條求解同類問題的數值方法［5］。E. A. Al-Said的方法歸結為求逼近解析解的一元三次樣條函數，通過樣條函數計算出各結點上的數值解，并證明了該方法是二階收斂的。Arshad Khan構造了二階邊值問題的差分格式，并通過不同的參數選取，分別獲得二階和四階收斂的數值方法，并且在適當的參數選取下退化為Bickley的方法[3]和Usmani基于四次樣條給出的四階方法［6］。

在S24（Δ（2）mn）中的均勻B-樣條在求解偏微分方程數值解中。利用S24（Δ（2）mn）中兩組具有高度對稱性的均勻B-樣條給出了求Poisson方程數值解。并利用這兩組B-樣條所構造的擬插值算子討論數值解的誤差估計。具體數值算例也顯示了這種方法的有效性和高精度，類似的方法還可以用在其他類型的偏微分方程數值解中。

注：本文為國家科技計劃項目創新方法專項 “科學思維、科學方法在高校教學創新中的應用與實踐”（NO.2009IM010400）、河北省高等學校人文社會科學研究教育規劃項目“五環式大學數學教學模式的研究與實踐”（NO.GH132044）、高等學校大學數學教學研究與發展中心教學改革項目“開放課程背景下基于應用型人才培養的大學數學教學改革的研究與實踐”、河北聯合大學教育教學改革項目（NO.z1202-02，NO. Y1336-06）的研究成果。

參考文獻：

［1］J. Schoenberg. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic function, Quart［J］. Applied Mathematics, 1946, 4: 45-99,112-141.

［2］王省富. 樣條函數及其應用［M］. 西北工業大學出版社, 1989-09.

［3］韓延鵬.基于二元B樣條的某些數據擬合方法［D］.大連理工大學，2010-12.

［4］曲凱.多元樣條及其某些應用［D］.大連理工大學，2010-06.

［5］朱功勤，何天曉.關于多元樣條函數研究［J］.合肥工業大學學報：自然科學版.1989（02）.

［6］朱安民.多元樣條函數.同濟大學學報，1984（02）.

編輯 張珍珍