《平行四邊形》教學反思

文/曾慶春

摘 要：通過學習平行四邊形，培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力。

關鍵詞：平行四邊形；定義；定理；數形關系；思維

《平行四邊形》是九年級上冊第三章證明（三）第一節的內容。是培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力的主要課程。下面談談我在教學中的幾點體會。

一、注重平行四邊形定義、定理學習過程，抓好定義、定理教學，合理安排教學

平行四邊形的定義、定理，從現實世界得到其意義，又在更大的范圍內作用于現實，學生只有在理解定義、定理的來龍去脈及其意義，而且熟練地掌握它們的各種用法，從而得到理性的認識之后，在數學學習中才能靈活地對其進行各種等價敘述，并在一個抽象的符號系統中正確應用，從而達到對數學符號語言學習的最高水平。教學過程是教師具體對某一個數學符號進行講解、分析、舉例、考查的過程。一些看起來相似，用起來容易混淆的定義，最好采用對比法教學。

例如，在學習“三角形的中位線”時，和“三角形的中線”相比較，平行四邊形的定理都要進行推理論證，但其重要的是掌握定理的條件和結論，我們不要喧賓奪主，例如，“定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。”教學的重點不僅僅是證明定理，更是理解和掌握這個定理及結論，并能利用這個結論解決相關問題，定理理解掌握了，對學好幾何證明也就有了強大的基礎。

二、要合理破譯圖形語言的數形關系

圖形語言是一種視覺語言，通過圖形給出某些條件，其特點是直觀，便于觀察與聯想，觀察題設圖形的形狀、位置、范圍，聯想相關的數量或等式，這是破譯圖形語言數形關系的基本思想。（1）從語言到圖形，即根據語言畫出直觀圖。（2）從圖形到符號，即把已有的直觀圖中各種位置關系用符號表示。（3）從符號到圖形，即根據符號所示的條件，準確地畫出相應的圖形。在教學過程中要引導學生會把幾何定義、定理從“語言文字敘述”轉化為“幾何語言表達”。幾何命題有文字語言表達、圖形表達和幾何語言表達三種方式。同一個命題，雖然表達的方式不同，但表達的意思是一樣的。如，

文字語言表達為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

幾何語言表達為：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四邊形ABCD為平行四邊形

幾何圖形表達為：■

幾何定義、定理大都采用文字語言表達。因此，教師在教學時就必須加強學生的文字語言表達、幾何圖形表達和幾何語言表達三者的有機結合訓練，讓學生對三種表述方式能互相轉化，互譯自如。

三、要注重從分析到綜合的邏輯推理和由分析到綜合的邏輯思維

在幾何學習中，有些學生對幾何論證邏輯性差，有些題目似乎自己看懂了，但就是寫不出來，究其原因，主要是其分析綜合能力比較差。如果每一道題都能從分析到綜合或由綜合分析（兩頭湊）到綜合多練幾遍，這種現象就有可能大大減少。

如下圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是BC、AD的中點，線段AM和CN分別交對角線BD于E、F。求證：BE=EF=FD。

■

1.分析法

要證：BE=EF=FD需要

■

2.綜合法

平行四邊形ABCD?圯BC∥AD，AD=BC

M、N分別是BC、AD的中點?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM

?圯四邊形AMCN是平行四邊形?圯AM∥CN

M是BC的中點?圯BM=CM

N是AD的中點?圯AN=DN

?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD

3.分析綜合法（兩頭湊）

由已知：易知

AN=DN=■ADBM=MC=■BC四邊形ABCD是平行四邊形?圯AD■BC?圯AN■CM

?圯四邊形AMCN是平行四邊形

?圯AM∥CN

由未知：

BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF

這樣就達到了：由已知看可知

由未知看需知

四、一題多解，培養學生思維能力

一題多解可以變學生的單向思維為多向思維，開闊學生的視野。對于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法，或者通過不同的側面的觀察，將學生的思維觸角伸向不同的方向，擺脫固定的思維方式，發現思維過程中的不足，以完善學生的思維過程和思維品質。

如下圖，已知在?荀ABCD中，BF=DE，求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

證法一：（利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AB∥CD

∵BF=DE

∴AF=CE

∵AF∥CE

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法二：（利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠D=∠B

∵BF=DE

∴AF=EC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴AE=CF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法三：（利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠B，AB=DC

∵∠DEA=∠EAF

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△DAE≌△BCF（SAS）

∴∠CFB=∠DEA

∴∠EAF=∠CFB

∴AE∥CF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法四：（利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，∠D=∠B，∠DAC=∠DCB，

DC=AB，AD=BC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴∠DEA=∠BFC，∠DAE=∠BCF

∵∠DEA+∠AEC=180°

∠BFC+∠AFC=180°

∴∠AEC=∠AFC

∵∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF

∴∠EAF=∠ECF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

幾何教學是需要我們不斷探索，不斷探究的，教學是要尋找教師與學生的結合點，幾何是要尋找文字→圖形→推理表達的有機統一體，我們只有不斷地自我提高，不斷對學生進行嚴格有序的推理訓練，才能有效地培養學生的邏輯推理能力和邏輯表達能力。

編輯 魯翠紅

摘 要：通過學習平行四邊形，培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力。

關鍵詞：平行四邊形；定義；定理；數形關系；思維

《平行四邊形》是九年級上冊第三章證明（三）第一節的內容。是培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力的主要課程。下面談談我在教學中的幾點體會。

一、注重平行四邊形定義、定理學習過程，抓好定義、定理教學，合理安排教學

平行四邊形的定義、定理，從現實世界得到其意義，又在更大的范圍內作用于現實，學生只有在理解定義、定理的來龍去脈及其意義，而且熟練地掌握它們的各種用法，從而得到理性的認識之后，在數學學習中才能靈活地對其進行各種等價敘述，并在一個抽象的符號系統中正確應用，從而達到對數學符號語言學習的最高水平。教學過程是教師具體對某一個數學符號進行講解、分析、舉例、考查的過程。一些看起來相似，用起來容易混淆的定義，最好采用對比法教學。

例如，在學習“三角形的中位線”時，和“三角形的中線”相比較，平行四邊形的定理都要進行推理論證，但其重要的是掌握定理的條件和結論，我們不要喧賓奪主，例如，“定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。”教學的重點不僅僅是證明定理，更是理解和掌握這個定理及結論，并能利用這個結論解決相關問題，定理理解掌握了，對學好幾何證明也就有了強大的基礎。

二、要合理破譯圖形語言的數形關系

圖形語言是一種視覺語言，通過圖形給出某些條件，其特點是直觀，便于觀察與聯想，觀察題設圖形的形狀、位置、范圍，聯想相關的數量或等式，這是破譯圖形語言數形關系的基本思想。（1）從語言到圖形，即根據語言畫出直觀圖。（2）從圖形到符號，即把已有的直觀圖中各種位置關系用符號表示。（3）從符號到圖形，即根據符號所示的條件，準確地畫出相應的圖形。在教學過程中要引導學生會把幾何定義、定理從“語言文字敘述”轉化為“幾何語言表達”。幾何命題有文字語言表達、圖形表達和幾何語言表達三種方式。同一個命題，雖然表達的方式不同，但表達的意思是一樣的。如，

文字語言表達為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

幾何語言表達為：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四邊形ABCD為平行四邊形

幾何圖形表達為：■

幾何定義、定理大都采用文字語言表達。因此，教師在教學時就必須加強學生的文字語言表達、幾何圖形表達和幾何語言表達三者的有機結合訓練，讓學生對三種表述方式能互相轉化，互譯自如。

三、要注重從分析到綜合的邏輯推理和由分析到綜合的邏輯思維

在幾何學習中，有些學生對幾何論證邏輯性差，有些題目似乎自己看懂了，但就是寫不出來，究其原因，主要是其分析綜合能力比較差。如果每一道題都能從分析到綜合或由綜合分析（兩頭湊）到綜合多練幾遍，這種現象就有可能大大減少。

如下圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是BC、AD的中點，線段AM和CN分別交對角線BD于E、F。求證：BE=EF=FD。

■

1.分析法

要證：BE=EF=FD需要

■

2.綜合法

平行四邊形ABCD?圯BC∥AD，AD=BC

M、N分別是BC、AD的中點?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM

?圯四邊形AMCN是平行四邊形?圯AM∥CN

M是BC的中點?圯BM=CM

N是AD的中點?圯AN=DN

?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD

3.分析綜合法（兩頭湊）

由已知：易知

AN=DN=■ADBM=MC=■BC四邊形ABCD是平行四邊形?圯AD■BC?圯AN■CM

?圯四邊形AMCN是平行四邊形

?圯AM∥CN

由未知：

BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF

這樣就達到了：由已知看可知

由未知看需知

四、一題多解，培養學生思維能力

一題多解可以變學生的單向思維為多向思維，開闊學生的視野。對于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法，或者通過不同的側面的觀察，將學生的思維觸角伸向不同的方向，擺脫固定的思維方式，發現思維過程中的不足，以完善學生的思維過程和思維品質。

如下圖，已知在?荀ABCD中，BF=DE，求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

證法一：（利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AB∥CD

∵BF=DE

∴AF=CE

∵AF∥CE

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法二：（利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠D=∠B

∵BF=DE

∴AF=EC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴AE=CF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法三：（利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠B，AB=DC

∵∠DEA=∠EAF

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△DAE≌△BCF（SAS）

∴∠CFB=∠DEA

∴∠EAF=∠CFB

∴AE∥CF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法四：（利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，∠D=∠B，∠DAC=∠DCB，

DC=AB，AD=BC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴∠DEA=∠BFC，∠DAE=∠BCF

∵∠DEA+∠AEC=180°

∠BFC+∠AFC=180°

∴∠AEC=∠AFC

∵∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF

∴∠EAF=∠ECF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

幾何教學是需要我們不斷探索，不斷探究的，教學是要尋找教師與學生的結合點，幾何是要尋找文字→圖形→推理表達的有機統一體，我們只有不斷地自我提高，不斷對學生進行嚴格有序的推理訓練，才能有效地培養學生的邏輯推理能力和邏輯表達能力。

編輯 魯翠紅

摘 要：通過學習平行四邊形，培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力。

關鍵詞：平行四邊形；定義；定理；數形關系；思維

《平行四邊形》是九年級上冊第三章證明（三）第一節的內容。是培養學生邏輯推理能力和邏輯思維表達能力的主要課程。下面談談我在教學中的幾點體會。

一、注重平行四邊形定義、定理學習過程，抓好定義、定理教學，合理安排教學

平行四邊形的定義、定理，從現實世界得到其意義，又在更大的范圍內作用于現實，學生只有在理解定義、定理的來龍去脈及其意義，而且熟練地掌握它們的各種用法，從而得到理性的認識之后，在數學學習中才能靈活地對其進行各種等價敘述，并在一個抽象的符號系統中正確應用，從而達到對數學符號語言學習的最高水平。教學過程是教師具體對某一個數學符號進行講解、分析、舉例、考查的過程。一些看起來相似，用起來容易混淆的定義，最好采用對比法教學。

例如，在學習“三角形的中位線”時，和“三角形的中線”相比較，平行四邊形的定理都要進行推理論證，但其重要的是掌握定理的條件和結論，我們不要喧賓奪主，例如，“定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。”教學的重點不僅僅是證明定理，更是理解和掌握這個定理及結論，并能利用這個結論解決相關問題，定理理解掌握了，對學好幾何證明也就有了強大的基礎。

二、要合理破譯圖形語言的數形關系

圖形語言是一種視覺語言，通過圖形給出某些條件，其特點是直觀，便于觀察與聯想，觀察題設圖形的形狀、位置、范圍，聯想相關的數量或等式，這是破譯圖形語言數形關系的基本思想。（1）從語言到圖形，即根據語言畫出直觀圖。（2）從圖形到符號，即把已有的直觀圖中各種位置關系用符號表示。（3）從符號到圖形，即根據符號所示的條件，準確地畫出相應的圖形。在教學過程中要引導學生會把幾何定義、定理從“語言文字敘述”轉化為“幾何語言表達”。幾何命題有文字語言表達、圖形表達和幾何語言表達三種方式。同一個命題，雖然表達的方式不同，但表達的意思是一樣的。如，

文字語言表達為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

幾何語言表達為：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四邊形ABCD為平行四邊形

幾何圖形表達為：■

幾何定義、定理大都采用文字語言表達。因此，教師在教學時就必須加強學生的文字語言表達、幾何圖形表達和幾何語言表達三者的有機結合訓練，讓學生對三種表述方式能互相轉化，互譯自如。

三、要注重從分析到綜合的邏輯推理和由分析到綜合的邏輯思維

在幾何學習中，有些學生對幾何論證邏輯性差，有些題目似乎自己看懂了，但就是寫不出來，究其原因，主要是其分析綜合能力比較差。如果每一道題都能從分析到綜合或由綜合分析（兩頭湊）到綜合多練幾遍，這種現象就有可能大大減少。

如下圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是BC、AD的中點，線段AM和CN分別交對角線BD于E、F。求證：BE=EF=FD。

■

1.分析法

要證：BE=EF=FD需要

■

2.綜合法

平行四邊形ABCD?圯BC∥AD，AD=BC

M、N分別是BC、AD的中點?圯AN=■ADCM=■BC?圯AN=CM

?圯四邊形AMCN是平行四邊形?圯AM∥CN

M是BC的中點?圯BM=CM

N是AD的中點?圯AN=DN

?圯BE=EFEF=FD?圯BE=EF=FD

3.分析綜合法（兩頭湊）

由已知：易知

AN=DN=■ADBM=MC=■BC四邊形ABCD是平行四邊形?圯AD■BC?圯AN■CM

?圯四邊形AMCN是平行四邊形

?圯AM∥CN

由未知：

BE=EF=FD需要BE=EF需要AN=DNNF∥AEDF=EF需要BM=CMME∥CF

這樣就達到了：由已知看可知

由未知看需知

四、一題多解，培養學生思維能力

一題多解可以變學生的單向思維為多向思維，開闊學生的視野。對于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法，或者通過不同的側面的觀察，將學生的思維觸角伸向不同的方向，擺脫固定的思維方式，發現思維過程中的不足，以完善學生的思維過程和思維品質。

如下圖，已知在?荀ABCD中，BF=DE，求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

證法一：（利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AB∥CD

∵BF=DE

∴AF=CE

∵AF∥CE

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法二：（利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠D=∠B

∵BF=DE

∴AF=EC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴AE=CF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法三：（利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠B，AB=DC

∵∠DEA=∠EAF

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△DAE≌△BCF（SAS）

∴∠CFB=∠DEA

∴∠EAF=∠CFB

∴AE∥CF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

證法四：（利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）

在?荀ABCD中，∠D=∠B，∠DAC=∠DCB，

DC=AB，AD=BC

∵DE=BF，∠D=∠B，AD=BC

∴△ADE≌△CBF（SAS）

∴∠DEA=∠BFC，∠DAE=∠BCF

∵∠DEA+∠AEC=180°

∠BFC+∠AFC=180°

∴∠AEC=∠AFC

∵∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF

∴∠EAF=∠ECF

∴四邊形AFCE是平行四邊形。

幾何教學是需要我們不斷探索，不斷探究的，教學是要尋找教師與學生的結合點，幾何是要尋找文字→圖形→推理表達的有機統一體，我們只有不斷地自我提高，不斷對學生進行嚴格有序的推理訓練，才能有效地培養學生的邏輯推理能力和邏輯表達能力。

編輯 魯翠紅