基于工程橢球的地方坐標系坐標換算模型比較分析

王國祥

(中鐵二院工程集團有限責任公司，四川成都 610031)

基于工程橢球的地方坐標系坐標換算模型比較分析

王國祥

(中鐵二院工程集團有限責任公司，四川成都 610031)

精密工程測量中，為了減小投影變形，一般將國家坐標系下的成果轉化到具有任意抵償面和任意中央子午線的地方坐標系中。依據參考橢球的構造原理，在對目前常用轉化計算方法分析比較的基礎上，通過選取不同的參數和變換模型構造出9種不同的任意中央子午線任意投影面之間坐標計算方法，并分析每個模型的特性及適用情況，編制了CREEC GPS數據處理軟件，并用工程實例數據進行分析計算與比較。

抵償面 中央子午線 國家坐標系 地方坐標系 工程橢球

1 概述

國家高斯坐標系采用的投影面為參考橢球面，而工程控制網采用的投影面為測區某一高程面(抵償面)。由于參考橢球面和工程控制網投影面不重合，高斯投影中產生長度變形，導致以國家高斯坐標系中的坐標反算出來的距離與工程控制網對應長度不相等。為了消除長度變形對工程產生的影響，使高程歸化改正[1]和高斯投影變形之代數和盡可能小。在工程測量單位的實際應用當中，既要求選取特定的中央子午線，用國家坐標系已知點約束工程控制網，又要求投影面選用某一高程面。因此，計算時首先將國家橢球轉化為具有任意抵償面的工程橢球，即構建工程橢球；其次是選取特定的中央子午線(測區的平均經度值)將國家坐標系成果轉化到地方坐標系中，供現場施工使用，即坐標投影換帶計算。針對這一問題，國內外許多學者都做了比較深入的研究，但由于大家所選用的基準、參數、模型都不一樣，從而使得換算出來的坐標也不盡相同。首先討論我國常用的3種構造工程橢球和3種加抵償高的坐標換算(共9種)方法，其次提出每個計算模型的特性及適用情況，最后采用CREEC GPS數據處理軟件進行計算驗證。

2 構造工程橢球

構造工程橢球的兩個原則：①工程橢球的中心與國家參考橢球的中心重合，沒有平移量，且使橢球的扁率保持不變。②國家橢球與地方橢球定向一致，沒有旋轉。構造工程橢球就是將國家橢球的長半徑增大Δa，使半徑增大后的工程橢球面與實際地面大致吻合，使得a1=a+Δa。各參數的關系如圖1、圖2所示。

圖1 地形面、國家橢球面、大地水準面和工程橢球面

圖2 大地高和正常高

其中:Bm——測區的平均緯度；

a——國家參考橢球的長半軸；

a1——工程橢球的長半軸；

ζ——測區平均高程異常；

Hr——投影面的正常高(平均高程面或抵償高程面)；

Hm——投影面大地高。

其中：Hm=Hr+ζ

長半軸改變量Δa的確定如下。

(1)高程直接補償法

將投影面的平均大地高直接加到國家橢球長半軸a，即Δa=Hm，a1=a+Hm。這種構造方式適合測區的地形比較平坦時使用。

(2)法線方向增長法

假定長半軸是沿測區地面點的法線方向增加，則根據卯酉圈曲率半徑N等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，可通過測區的N確定；N與參考橢球長半軸a的關系如下

(1)

由(1)式得

(2)

(3)平均曲率半徑法

通過測區的平均曲率半徑確定Δa，國家參考橢球面一點的平均曲率半徑與參考橢球面長半軸a關系如下

(3)

設測區的平均曲率半徑為R測=Rm+Hm。由式(3)知，新橢球的長半軸的長度為

(4)

因此

(5)

根據構造出的工程橢球參數值和選用的中央子午線重新計算高斯平面坐標點的值，不同的Δa換算的結果也不相同。下面討論3種常用的加抵償高坐標換算方法:空間直角坐標過渡法、緯度增量法和長半軸補償法。

3 工程橢球下的坐標換算

3.1 空間直角坐標過渡法

由工程橢球的性質可知，不同工程橢球下的空間直角坐標系是完全重合的；對于地面同一點，其在不同工程橢球下算出的空間直角坐標完全相同。其計算過程如下：

(1)以國家參考E為基準，由國家坐標系坐標(x,y)，通過高斯坐標反算公式計算出經緯度(B,L)。

(2)以國家參考橢球E為基準，由大地坐標(B,L,H)按式(6)轉化為空間直角坐標(X,Y,Z)。有

(6)

(3)以工程橢球E1的參數為基準，取a1=a+Δa，由空間直角坐標(X,Y,Z)按式(7)計算出大地坐標(B1,L1,H1)，計算B1要用迭代方法。

(7)

(4)以工程橢球E1的參數為基準，取a1=a+Δa，由經緯度(B1,L1)，通過高斯投影坐標公式計算出平面直角坐標(x1,y1)，即地方坐標系坐標。

以上實現了由國家坐標系坐標通過空間直角坐標實現了到地方坐標系的換算；由地方坐標系到國家坐標系的換算只要逆向運算就可。

在步驟(2)中，計算空間直角坐標(X,Y,Z)時，必須知道測點的大地高。但在實際計算過程中，可假定換算點的大地高為零(見表1)。選取3個具有代表性的點，再將這些點從國家坐標系換算到大地坐標系中，逐一變化大地高，得到不同的結果(見表2)。

與大地高H=0 m時求得的坐標結果相比，Y坐標沒有發生變化，而X坐標差值最大的點在點1中，H=5 000 m時相差1.3 mm，H=10 000時也僅相差2.5 mm。由此可知，采用空間直角坐標過渡法，將國家坐標系中坐標換算到地方坐標系坐標時，將換算點的大地高假設為零，當精度滿足要求時是可行的，也可用點位高程代替大地高。

表1 3個不同的具有代表性的點

表2 坐標隨大地高變化比較表 m

3.2 緯度增量法

地面點在橢球面上的位置，是由一定的元素和定位橢球所規定的，如果選擇的橢球元素和定位發生變化，地面點在橢球面上的大地坐標必將隨之變化。根據橢球元素和定位變化推求點的大地經緯度和大地高變化的公式，叫大地坐標微分公式

(8)

(9)

式中，da、df表示橢球元素(長半徑、扁率)的變化；

dX,dY,dZ表示橢球中心變化，即橢球定位的變化。

由于工程橢球中心與國家參考橢球中心重合，橢球的扁率保持不變，由大地坐標微分公式知：測區同一點其經度不會發生變化，僅緯度將隨之發生改變，隨長半徑而變化的緯度改變量

ΔB=Δa(Ne2sinBcosB)/(aM)=

(10)

緯度增量法的計算過程如下：

①以國家參考橢球E為基準，將點坐標(x,y)通過高斯投影反算公式計算出坐標經緯度(B,L)。

②計算出各點在新橢球E1上的緯度B1=B+ΔB。

③用(B1,L)和a1，用高斯投影坐標正算公式計算出高斯平面直角坐標(x1,y1)，即地方坐標系坐標。

3.3 長半軸補償法

對于地面同一點，假設換算前后經緯度保持不變，因此在計算時只改變長半軸a而保持投影后的經緯度值不變，通過高斯投影計算出地方坐標系中的坐標(x1,y1)。

4 算例分析

根據任意中央子午線和任意投影面的國家參考橢球長半軸的3種增大方法和坐標換算3種方法，編制了CREEC GPS數據處理軟件包，并對某實例數據進行分析計算，見表3。

為了檢查程序計算的精度，進行逆運算，即將地方坐標系的坐標轉化到國家坐標系中，并與國家坐標系中的已知點值進行比較，見表4。

由表3、表4可以得出：

①對于同一種換算方法，在對長半軸增量Δa的取值模型不同的情況下，計算的結果也不相同。由換算前和換算后的坐標較差結果可以看出，取值模型的不同對X坐標的變化影響較大，而對Y坐標的變化影響較小。如對空間直角坐標過渡法，ΔX相互間的差值較大，最大為424.9 mm;而ΔY相互間的差值較小，最大為20.8 mm。

②對于不同的換算方法，在對長半軸增量Δa取值模型相同的情況下，空間直角坐標過渡法和緯度增量法計算出來的結果相同，而與長半軸補償法計算出來的結果不相同。由換算方法的模型可知，對于地面同一點，在前兩種方法中，該點相對于不同的工程橢球，其緯度是發生變化的；而在長半軸補償法中，點緯度是假設固定不變的。該假設本身不嚴格，不符合工程橢球構造的原理，故該方法不宜采用。

③在所有的計算方法中，Δa選取的計算模型不同，其計算的結果也不相同，X坐標之間的較差大，而對Y坐標影響小。在不同的計算方法中選取不同的取值模型，產生的X較差為1.340 m，Y較差為0.034 m。

表3 基于工程橢球的地方坐標換算成果 m

表4 正算與逆算比較

④在工程橢球的構造方法中，法線方向增長法與平均曲率半徑法都與測區的平均緯度Bm有關，隨著Bm的取值不同，獲得結果也不相同。因此，在實際使用時，應注意Bm的取值。

⑤根據程序正算和逆運算的差值可以看出，該程序計算出的坐標值精度可以達到0.05 mm，完全滿足工程施工需要。

5 結論

利用工程橢球的設想，通過不同的模型構造出了9種不同的計算方法，基本上涵蓋了目前各種工程中所采用的換帶換投影面方法，通用性強。在由國家坐標系中的坐標向地方坐標系相互轉換過程中，所選取的模型方法不同，導致求得的轉化坐標也不相同。為此，提出如下建議：

(1)實際工作中，一個測區由不同的施工單位施測時，容易產生由于坐標不一致而導致施測邊處出現交叉不吻合的情況；應采用相同的坐標換算模型，統一處理方案，避免產生標段間銜接不平順問題。

(2)在由國家坐標系坐標到地方坐標系的相互轉換過程中，所選取的工程橢球不同、計算模型方法不同，求得的轉換坐標結果也不相同。選取不同的工程橢球和不同計算模型方法主要造成X坐標方向的差異，對東西走向的線路產生大的橫向偏差，對南北走向的線路產生大的縱向偏差，所以東西走向的線路更需要注意工程橢球的構建和計算模型選取方法。

(3)測區高程異常值往往不能準確確定，當實施轉換時，必須注明它的取值。高程異常值一般情況下不能忽略，若確實無法獲得而忽略不計時，要特別給予說明。

(4)構造工程橢球的平均曲率半徑法，工程橢球下坐標換算的緯度增量法，建議優先采用。

[1] 孔祥元，梅是義.控制測量學[M].武漢：武漢大學出版社，1996：1-116

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[7] 范一中，趙麗華.任意帶高斯正形投影直角坐標系的最佳選取問題[J].測繪通報，2000(8)

[8] 鮑建寬.高斯平面坐標換算到測區平均高程面上的方法[J].測繪通報，1997，9(3)

ComparativeAnalysisonCoordinationConversionModelBasedonLocalCoordinateSystemofEngineeringEllipsoid

WANG Guo-xiang

2014-02-27

中鐵二院工程精調有限責任公司科研項目07185103(07-07)。

王國祥(1973—)，男，1996年畢業于西南交通大學攝影測量與遙感專業，高級工程師。

1672-7479(2014)03-0001-04

P282.2

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