基于遷移矩陣法的錐柱結合殼固有振動特性分析

關珊珊，曹為午，謝官模

(1.武漢第二船舶設計研究所，湖北 武漢 430064； 2.武漢理工大學，湖北 武漢 430070)

基于遷移矩陣法的錐柱結合殼固有振動特性分析

關珊珊1，曹為午1，謝官模2

(1.武漢第二船舶設計研究所，湖北 武漢 430064； 2.武漢理工大學，湖北 武漢 430070)

基于遷移矩陣法給出了圓柱殼、圓錐殼以及錐柱結合殼的運動矩陣方程，給出了精細積分以及Runge-Kutta-Gill法的矩陣方程求解方法，大幅提高了求解精度及效率。進一步以不同邊界條件下圓柱殼、圓錐殼和錐柱結合殼為算例討論了錐柱耦合后圓柱殼及圓錐殼自身振動頻率的變化。算例結果與有限元軟件Ansys對比，驗證了本文矩陣方程及求解方法的可靠性。

錐柱結合殼；遷移矩陣法；精細積分；固有振動特性

0 引 言

錐柱結合殼通常應用于潛艇、飛機、導彈以及水下自航潛器(AUVS)。錐柱結合殼體耦合振動的研究相關報道較少，早期的解析研究及試驗工作主要采用有限元方法進行錐柱結合殼的固有頻率及模態振型求解。Kalnins和Rose應用經典彎曲理論研究了旋轉對稱殼體。Hu和Raney研究了錐柱結合殼連接處不連續性的影響。Efraim和Eisenberger給出了級數解來計算分段軸對稱殼體的固有頻率。Patel采用有限元方法給出了含層狀合成物的錐柱結合殼結果[1-5]。

Tottenham 和Shimizu[1]提出分析圓柱殼自由振動的傳遞矩陣法(或稱傳遞函數法)。殼模型的傳遞矩陣法與普通的Timoshenko梁模型的傳遞矩陣法相比，具有以下優點：截面狀態矢量的元素多，能考慮軸向變形與彎曲變形的耦合效應，結果更準確。通過場傳遞矩陣和點傳遞矩陣，建立起點和重點狀態矢量的簡便關系，在自由振動情況下，利用兩端的邊界條件得到系統的頻率方程，從而求出結構的固有頻率和模態；在強迫振動情況下，利用兩端的邊界條件得到兩端狀態矢量的未知元素，再利用各個傳遞矩陣逐步得到各個截面的狀態矢量，得到系統動力響應特性。這種方法的關鍵是在傳遞矩陣的求解效率和精度上，其中精度主要受單元傳遞矩陣計算精度、傳遞矩陣連乘過程中的累積誤差以及計算機的舍入或截斷誤差等的影響。Irite[6]采用傳遞矩陣法研究了錐柱結合殼的自由振動，其解法中是將傳遞矩陣用冪級數展開形式去逼近，在求解精度以及效率上均有較大限制。黃玉盈[7]進行了變厚度圓柱蓄水池動力分析。本文基于傳遞矩陣法推導了柱殼、錐殼以及錐柱結合殼的遷移矩陣運動學方程并采用精細積分和Runge-Kutta-Gill方法進行固有振動特性求解。算例計算結果與有限元軟件Ansys獲得的結果進行了對比，驗證了本文方法的可靠性。

1 基本理論和分析方法

錐柱結合殼示意圖如圖1所示，采用如圖所示的坐標系。

圖1 錐柱結合殼示意圖Fig.1 Sketch map of a coupled cylindrical-conical shell

1.1 圓柱殼自由振動傳遞矩陣

1.1.1 圓柱殼自由振動傳遞矩陣

慣性力引起的分布荷載為：

(1)

其中u,v,w分別為圓柱殼中面任一點沿母線、切線和徑向的位移，ω的下標n均省略不寫；公共的時間因子eiωt也略去不寫。根據Flügge殼體理論，平衡方程為：

式中：ρ為材料密度；h為殼體厚度；ω為圓頻率。

Kelvin-Kirchhoff剪力、膜力及所有內力分別為：

為簡化分析，引進下列無量綱化的變量：

(2)

簡寫為：

(3)

對圓柱殼段的左端，ξ=0， 代入上式得：

c={Z(0)}={Z(ξ)}L；

(4)

對圓柱殼段的右端，ξ=1， 代入上式得：

(5)

因此，從圓柱殼段左端狀態矢量到右端狀態矢量的場傳遞矩陣為：

(6)

1.1.2 圓柱殼場傳遞矩陣的精細積分求解

傳遞矩陣的高精度對傳遞矩陣法結果的精度至關重要，若像指數函數的Taylor展開，采用硬展開的方式計算殼段的場傳遞矩陣eA，經驗證場傳遞矩陣精度損失較大。精細積分是近年來出現的一種有效矩陣指數求解方法。

為得到高精度的場傳遞矩陣eA，采用精細積分法計算。取m=2N，將矩陣A縮小1/m倍后，保證Taylor級數展開計算的可靠性。

[I+T(0)]2N。

(7)

式中：I為單位矩陣。

精細積分法能獲得高精度計算結果的根本原因是數值計算的相對誤差不隨遞推過程的進行而擴散。具體體現為以下2點：

1)按Taylor展開計算T(0)，精度得到保證；

2)以上述的T(0)為基礎，不斷執行以下循環T(i+1)?2T(i)+T(i)T(i)，(i=0,1,2,…,N-2,N-1)。

能保證精度不損失，且編程計算方便。通過適當選取N(m=2N)，可使計算結果達到很高精度。

(8)

(9)

矩陣C為結構的總傳遞矩陣。因各個子傳遞矩陣中的元素與ω有關，C中各個元素一般亦依賴于ω。

(10)

可得頻率方程：

DetC1=0。

(11)

對于兩端固支的圓柱殼結構，有：

(12)

可得頻率方程：

DetC2=0。

(13)

求出固有頻率之后，帶回線性方程組，然后從左端截面出發，分段利用場傳遞矩陣和點傳遞矩陣，得到中間各個截面的狀態向量元素的相對比值，并獲得模態向量。

1.2 圓錐殼自由振動傳遞矩陣

慣性力引起的分布荷載等與圓柱殼的情況類似，同樣引進下列無量綱化變量：

(14)

圓錐殼段的狀態方程可寫成矩陣形式：

(15)

一般地，ξ代表的任意截面處狀態向量可表示為：

{Z(ξ)}=TF(ξ){Z(ξ1)}， (ξ1≤ξ≤ξ2)。

(16)

(17)

典型邊界條件下的圓錐殼的自由振動的固有頻率和模態的求解過程，與圓柱殼情況的求解過程類似。

1.3 錐-柱結合殼自由振動的傳遞矩陣

圓柱殼段和圓錐殼段的傳遞矩陣前面已詳述，如圖2所示，c代表圓錐殼，o代表圓柱殼，式(18)給出了圓錐和圓柱相結合處的位移和內力連續條件。

圖2 圓錐-圓柱結合處的位移、內力連續條件Fig.2 Continuous condition of displacements and internal forces of the link

(18)

(19)

典型邊界條件下的錐柱結合殼的自由振動的固有頻率和模態的求解基于前文圓錐殼和圓柱殼的求解方法。

2 數值計算及討論

為說明本方法的可靠性，分別進行圓柱殼、圓錐殼以及錐柱結合殼的固有振動特性算例計算并與有限元軟件Ansys計算結果對比。算例參數如下：

圓柱殼參數：殼體材料的楊氏模量為2.1×1011Pa，殼體材料的泊松比為0.3，殼體材料的密度為7 850 kg/m3，圓柱艙段的長度為0.5 m，半徑為1.0 m，殼體厚度為0.01 m；

圓錐殼參數：材料同圓柱殼，圓錐角為30°，圓錐殼左端的半徑為0.422 67 m，圓錐殼右端的半徑為1.0 m，殼體厚度為0.01 m；

錐柱結合殼算例由以上圓柱殼和圓錐殼組合而成。

圓柱殼兩端簡支和固支邊界條件下固有頻率與Ansys計算結果進行對比，如表1所示。錐柱結合殼簡支邊界下其固有頻率與Ansys計算結果進行對比，如表2所示。對比結果表明了本求解方法的準確性。

同時從計算結果可以看出，錐柱耦合后會出現大量錐柱耦合模態，錐柱結合殼振型中也會出現以錐柱結合處為節點的柱殼或者錐殼自身振型，但這些振型對應的模態頻率相應于單獨圓柱殼或圓錐殼在簡支或固支條件下模態頻率有一定程度降低。

表1 不同邊界下圓柱殼和圓錐殼的固有頻率

表2 錐柱結合殼簡支邊界下的固有頻率

3 結 語

本文給出了基于殼模型的圓柱殼、圓錐殼以及錐柱結合殼的運動矩陣方程，采用精細積分以及Runge-Kutta-Gill法進行場傳遞矩陣計算，進一步分析了不同邊界條件下的圓柱殼、圓錐殼以及錐柱結合殼的自由振動特性。算例數值計算結果表明：

1)本文提出的傳遞矩陣法可獲得全面的、較高精度的固有頻率和模態振型；給出的精細積分以及Runge-Kutta-Gill的數值計算方法的相對誤差不隨遞推過程的進行而擴散，可獲得高精度數值結果；

2)錐-柱殼耦合后錐、柱殼獨立振型下的模態頻率較單獨圓柱殼或圓錐殼在簡支或固支條件下的模態頻率低。

本文方法對于變厚度殼體以及加筋殼體也不難獲得解決。

[1] KALNINS A.Free vibration of rotationally symmetric shells[J].J.Acoust.Soc.Am,1964,36:1355-1365.

[2] ROSE J L,MORTIMER R W,BLUM A.Elastic-wave propagation in a joined cylindrical-conical-cylindrical shell[J].Exp.Mech,1973,13:150-156.

[3] HU W C L,RANEY J P.Experimental and analytical study of vibrations of joined shells[J].AIAA J,1967(5):976-980.

[4] EFRAIM E,EISENBERGER M.Exact vibration frequencies of segmented axisymmetric shells[J].Thin-Walled Struct,2006,44:281-289.

[5] PATEL B P,GANAPATHI M,KAMAT S.Free vibration characteristics of laminated composite joined conical-cylinderical sheIls[J].J.Sound Vib,2000,237:920-930.

[6] IRIE T,YAMADA G,KANEK Y.Free vibration of a conical shell with variable thickness[J].J.Sound Vib,1982,82:83-94.

[7] 黃玉盈，向宇.變厚度圓柱蓄水池動力分析的傳遞矩陣法[J].振動工程學報，1989,2(4):23-32.

HUANG Yu-ying,XIANG Yu.Free vibration of a circular cylindrical water storage pond with variable thickness based on transmits matrix method[J].Journal of Vibration Engineering,1989,2(4):23-32.

Application of transfer matrix method for analyzing natural vibrational characteristics of isotropic coupled cylindrical-conical shells

GUAN Shan-shan1，CAO Wei-wu1，XIE Guan-mo2

(1.Wuhan Second Ship Design and Research Institute,Wuhan 430064,China； 2.Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China)

The transfer matrix and the solution method for analyzing natural vibrational characteristics of isotropic cylindrical shells, conical shells and coupled cylindrical-conical shells are expressed in this paper. Precise integration and Runge-Kutta-Gill methods are used to solve the matrixes improves the precision and the efficiency of the solution.And the influence on vibrational characteristics of the coupling of the cylindrical shell and the conical shell is discussed. Compared with the FEM, the method described in the paper is efficient.

coupled cylindrical-conical shells；transfer matrix method；precise integration methods;natural vibrational characteristics

2013-05-23；

2013-12-02

關珊珊(1982-)，女，工程師，主要從事艦船減振降噪工作。

TB53；U661.44

A

1672-7649(2014)09-0032-05

10.3404/j.issn.1672-7649.2014.09.006